ファイナンス理論 · 第23回 · 動画5 · インタラクティブ教材

六つの原則と現在価値：この講座は債券・株式・先物・オプションをどう評価したか

I重要な公式

公式名称必要なもの
V0=CF0+CF11+r+CF2(1+r)2+⋯V_0 = CF_0 + \frac{CF_1}{1+r} + \frac{CF_2}{(1+r)^2} + \cdots現在価値キャッシュフローのタイムラインと、資本の機会費用 rr
PV=Cr−Cr 1(1+r)T\text{PV} = \frac{C}{r} - \frac{C}{r}\,\frac{1}{(1+r)^T}年金（永久年金から、遅れて始まる永久年金を引いたもの）支払い CC（TT 年間）、率 rr
P0=D1r−g,  r>gP_0 = \frac{D_1}{r-g},\ \ r > gゴードン成長モデル次の配当 D1D_1、成長率 gg、要求収益率 rr
C0=1r(r−du−d Cu+u−ru−d Cd)C_0 = \frac{1}{r}\left(\frac{r-d}{u-d}\,C_u + \frac{u-r}{u-d}\,C_d\right)一期間二項モデルの価格uu、dd、ペイオフ CuC_u、CdC_d。r=1+無リスク金利r = 1 + \text{無リスク金利}

ポイント：この講座のどの証券も、一つの方法で評価できます。キャッシュフローを書き出し、それを現在価値とフリーランチは存在しないという原則で評価するのです。債券は固定の支払い、株式はランダムな配当、先渡は価値ゼロで始まり、オプションは価格の折れ曲がった関数を支払います。

II可視化1 — 2つの永久年金としての年金

TT 年間 $250 を支払う年金は、今日買う永久年金から、時点 TT のあとに支払いが始まる永久年金を引いたものです。

III可視化2 — 利付債は割引債の詰め合わせ

債券の支払いは、一つ一つがそれ自体一つの割引債として評価されます：P=C P0,1+C P0,2+⋯+(C+F) P0,TP = C\,P_{0,1} + C\,P_{0,2} + \cdots + (C+F)\,P_{0,T}。

IV可視化3 — 株式と借入でコールを写し取る

コールは Δ\Delta 株と無リスクの借入 BB で写し取れるので、フリーランチは存在しないという原則がその価格を決めます。

V確認クイズ

問1 · ゴードン成長モデル

条件：ある株式は1年後に $2.70 の配当を支払い、その後、配当は永久に年 g=3%g = 3\% で成長します。投資家の要求収益率は r=11%r = 11\% です。この株式の今日の価格を求めてください。

✅ 正解です！P0=2.700.11−0.03=2.700.08=33.75P_0 = \frac{2.70}{0.11 - 0.03} = \frac{2.70}{0.08} = 33.75 なので、$33.75 です。
❌ 成長を無視しています。2.700.11≈24.55\frac{2.70}{0.11} \approx 24.55 は定額の永久年金です。成長する配当は r−gr - g で割り引きます。
❌ gg の符号が逆です。2.700.14≈19.29\frac{2.70}{0.14} \approx 19.29 は r+gr + g を使っています。成長は価値を高めます。分母は r−gr - g で、r+gr + g ではありません。
❌ $2.70 はすでに来年の配当です。2.70×1.030.08≈34.76\frac{2.70 \times 1.03}{0.08} \approx 34.76 は、1年分余計に成長させています。公式は D1D_1 をそのまま使います。
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配当は、最初の支払い $2.70 が時点1に来る成長永久年金です。r>gr > g なので、

P0=D1r−g=2.700.11−0.03=2.700.08=33.75P_0 = \frac{D_1}{r - g} = \frac{2.70}{0.11 - 0.03} = \frac{2.70}{0.08} = 33.75

価格は$33.75です。逆向きに使えば、同じモデルで価格から要求収益率を読み取れます：r=D1P0+g=2.7033.75+0.03=0.08+0.03=0.11r = \frac{D_1}{P_0} + g = \frac{2.70}{33.75} + 0.03 = 0.08 + 0.03 = 0.11。

問2 · 1年後の同じ債券

条件：額面 $1,000 の4年満期の債券が、年1回6%のクーポンを支払い、利回りは年複利で r=7%r = 7\% です。1年後、最初のクーポンが支払われた直後に、利回りが7%のままだとしたときの価格を求めてください。

✅ 正解です！残る支払いは3回です：601.07+601.072+10601.073≈973.76\frac{60}{1.07} + \frac{60}{1.07^2} + \frac{1060}{1.07^3} \approx 973.76。利回りが変わらなければ、満期が近づくにつれて価格はパーに向かって上がっていきます。
❌ それは支払いが4回残っている今日の価格です。1年後には3回しか残っておらず、どれも1年近づいているので、利回りが変わらなくても価格は変わります。
❌ パーではありません。債券がパーで売られるのは、利回りがクーポン・レートに等しいときだけです。ここでは 7% > 6% なので、まだ $1,000 を下回る価格で売られます。
❌ 支払われたばかりのクーポンを数えています。$973.76 + $60 = $1,033.76 は保有者が手にしている合計で、クーポンはすでに債券から出ていっています。
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最初のクーポンのあと、債券は（新しい「今日」から数えて）時点1と時点2に $60、時点3に $1,060 を支払います。それぞれの支払いが一つの割引債です。

P1=601.07+601.072+10601.073≈56.07+52.41+865.28=973.76P_1 = \frac{60}{1.07} + \frac{60}{1.07^2} + \frac{1060}{1.07^3} \approx 56.07 + 52.41 + 865.28 = 973.76

価格は$973.76です。今日の価格 601.07+601.072+601.073+10601.074≈966.13\frac{60}{1.07} + \frac{60}{1.07^2} + \frac{60}{1.07^3} + \frac{1060}{1.07^4} \approx 966.13 と比べて検算しましょう。$966.13 で買った保有者は、1年後に 973.76+60=1033.76973.76 + 60 = 1033.76 を手にし、1033.76966.13≈1.07\frac{1033.76}{966.13} \approx 1.07 です。債券はちょうど7%の利回りを稼ぎます。一部はクーポンとして、一部はパーへ引き寄せられる値上がりとしてです。

問3 · フリーランチは存在しないという原則から先渡価格を求める

条件：ある株式は $64 で取引されていて、配当を支払いません。無リスク金利は年複利で r=7%r = 7\% です。二人の当事者が、この株式について1年物の先渡契約を結びます。

契約締結時の契約の価値をゼロにする先渡価格

1年後の株価は $60 でした。買い手のペイオフ

✅ 正解です！F0,1=64×1.07=68.48F_{0,1} = 64 \times 1.07 = 68.48 で、買い手が受け取るのは S1−F0,1=60−68.48=−8.48S_1 - F_{0,1} = 60 - 68.48 = -8.48 です。これはちょうど売り手の利益に等しくなります。
❌ それは現物価格です。今日株を買うと、$64 が1年間寝てしまいます。先渡価格はその資金調達のコストを賄わなければならず、そうでなければ一方がフリーランチを得ます。
❌ 向きが逆です。641.07\frac{64}{1.07} は価格を割り引いています。先渡価格は、現物価格を決済日まで先に運んだものです。
❌ それは資金調達のコストだけです。64×0.07=4.4864 \times 0.07 = 4.48 は利息です。先渡価格は、現物価格にその利息を足したものです。
❌ それは売り手のペイオフです。買い手が受け取るのは S1−F0,1S_1 - F_{0,1} で、株価が先渡価格を下回って終われば負になります。
❌ ペイオフは、今日の現物価格ではなく、先渡価格と比べて測ります。買い手が支払うと合意したのは $64 ではなく $68.48 です。
❌ 価値がゼロなのは契約締結時だけです。そのあと契約は価値を得たり失ったりし、決済時には S1−F0,1S_1 - F_{0,1} を支払います。
❌ 先渡価格を確かめましょう。現物価格を、無リスク金利で1年先に運びます。
❌ ペイオフを確かめましょう。買い手のペイオフは S1−F0,1S_1 - F_{0,1} です。
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先渡価格。7%で $64 を借りて株を買い、1年間持ちます。すると株を保有し、64×1.07=68.4864 \times 1.07 = 68.48 の借金を負っています。F0,1>68.48F_{0,1} > 68.48 で先渡を売れば無リスクの利益が確定し、F0,1<68.48F_{0,1} < 68.48 なら逆の取引で同じことができます。フリーランチは存在しないので、

F0,1=S0(1+r)=64×1.07=68.48F_{0,1} = S_0(1 + r) = 64 \times 1.07 = 68.48

となり、先渡価格は$68.48です。契約を結ぶのに費用はかかりません。

ペイオフ。決済時、買い手は $60 の価値の株に $68.48 を支払います。

S1−F0,1=60−68.48=−8.48S_1 - F_{0,1} = 60 - 68.48 = -8.48

買い手は$8.48を失い、売り手は $8.48 を得ます。一方の利益は、もう一方の損失です。

問4 · 二項モデルでプットを評価する

条件：ある株式は $30 で取引されています。次の期に、株価は上昇倍率 u=1.3u = 1.3 で上がるか、下落倍率 d=0.85d = 0.85 で下がり、1 + 無リスク金利は r=1.04r = 1.04 です。権利行使価格 $30 の一期間のヨーロピアン・プットの価格を求めてください。

下落状態のペイオフにかかるウェイト u−ru−d\frac{u-r}{u-d}

今日のプット価格

✅ 正解です！P0=11.04(1945⋅0+2645⋅4.5)=2.61.04=2.5P_0 = \frac{1}{1.04}\left(\frac{19}{45}\cdot 0 + \frac{26}{45}\cdot 4.5\right) = \frac{2.6}{1.04} = 2.5 なので、$2.50 です。
❌ それは上昇状態のウェイトです。r−du−d=0.190.45\frac{r-d}{u-d} = \frac{0.19}{0.45} は CuC_u にかかります。下落状態のペイオフにかかるのは u−ru−d=0.260.45\frac{u-r}{u-d} = \frac{0.26}{0.45} です。
❌ ウェイトは、自分で選ぶ確率ではありません。株式と借入でペイオフを写し取ることから出てくるので、uu、dd、rr だけで決まります。
❌ それは下落倍率そのものです。ウェイトは u−ru−d=1.3−1.041.3−0.85\frac{u-r}{u-d} = \frac{1.3 - 1.04}{1.3 - 0.85} です。
❌ 割り引いていません。2645×4.5=2.6\frac{26}{45} \times 4.5 = 2.6 は次の期の金額です。1 + 無リスク金利 r=1.04r = 1.04 で割りましょう。
❌ それは下落状態のペイオフです。プットが 30−25.5=4.530 - 25.5 = 4.5 を支払うのは、株価が下がったときだけです。ウェイトをかけて、割り引きましょう。
❌ ウェイトが入れ替わっています。1945×4.5÷1.04≈1.83\frac{19}{45} \times 4.5 \div 1.04 \approx 1.83 は、上昇状態のウェイトを下落状態のペイオフにかけています。
❌ ウェイトを確かめましょう。u=1.3u = 1.3、d=0.85d = 0.85、r=1.04r = 1.04 を u−ru−d\frac{u-r}{u-d} に代入します。
❌ 価格を確かめましょう。各状態のペイオフにウェイトをかけて足し合わせ、rr で割ります。
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ツリー。株価は uS0=1.3×30=39uS_0 = 1.3 \times 30 = 39 か dS0=0.85×30=25.5dS_0 = 0.85 \times 30 = 25.5 で終わります。プットが支払うのは Pu=Max[0, 30−39]=0P_u = \text{Max}[0,\ 30 - 39] = 0 と Pd=Max[0, 30−25.5]=4.5P_d = \text{Max}[0,\ 30 - 25.5] = 4.5 です。

ウェイト。r−du−d=1.04−0.851.3−0.85=0.190.45=1945\frac{r-d}{u-d} = \frac{1.04 - 0.85}{1.3 - 0.85} = \frac{0.19}{0.45} = \frac{19}{45}、そして u−ru−d=1.3−1.040.45=0.260.45=2645≈0.578\frac{u-r}{u-d} = \frac{1.3 - 1.04}{0.45} = \frac{0.26}{0.45} = \frac{26}{45} \approx 0.578 です。

価格。

P0=11.04(1945⋅0+2645⋅4.5)=2.61.04=2.5P_0 = \frac{1}{1.04}\left(\frac{19}{45}\cdot 0 + \frac{26}{45}\cdot 4.5\right) = \frac{2.6}{1.04} = 2.5

プットの価値は$2.50です。写し取ることでも同じ答えが出ます。Δ=Pu−PduS0−dS0=0−4.513.5=−13\Delta = \frac{P_u - P_d}{uS_0 - dS_0} = \frac{0 - 4.5}{13.5} = -\frac{1}{3}（3分の1株の空売り）、そして B=Pu−Δ uS0r=0+131.04=12.5B = \frac{P_u - \Delta\, uS_0}{r} = \frac{0 + 13}{1.04} = 12.5 を無リスクで貸すので、P0=ΔS0+B=−10+12.5=2.5P_0 = \Delta S_0 + B = -10 + 12.5 = 2.5 です。それ以外の価格なら、裁定の機会が生まれます。

正解数：0 / 4