ファイナンス理論 · 第2回 · 動画9 · インタラクティブ教材

為替レートの表を一つの数字に：資本の機会費用と現在価値の式

I重要な公式

公式	名称	表すもの
$(1+r)^T$	成長係数	今日の $1 が $T$ 年目にもつ価値。1ドルの将来価値で、1つの係数の累乗
$\left(\frac{\text{\textdollar}_T}{\text{\textdollar}_0}\right) = \frac{1}{(1+r)^T}$	割引係数	$T$ 年目に支払われる $1 の今日の価値。成長係数の逆数で、 $r > 0$ なら1より小さい
$\dfrac{1}{(1+r)^{\,j-i}}$	2つの日付の間のレート	$j$ 年目に支払われる $1 の $i$ 年目での価値。指数は、支払いと評価の間の年数を数える
$V_0 = \text{CF}_0 + \frac{\text{CF}_1}{(1+r)} + \frac{\text{CF}_2}{(1+r)^2} + \cdots$	現在価値演算子	各キャッシュフローをそれぞれの $(1+r)$ の累乗で割ってから足す

ポイント：資本の機会費用 $r$ がわかれば、あらゆる2つの日付の間の為替レートは、ただ1つの係数 $(1+r)$ の累乗になり、価値演算子は具体的な和 $V_0 = \sum_t \text{CF}_t/(1+r)^t$ になります。

II1つの数字が表を埋める

$r$ がわかれば、どの2つの日付の間の為替レートも $(1+r)$ の累乗になり、2つの日付の間の年数で決まります。

資本の機会費用 r 8% 最後の日付 T 3

💡 実際には、市場が示すレートは1つではなく、さまざまな値があります。市場がただ1つの $r$ を渡してくれるとみなすのは単純化で、この講座の後半で緩めます。

III複利：1年ずつ進めても、1回の累乗と同じ

$100 をレート $r$ で1年ずつ増やしていくと、1ステップの累乗 $100\,(1+r)^t$ にぴったり行き着きます。

レート r 7% 年 t 3

💡 2年分の成長を、別の2年間のレート $1+z$ ではなく $(1+r)^2$ と書くのは、1年を計算単位にとるということです。7%なら $1 + z = 1.07^2 = 1.1449$ なので $z = 14.49\%$ で、 $14\%$ ではありません。

IV現在価値演算子

各キャッシュフローをそれぞれの $(1+r)$ の累乗で割り、換算した項を足し合わせると $V_0$ になります。

資本の機会費用 r 10% キャッシュフロー（100万ドル）

💡 資産とはキャッシュフローの系列なので、この1つの式でどんな資産も評価できます。ただし確実性のもとで、しかも完全市場をはじめとする仮定がまだ成り立っている場合の話です。

V確認クイズ

問1 · 1回の支払いを割り引く

条件：4年目にあなたに $500 が支払われ、資本の機会費用は $r = 6\%$ です。その今日の価値を、セント単位まで求めてください。

✅ 正解です！ 支払いは4年先なので

1.06^4 = 1.26247696

で割り、今日のドルで $396.05 になります。

❌ 向きが逆です。 $631.24 は $500 に

1.06^4

を掛けた値で、今日持っている $500 が4年目までに増える額です。後で届く1ドルは今日の価値が低いので、成長係数で割ってください。

❌ 惜しいですが、複利が入っていません。 $403.23 は

1 + 4 \times 0.06 = 1.24

で割った値で、4年分の成長を、ばらばらの6%が4つあるかのように扱っています。毎年の成長は前の年の残高にかかるので、割る数は

1.06^4 \approx 1.2625

です。

❌ 1年分しか割り引いていません。 $471.70 は $500 を

1.06

で割った値で、これは支払いの3年目での価値です。指数は、支払いと今日の間の年数、つまり4を数えます。

❌ 惜しい！ 支払いを、それが届くまでの年数だけ累乗した

(1+r)

で割りましょう。

解答を見る

$T$ 年先の支払いには、割引係数 $\frac{1}{(1+r)^T}$ を掛けます。ここでは $T = 4$ 、 $r = 0.06$ です。

1.06^4 = 1.26247696

V_0 = \frac{500}{1.26247696} = 396.0468\ldots \approx 396.05

この支払いの今日の価値は $396.05 です。逆向きに検算すると、$396.05 を6%で4年間増やせば、セント単位まで $500.00 に戻ります。

問2 · タイムラインの落とし穴

条件：5年目に $240 を受け取る約束があり、資本の機会費用は $r = 5\%$ です。その価値を、今日ではなく2年目の時点で、セント単位まで求めてください。

✅ 正解です！ 支払いは評価する日付の

5 - 2 = 3

年後に来るので、

1.05^3 = 1.157625

で割ります。

❌ それは今日の価値です。

1.05^5 \approx 1.2763

で割ると、支払いを0年目まで引き戻してしまいます。問われているのは、支払いの3年前にあたる2年目の価値です。

❌ 指数は評価する日付そのものではありません。

1.05^2

で割ると2年分割り引くことになりますが、支払いは2年目から

5 - 2 = 3

年先にあります。

❌ 向きが逆です。 支払いは2年目より後に来るので、それを2年目に引き戻すには

1.05^3

で割ります。掛けると、お金を時間の先へ運ぶことになります。

❌ 惜しい！ まずタイムラインを描きましょう。支払いは5年目、評価は2年目です。

解答を見る

タイムラインを描きます。$240 は5年目にあり、それを2年目の時点で評価します。間は $5 - 2 = 3$ 年なので、指数は5でも2でもなく3です。

1.05^3 = 1.157625

\text{2年目での価値} = \frac{240}{(1.05)^{3}} = \frac{240}{1.157625} = 207.3210\ldots \approx 207.32

この請求権の2年目での価値は $207.32 です。指数は、今日からの距離ではなく、タイムライン上での支払いと評価する日付の間の距離です。

問3 · 演算子を使ってみる

条件：あるプロジェクトは今日 $1,000 かかり、1年目に $400、2年目に $500、3年目に $300 を生みます。資本の機会費用は $r = 10\%$ です。 $V_0$ （単位はドル）と、そこから導かれる意思決定を答えてください。

✅ 正解です！ 3つの受け取りの価値は今日のドルで $1,002.25 で、費用 $1,000 を上回るので

V_0 \approx 2.25 > 0

です。わずかな差ですが、採択します。

❌ 4つの異なる日付のドルを、1つの通貨のように足しています。 そのままの和は

r = 0

のときの演算子です。10%なら、後の各キャッシュフローを、まずそれぞれの

1.1

の累乗で割らなければなりません。

❌ 惜しいですが、その割る数は $1.1$ , $1.2$ , $1.3$ です。 それは

1 + rt

、つまり単利です。割る数は1つの係数の累乗、

1.1

1.21

1.331

です。

❌ 指数が1つずれています。 1年目の受け取りを

1.1^2

で割る（以下同様）と、どの受け取りも1年余分に割り引くことになります。

t

年目のキャッシュフローは

(1.1)^t

で割ります。

❌ 惜しい！ 各キャッシュフローをそれぞれの

1.1

の累乗で今日のドルに換算してから、足しましょう。

解答を見る

演算子を項ごとに書き下します。 $\text{CF}_0 = -1000$ は換算せずにそのまま入ります。

V_0 = -1000 + \frac{400}{1.1} + \frac{500}{(1.1)^2} + \frac{300}{(1.1)^3} = -1000 + \frac{400}{1.1} + \frac{500}{1.21} + \frac{300}{1.331}

V_0 \approx -1000 + 363.6364 + 413.2231 + 225.3944 = 2.2539

したがって $V_0 \approx 2.25$ ドルです。正なので、このプロジェクトは採択します。今日のドルで、費用より $2.25 だけ価値が高いのです。金額をそのまま足せば $200 となりますが、これは同じ演算子で $r = 0$ としたものです。

問4 · 1つの価格が残りを決める

条件：市場は、1年目に支払われる1ドルに今日 $0.97 の価格をつけていて、どの日付にもただ1つの資本の機会費用が当てはまります。

この価格から、資本の機会費用はいくつになりますか。

3年目に支払われる1ドルは、今日いくらで売れますか。

✅ 正解です！ 1つの価格でレート

1 + r = 1/0.97

が決まり、ほかのどの日付もその係数の累乗として決まります。3年目の1ドルの今日の価値は

0.97^3 \approx 0.9127

です。

❌ 3セントの割引はレートではありません。 レートは成長係数を通じて定義されます。

1 + r = 1/0.97 \approx 1.0309

なので

r \approx 3.09\%

で、3%より少し大きくなります。

❌ それは成長係数をパーセントで書いたものです。

1/0.97 \approx 1.0309

は

1 + r

です。レートは、そこから1を引いた残りで、約3.09%です。

❌ レートが1つなら、価格は1つで足ります。 1年目の割引係数だけで

1 + r = 1/0.97

が決まり、ほかのどの為替レートも、その1つの係数の累乗です。

❌ それは1年ごとに3セントずつ差し引いた値です。 3年目の係数は、1年目の係数を3回かけた

0.97^3

です。割引は足し算ではなく、複利のように積み重なります。

❌ 惜しいですが、 $1 + 3r$ で割ると複利が無視されます。 1つのレートで3年なら

(1+r)^3 = (1/0.97)^3

で割ることになり、その結果は

0.97^3

です。

❌ $r > 0$ なら、後で支払われる1ドルほど価値は低くなるはずです。 $0.97 は1年目の価格で、3年目の価格は

0.97^3

です。

❌ 惜しい！ 手元にある1つの価格から

1 + r

を求め、割引係数を年数だけ累乗しましょう。

解答を見る

レート。レートが1つなら、1年目の価格だけでそれが決まります。割引係数は成長係数の逆数だからです。

1 + r = \frac{1}{0.97} \approx 1.030928 \quad\Rightarrow\quad r \approx 3.09\%

3年目の価格。ほかのどの日付も同じ係数の累乗で、3年目の1ドルは3年先にあります。

\frac{1}{(1+r)^3} = 0.97^3 = 0.912673 \approx 0.9127

3年目の1ドルは、今日およそ $0.9127 で売れます。割引は複利のように積み重なり、0.97, 0.94, 0.91 ではなく、0.97、0.9409、0.9127 と進みます。

正解数：0 / 4