ファイナンス理論 · 第21回 · 動画5 · インタラクティブ教材

一つのプロジェクトに三つのIRR：収益率でプロジェクトを順位づけできない理由

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{NPV}(r) = CF_0 + \sum_{t=1}^{T} \dfrac{CF_t}{(1+r)^t}, \quad \text{NPV}(\text{IRR}) = 0$	NPV の曲線と IRR	IRR はどれも、NPV の曲線がゼロを横切る点
$(1+r)^T\,\text{NPV}(r) = CF_0(1+r)^T + CF_1(1+r)^{T-1} + \dots + CF_T$	IRR の多項式	$1+r$ についての $T$ 次式：実数の IRR は多くても $T$ 個で、いくつもあることも、1つもないこともある
$(1+r)^3\,\text{NPV}_2 = -500{,}000\,(r-0.04)(r-0.07)(r-0.10)$	動画のプロジェクト2	実数の根が3つ： $4\%$ 、 $7\%$ 、 $10\%$
$\Delta CF_t = CF^B_t - CF^A_t, \quad \text{NPV}(\Delta) = \text{NPV}_B - \text{NPV}_A$	増分キャッシュフロー	小さいほうのプロジェクトがハードルを超えたら、大きいほうを選ぶのは $\text{IRR}(\Delta)$ がハードルを上回るときだけ

ポイント：IRR は率でプロジェクトの順位をつけますが、企業が求めているのはドルの価値です。キャッシュフローの符号が2回以上変わるとき、あるいはプロジェクトの規模やタイミングが違うときは、NPV で順位をつけましょう。

II可視化1 — IRR は1つか3つか

その後のキャッシュフローを6%未満ずらすだけで、1つだった IRR が3つになります。

プロジェクト1 → プロジェクト2 0/25

III可視化2 — ソルバーはどこに落ち着くか

根を求める手法は、推測値から出発して接線をたどって進むので、どの IRR を返すかは推測値で決まります。

推測値（初期値） 3.0% 表示するステップ数 0

IV可視化3 — 増分による修正

IRR は常に A を1位にします。増分 B − A は、B が追加で投じるドルがハードルを超えるかどうかを問います。

例資本コスト r 10%

V確認クイズ

問1 · 損益分岐となる2つの率

条件：あるプロジェクトは、今日 $400,000 かかり、1年後に $916,000 を受け取り、2年後に $524,160 を支払わなければなりません。その IRR をすべて求めてください。

✅ 正解です！ キャッシュフローの符号は2回変わり（−, +, −）、二次方程式は2つの実数の根

x = 1.12

と

x = 1.17

を持ちます。したがって IRR は

12\%

と

17\%

です。

❌ 符号を確かめましょう。 二次方程式の根は

x = 1+r = 1.12

と

1.17

です。1を引くと、正の率になります。

❌ もう少しです。

1.12

と

1.17

は、グロスの収益率

x = 1 + r

の値です。IRR は

x - 1

です。

❌ 惜しい！

x = 1.145

は二次式が最大になる点で、ゼロになる点ではありません。判別式が正の二次方程式には実数の根が2つあり、どちらも IRR です。

❌ 惜しい！ NPV に

(1+r)^2

をかけ、

x = 1 + r

についての二次方程式を解きましょう。

解答を見る

NPV をゼロとおき、両辺に $(1+r)^2$ をかけて、 $x = 1 + r$ と書きます。

-400{,}000\,x^2 + 916{,}000\,x - 524{,}160 = 0

$-40{,}000$ で割ると、

10x^2 - 22.9x + 13.104 = 0

x = \frac{22.9 \pm \sqrt{22.9^2 - 4(10)(13.104)}}{20} = \frac{22.9 \pm \sqrt{524.41 - 524.16}}{20} = \frac{22.9 \pm 0.5}{20}

よって $x = 1.17$ または $x = 1.12$ で、IRR は $r = 17\%$ と $r = 12\%$ です。同じことを次のようにも書けます。

(1+r)^2\,\text{NPV}(r) = -400{,}000\,(r - 0.12)(r - 0.17).

キャッシュフローの符号が2回変わる（−, +, −）ので根が2つありうるのですが、ここではその両方が実数です。

問2 · 2つの IRR がどちらもハードルを超える

条件：問1と同じプロジェクトで、今日 −$400,000、1年後に $916,000、2年後に −$524,160 のキャッシュフローがあり、IRR は $12\%$ と $17\%$ です。資本の機会費用は $11\%$ です。このプロジェクトを採択するかどうかを判断してください。

✅ 正解です！ NPV が正になるのは2つの根のあいだだけです。両方の根より低い

11\%

では、どの IRR もハードルを「超えて」いるのに、このプロジェクトは価値を失わせます。

❌ それが IRR の落とし穴です。 キャッシュフローが −, +, − なら、NPV は

12\%

より下と

17\%

より上で負になります。

11\%

では負なので、ここではハードルを超えることは何の意味も持ちません。

❌ 符号を確かめましょう。

(1.11 - 1.12)(1.11 - 1.17) = (-0.01)(-0.06) = +0.0006

で、これに

-400{,}000

をかけると負になります。

❌ 惜しい！ いくつもある IRR から1つを選ぶ基準はありませんし、平均をとることも基準にはなりません。

11\%

での NPV を計算しましょう。

❌ 惜しい！ 資本コストで NPV を計算しましょう。

解答を見る

問1の因数分解した形に $r = 0.11$ を代入します。

(1.11)^2\,\text{NPV}(11\%) = -400{,}000\,(0.11 - 0.12)(0.11 - 0.17) = -400{,}000\,(0.0006) = -240

\text{NPV}(11\%) = \frac{-240}{1.2321} \approx -194.79

NPV は約 −$194.79 と負なので、棄却です。最高次の係数が負なので、NPV が正になるのは $12\% < r < 17\%$ のときだけです。 $11\%$ のハードルは両方の IRR より下にあり、「IRR がハードルを上回れば採択」という基準は間違った答えを出します。

問3 · 規模と増分

条件：資本コストが $11\%$ のもとで、期間1年の相互排他的なプロジェクトが2つあります。A：今日 −$200,000、1年後に $254,000（IRR $27\%$ ）。B：今日 −$500,000、1年後に $610,000（IRR $22\%$ ）。増分キャッシュフロー B − A の IRR を求め、プロジェクトを選んでください。

B − A の IRR

どちらのプロジェクトですか？

✅ 正解です！ A は

11\%

を超え、追加の $300,000 も約

18.7\%

を稼ぐので、やはり

11\%

を上回ります。B の NPV（約 $49,549.55）は A の NPV（約 $28,828.83）より大きくなります。

❌ もう少しです。

356{,}000 / 300{,}000 \approx 1.187

は

1 + \text{IRR}

です。1を引きましょう。

❌ 惜しい！ 増分の IRR は、2つの IRR の差ではありません。キャッシュフローどうしを引き、その NPV をゼロにする率を求めます。

❌ 惜しい！ IRR を平均しても意味はありません。増分は、今日 −$300,000、1年後に $356,000 です。

❌ それが規模の落とし穴です。 A の高い率が当てはまるのは $200,000 だけです。B で追加する $300,000 は約

18.7\%

を稼ぎ、

11\%

の資本コストを上回るので、B のほうが多くのドルの価値を生みます。

❌ 増分を確かめましょう。 B − A は、今日 −$300,000、1年後に $356,000 です。

❌ 判断を確かめましょう。 増分の IRR を

11\%

のハードルと比べます。

解答を見る

ステップ1：小さいほうのプロジェクトを確かめる。A の IRR $27\%$ は $11\%$ を超えています。

ステップ2：増分。B − A は、今日 $-500{,}000 - (-200{,}000) = -300{,}000$ 、1年後に $610{,}000 - 254{,}000 = 356{,}000$ です。

-300{,}000 + \frac{356{,}000}{1 + \text{IRR}} = 0 \;\Rightarrow\; 1 + \text{IRR} = \frac{356{,}000}{300{,}000} = \frac{89}{75} \;\Rightarrow\; \text{IRR} = \frac{14}{75} \approx 18.7\%

ステップ3：判断する。 $18.7\% > 11\%$ なので、追加の投資を行います。B を選びます。

NPV で検算：

\text{NPV}_A = -200{,}000 + \frac{254{,}000}{1.11} \approx 28{,}828.83, \qquad \text{NPV}_B = -500{,}000 + \frac{610{,}000}{1.11} \approx 49{,}549.55

\text{NPV}(\Delta) = -300{,}000 + \frac{356{,}000}{1.11} \approx 20{,}720.72 = 49{,}549.55 - 28{,}828.83

問4 · タイミング：早く回収するか、永久年金か

条件：資本コストが $11\%$ のもとで、相互排他的なプロジェクトが2つあり、どちらも今日 $300,000 かかります。A は今後3年間、毎年末に $150,000 を支払います（IRR $\approx 23.4\%$ ）。B は来年から毎年 $45,000 を永久に支払います（IRR $15\%$ ）。増分 B − A の $11\%$ での NPV を求め、プロジェクトを選んでください。

11% での B − A の NPV

どちらのプロジェクトですか？

✅ 正解です！ 増分の今日の価値は約 $42,533.70 で、ちょうど

\text{NPV}_B - \text{NPV}_A

に等しくなります。IRR は低くても、B が勝ちます。

❌ もう少しです。 増分に含まれる $45,000 の永久年金は4年目に始まるので、

45{,}000/0.11

は3年目の時点での価値です。

1.11^3

で割り引きましょう。

❌ 惜しい！ それは

\text{NPV}_B

だけです。増分では、A のキャッシュフローを年ごとに引きます。

❌ 惜しい！ それは増分の1〜3年目しか数えていません。4年目以降、B − A は毎年 $45,000 が永久に続きます。

❌ それがタイミングの落とし穴です。 A の率が高いのは、早く回収できるからです。

11\%

で割り引くと、B の長く続くキャッシュフローのほうが価値が大きくなります。

❌ 惜しい！ 早く回収できるほうを好むのは回収期間法の考え方で、B が3年目より後に支払う分をすべて無視しています。増分の NPV は正です。

❌ 増分を確かめましょう。 B − A は、今日

0

、1〜3年目に −$105,000、その後は毎年 $45,000 が永久に続きます。

❌ 判断を確かめましょう。 増分の NPV が正なら、A から B に切り替えることで価値が増えます。

解答を見る

ステップ1：増分 B − A。0年目： $-300{,}000 - (-300{,}000) = 0$ 。1〜3年目： $45{,}000 - 150{,}000 = -105{,}000$ 。4年目以降：毎年 $45{,}000$ が永久に続きます。

ステップ2：11% で評価する。3年間の年金現価係数は $\frac{1}{1.11} + \frac{1}{1.11^2} + \frac{1}{1.11^3} \approx 2.44371472$ です。4年目からの永久年金は、3年目の時点で $45{,}000/0.11 \approx 409{,}090.91$ の価値があります。

\text{NPV}(\Delta) \approx -105{,}000(2.44371472) + \frac{409{,}090.91}{1.11^3} \approx -256{,}590.05 + 299{,}123.75 = 42{,}533.70

ステップ3：検算。

\text{NPV}_A \approx 150{,}000(2.44371472) - 300{,}000 \approx 66{,}557.21, \qquad \text{NPV}_B = \frac{45{,}000}{0.11} - 300{,}000 \approx 109{,}090.91

$109{,}090.91 - 66{,}557.21 = 42{,}533.70$ で、増分の NPV に一致します。増分の IRR は約 $12.6\%$ で、 $11\%$ のハードルを上回ります。IRR法では A が1位ですが（ $23.4\%$ 対 $15\%$ ）、B を選びます。

正解数：0 / 4