ファイナンス理論 · 第23回 · 動画6 · インタラクティブ教材

市場はどう割引率を決めるのか：リスク、CAPM、資本予算、そして価格を信じてよいとき

I重要な公式

公式名称得られるもの
E[Rp]=Rf+σpσm(E[Rm]−Rf)\mathsf{E}[R_p] = R_f + \frac{\sigma_p}{\sigma_m}\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right)資本市場線効率的ポートフォリオの期待リターン。市場と比べたボラティリティで価格がつきます
E[Ri]=Rf+βi(E[Rm]−Rf)\mathsf{E}[R_i] = R_f + \beta_i\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right), with βi=Cov[Ri,Rm]Var[Rm]\beta_i = \frac{\text{Cov}[R_i, R_m]}{\text{Var}[R_m]}証券市場線あらゆる証券、ポートフォリオ、キャッシュフローのリスク調整後割引率
αi=E[Ri]−{Rf+βi(E[Rm]−Rf)}\alpha_i = \mathsf{E}[R_i] - \{R_f + \beta_i(\mathsf{E}[R_m] - R_f)\}アルファ実際にもたらしたリターンから、直線が要求するリターンを引いたもの。マネージャーのパフォーマンスの尺度です
NPV=CF0+CF11+r1+⋯+CFT(1+rT)TNPV = CF_0 + \frac{CF_1}{1+r_1} + \cdots + \frac{CF_T}{(1+r_T)^T}NPV法それぞれの率 rt=Rf+βproject(E[Rm]−Rf)r_t = R_f + \beta_{\text{project}}(\mathsf{E}[R_m] - R_f) は、会社のベータではなく、プロジェクトのベータから求めます

ポイント：割引率の入力（RfR_f、市場リスクプレミアム、β\beta）は、すべて市場が与えます。ですから、その率が信頼できるのは、それを決めた市場が信頼できる範囲までです。平穏な時期には頼りになりますが、2008年秋のように群衆が怒れる暴徒になったときには頼りになりません。

II分散投資には ρ<1\rho \lt 1 が必要

2銘柄を買いだけで組み合わせると、ρ<1\rho \lt 1 である限り、そのボラティリティは2銘柄のボラティリティの加重平均よりも小さくなります。

IIIアルファは直線から測る

トータル・リターンが同じファンドでも、アルファは大きく違うことがあります。証券市場線は、ベータの高いファンドほど多くを要求するからです（3つのファンドは説明用の数値です）。

IVプロジェクトのベータで割り引く

プロジェクトのベータが証券市場線上でその割引率を決め、その率がNPVが正になるかどうかを決めます。

💡 同じ直線を企業自身のベータに当てはめると、企業の資本コストが得られます。それが正しい率になるのは、その企業の平均的なリスクを持つプロジェクトに対してだけです。

V確認クイズ

問1 · 市場が決める割引率

条件：Rf=2.5%R_f = 2.5\%、E[Rm]=8.5%\mathsf{E}[R_m] = 8.5\%、そして β=1.25\beta = 1.25 の株式。証券市場線がこの株式に割り当てる期待リターン、つまりそのキャッシュフローのリスク調整後割引率を求めてください。

✅ 正解です！2.5%+1.25×6%=10.0%2.5\% + 1.25 \times 6\% = 10.0\%。無リスク金利に、ベータ × 市場リスクプレミアムを足したものです。
❌ 惜しい！それは 1.25×8.5%1.25 \times 8.5\% です。ベータをかけるのは市場リスクプレミアム E[Rm]−Rf\mathsf{E}[R_m] - R_f で、そのあと RfR_f を足し戻します。
❌ 惜しい！それは 2.5%+1.25×8.5%2.5\% + 1.25 \times 8.5\% です。ベータをかけるのは、市場のトータル・リターンではなく、プレミアム E[Rm]−Rf=6%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 6\% です。
❌ 惜しい！8.5%8.5\% は β=1\beta = 1 の場合の率です。市場よりもシステマティック・リスクが大きい株式は、より多くを提供しなければなりません。
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市場リスクプレミアムは E[Rm]−Rf=8.5%−2.5%=6%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 8.5\% - 2.5\% = 6\% です。証券市場線の上では、

E[R]=Rf+β(E[Rm]−Rf)=2.5%+1.25×6%=2.5%+7.5%=10.0%\mathsf{E}[R] = R_f + \beta\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right) = 2.5\% + 1.25 \times 6\% = 2.5\% + 7.5\% = 10.0\%

三つの入力、つまり無リスク金利、プレミアム、株式のベータは、すべて市場から得られます。

問2 · アルファからファンドのベータを読み取る

条件：Rf=2.5%R_f = 2.5\%、E[Rm]=8.5%\mathsf{E}[R_m] = 8.5\%。あるファンドは昨年 7.0%7.0\% を稼ぎ、そのマネージャーは、証券市場線から測ったアルファが +1.8+1.8 パーセントポイントだと報告しています。このファンドのベータを求めてください。

✅ 正解です！直線が要求したのは 7.0%−1.8%=5.2%7.0\% - 1.8\% = 5.2\% で、5.2%=2.5%+β×6%5.2\% = 2.5\% + \beta \times 6\% から β=0.45\beta = 0.45 が得られます。
❌ 惜しい！それは、アルファがゼロであるかのように、7.0%7.0\% 全体を直線上に置いています。直線が要求するのは、リターンからアルファを引いた分だけです。
❌ 惜しい！それはアルファをリターンに足しています。アルファは実際のリターンから要求リターンを引いたものなので、要求リターンは 7.0%−1.8%7.0\% - 1.8\% です。
❌ 惜しい！ベータをかけるのはプレミアム E[Rm]−Rf=6%\mathsf{E}[R_m] - R_f = 6\% で、市場のトータル・リターン 8.5%8.5\% ではありません。
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アルファは、実際にもたらしたリターンから直線が要求するリターンを引いたものなので、要求リターンは

Rf+β(E[Rm]−Rf)=7.0%−1.8%=5.2%R_f + \beta\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right) = 7.0\% - 1.8\% = 5.2\%

プレミアム 8.5%−2.5%=6%8.5\% - 2.5\% = 6\% を使うと、

2.5%+β×6%=5.2%⟹β=5.2−2.56=2.76=0.452.5\% + \beta \times 6\% = 5.2\% \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{5.2 - 2.5}{6} = \frac{2.7}{6} = 0.45

トータル・リターンが控えめでも、ベータの低いファンドは価値を付け加えていることがあります。直線がそのファンドに求めるものは小さいからです。

問3 · 会社のベータではなく、プロジェクトのベータ

条件：Rf=2.5%R_f = 2.5\%、E[Rm]=8.5%\mathsf{E}[R_m] = 8.5\%。自社のベータが 0.450.45 の会社が、よりリスクの高い事業分野のプロジェクトを検討しています。その βproject=1.25\beta_{\text{project}} = 1.25 です。プロジェクトの費用は今日 $800 で、今後5年間、毎年末に $220 を支払います（税引後キャッシュフロー）。年複利で割り引いて、このプロジェクトのNPVを求めてください。

✅ 正解です！プロジェクトの率 10%10\% では、5回の支払いの価値は約 $834 なので、NPVは約 +$34 です。
❌ 惜しい！それは会社の率 2.5%+0.45×6%=5.2%2.5\% + 0.45 \times 6\% = 5.2\% で割り引いています。率は、プロジェクト自身のリスクに見合ったものでなければなりません。
❌ 惜しい！それは Rf=2.5%R_f = 2.5\% で割り引いていて、リスクのあるキャッシュフローを無リスクとして扱っています。
❌ 惜しい！それは E[Rm]=8.5%\mathsf{E}[R_m] = 8.5\%、つまり β=1\beta = 1 の場合の率で割り引いています。このプロジェクトのベータは 1.251.25 です。
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ステップ1：プロジェクトの割引率

r=Rf+βproject(E[Rm]−Rf)=2.5%+1.25×6%=10%r = R_f + \beta_{\text{project}}\left(\mathsf{E}[R_m] - R_f\right) = 2.5\% + 1.25 \times 6\% = 10\%

ステップ2：5回の支払いの現在価値（年金。金額の単位はドル）：

220×1−1.10−50.10≈220×3.7908≈833.97220 \times \frac{1 - 1.10^{-5}}{0.10} \approx 220 \times 3.7908 \approx 833.97

ステップ3：NPV

NPV≈−800+833.97=33.97NPV \approx -800 + 833.97 = 33.97

NPVは約 +$34 なので、このプロジェクトは採択する価値があります。会社の率 5.2%5.2\% で割り引くと、約 +$147 と過大に評価してしまいます。

問4 · 市場の数字を信じてよいとき

条件：2008年10月、ある企業が、10年間稼働する工場の割引率を求めようとしています。アナリストは、市場リスクプレミアムと工場のベータを、直近数週間の価格から推定することを提案します。市場の入力をいつ信じてよいかについて、この講座の見方に合う対応はどれですか？

✅ 正解です！市場はたいていの場合うまく機能しますが、市場の感情の状態が重要です。2008年秋は、市場が冷静に価格を決めていなかった時期でした。
❌ 惜しい！「市場のデータを信じてよいか」への答えは「ときには」です。バブルや暴落、過剰なボラティリティは、平常の市場の一部なのです。
❌ 惜しい！市場はたいていの場合うまく機能します。そして回収期間法は、用心すべき代替の方法の一つです。計算の仕方は知っておき、判断はNPVに基づいて行いましょう。
❌ 惜しい！率はプロジェクト自身のリスクに見合ったものでなければなりません。危機であってもなくても、使うのは βproject\beta_{\text{project}} で、βcompany\beta_{\text{company}} ではありません。
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証券市場線の率は、すべて市場の入力、つまり RfR_f、市場リスクプレミアム、β\beta から組み立てられます。市場が効率的なとき、価格は入手可能なすべての情報を完全に反映していて、そうした入力には強い説得力があります。しかし価格発見には、コストも手間もかかります。そして2008年秋のような時期には、群衆が怒れる暴徒になります。

適応的市場仮説は、その両方を扱います。平穏な時期にはこの講座の合理的な理論が当てはまり、危機のときには感情が熟慮を圧倒します。危機のさなかの数週間の価格は、10年間稼働する工場を評価する土台としてはふさわしくありません。意思決定のルールそのもの（プロジェクトのベータを使ったNPV）は変わりません。変わるのは、最新の市場の数字にどれだけの重みを置くべきか、です。

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