ファイナンス理論 · 第22回 · 動画4 · インタラクティブ教材

ダッチブック：つじつまの合わない確率が、誰かにフリーランチを渡す

I重要な公式

公式	名称	説明
$P(A) + P(\text{not } A) = 1$	整合性	ダッチブックに対する唯一の防御
$\text{E}[B] = P(A)\,w - \big(1 - P(A)\big)\,\ell = 0$	公正に見える賭け	得る額 $w$ （ $A$ が起きた場合）、失う額 $\ell$ （起きなかった場合）の賭け。オッズ $\ell : w = P(A) : \big(1 - P(A)\big)$ のとき公正
$\text{price} = 100 \cdot P(E)$	チケットで見る見方	$E$ が起きたら $100 が支払われるチケットに、あなたがつける価値
$\text{Profit} = 100\,\big\lvert P(A) + P(\text{not } A) - 1 \big\rvert$	ダッチブックの利益	$100 のチケット1組あたりの利益で、どの状態でも得られる

ポイント：それぞれの賭けは、それが関わる信念だけで判断され、単独では公正に見えます。整合性のなさが表に出るのは賭けを組み合わせたときだけで、そのとき相手はどの状態でも勝ちます。

II可視化1 — チケットで見る

あなたの信念で値をつけた2枚の $100 チケットが、合わせてちょうど $100 になるのは、確率の合計が1のときだけです。

III可視化2 — 2つの賭けの規模を決める

動画の信念 $P(A) = \tfrac{1}{2}$ 、 $P(\text{not } A) = \tfrac{3}{4}$ のもとで、 $B_1$ と $B_2$ にどんな賭け金を張れば、どちらの状態でも勝てるでしょうか？

IV確認クイズ

問1 · 2枚のチケットに値をつける

条件：あなたは $P(A) = \tfrac{4}{5}$ 、 $P(\text{not } A) = \tfrac{1}{3}$ だと信じています。各チケットは、その事象が起きたら $120 が支払われ、あなたはどちらのチケットも、自分の信念で公正になる価格で取引します。相手がチケット1組から得る無リスクの利益を求めてください。

✅ 正解です！ 何が起きても $120 が返ってくる1組に $136 を払うので、相手はどの状態でも $16 を手にします。

❌ それは2枚の代金です。 あなたは2枚に $136 を払いますが、$120 が支払われるのはちょうど1枚だけなので、相手の利益はその差です。

❌ 信念は引くのではなく、足します。 2枚ともあなたに売られるので、価格は足し合わされます。利益は、合計が1を超えた分

\tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{3} - 1 = \tfrac{2}{15}

に、$120 のチケットを掛けたものです。

❌ チケットの額を確かめましょう。 超過分

\tfrac{2}{15}

は正しいのですが、このチケットで支払われるのは $100 ではなく $120 です。

解答を見る

各チケットにあなたがつける価格は、支払額にあなたの確率を掛けたものです。

120 \cdot \tfrac{4}{5} = 96, \qquad 120 \cdot \tfrac{1}{3} = 40

したがって、あなたは2枚に $96 + $40 = $136 を払います。 $A$ と「 $A$ でない」のうち起きるのはちょうど1つなので、支払われるチケットもちょうど1枚で、相手はどちらの状態でも $120 を返します。

136 - 120 = 16 = 120\Big(\tfrac{4}{5} + \tfrac{1}{3} - 1\Big) = 120 \cdot \tfrac{2}{15}

利益は $16 で、どの状態でも同じです。

問2 · 取引のどちら側に立つか

条件：あなたは $P(A) = \tfrac{2}{3}$ 、 $P(\text{not } A) = \tfrac{1}{2}$ だと信じていて、その事象が起きたら $60 が支払われるチケットを、自分の価格で売り買いします。相手に無リスクの利益をもたらす取引はどれですか？

✅ 正解です！ どの状態でも $60 の価値しかない1組に、あなたの価格は合計 $70 をつけています。だから相手はあなたに売り、何が起きても $10 を手にします。

❌ 向きが逆です。 2枚を $70 で買って $60 を受け取ると、どの状態でも $10 の損です。2枚とも買う手が使えるのは、あなたの確率の合計が1より小さいときだけです。

❌ 1枚だけではリスクが残ります。

A

のチケットだけを $40 で売ると、

A

が起きなければ $40 の利益ですが、

A

が起きれば $20 の損です。無リスクの利益には2枚とも必要です。

❌ 1つずつなら公正、というのが落とし穴です。 どのチケットも、それが関わる信念だけで見れば確かに公正に見えます。しかし2枚合わせると、確実な $60 の支払いに $70 かかります。

解答を見る

あなたの価格は、 $A$ のチケットが $60 \cdot \tfrac{2}{3} = 40$ 、「 $A$ でない」のチケットが $60 \cdot \tfrac{1}{2} = 30$ なので、1組で $70 です。

$\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{6} > 1$ なので、1組は割高です。相手は2枚ともあなたに売ります。$60 が支払われるのはちょうど1枚なので、相手の利益は

70 - 60 = 10 = 60\Big(\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} - 1\Big)

で、どの状態でも同じです。1枚だけ売るのはリスクのある賭けで、2枚とも買えば確実に $10 の損です。

問3 · 2つの賭けからブックを組み立てる

条件：あなたは $P(A) = \tfrac{2}{3}$ 、 $P(\text{not } A) = \tfrac{3}{5}$ だと信じているので、2つの賭けを受け入れます。 $B_1$ ： $A$ が起きたらあなたが $1 を受け取り、起きなかったらあなたが $2 を払う。 $B_2$ ： $A$ が起きなかったらあなたが $2 を受け取り、起きたらあなたが $3 を払う。私は $B_1$ 30口の反対側に立ちます。私の利益がどちらの状態でも同じになるように引き受ける $B_2$ の口数と、そのときの利益を求めてください。

$B_2$ は何口ですか？

各状態での私の利益は？

✅ 正解です！

B_1

を30口、

B_2

を18口にすると、

A

が起きても起きなくても、私は $24 を得ます。

❌ それでは $A$ が起きたときに損益ゼロになるだけです。 10口だと、

A

が起きた場合、私は

B_1

で $30 を払い

B_2

で $30 を受け取るのでゼロ、

A

が起きなかった場合は $40 の利益です。

❌ 口数が同じでも、利益は同じになりません。 それぞれ30口だと、

A

が起きれば $60 の利益ですが、起きなければ $0 です。損はしませんが、無リスクの利益でもありません。

❌ 比が逆さまです。

B_2

を50口にすると、

A

が起きなかった場合に私は $40 の損です。2つの状態の利益を等しいとおいて解きましょう。

❌ 口数を確かめましょう。 各状態での私の利益を

B_2

の口数の関数として書き、2つを等しいとおきましょう。

❌ それは $B_1$ の口数です。 1つの状態での利益を計算しましょう。

A

が起きた場合、私は

B_1

で $30 を払い、

3 \times 18

を

B_2

で受け取ります。

❌ それは $B_2$ で私が受け取る額（ $A$ が起きた場合）だけです。 その状態で私が

B_1

であなたに払う $30 を引きましょう。

❌ それは10口のときの、 $A$ が起きなかった場合だけの利益です。 利益をそろえる口数にすると、2つの状態で同じ、もっと小さい利益になります。

❌ 利益を確かめましょう。 世界の1つの状態について、私の2つのポジションを足し合わせましょう。

解答を見る

どちらの賭けも、あなたには公正に見えます。 $\text{E}[B_1] = \tfrac{2}{3}(1) - \tfrac{1}{3}(2) = 0$ 、 $\text{E}[B_2] = \tfrac{3}{5}(2) - \tfrac{2}{5}(3) = 0$ です。

私は $B_1$ 30口と、 $k$ 口の $B_2$ の反対側に立ちます。各状態での私の利益は次のとおりです。

A \text{ が起きた場合：} -30 + 3k, \qquad A \text{ が起きなかった場合：} 2(30) - 2k = 60 - 2k

両者を等しいとおくと $-30 + 3k = 60 - 2k$ なので、 $5k = 90$ 、 $k = 18$ です。

-30 + 3(18) = 24, \qquad 60 - 2(18) = 24

私はどの状態でも $24 を得ます。チケットで見る見方で確かめると、 $\tfrac{2}{3} + \tfrac{3}{5} - 1 = \tfrac{4}{15}$ で、このブックは $90 のチケット1組にあたるので、 $90 \cdot \tfrac{4}{15} = 24$ です。

問4 · 安全な信念はどれか

条件：4人の投資家が、それぞれ $\big(P(A),\ P(\text{not } A)\big)$ の組を示します。この事象についてダッチブックを仕掛けられない投資家はどれですか？

✅ 正解です！

\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3} = 1

なので整合的です。整合性は数字そのものを決めるのではなく、合計が1であることだけを求めます。

❌ その合計は $\tfrac{16}{15}$ です。 1を超えているので、相手はこの投資家に2枚とも売ります。

❌ その合計は $\tfrac{14}{15}$ で、1を下回ります。 足りない場合もつけ込まれます。相手は2枚とも安く買い、どちらの状態でも支払いを満額受け取ります。

❌ その合計は $\tfrac{7}{6}$ です。 1を超えているので、2枚とも売ればフリーランチです。

解答を見る

それぞれの組を足します。

\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{5} = \tfrac{16}{15}, \quad \tfrac{1}{3} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{14}{15}, \quad \tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3} = 1, \quad \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{6}

合計が1を超えていれば2枚とも売り、1を下回っていれば2枚とも買うことで、ダッチブックが組めます。利益が消えるのは合計がちょうど1のときだけなので、安全なのは $\big(\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}\big)$ だけです。

正解数：0 / 4