ファイナンス理論 · 第3回 · 動画1 · インタラクティブ教材

通貨を変えてもNPVの符号は変わらない：ファニーメイ救済が守ったもの

I重要な公式

公式名称説明
V0¥=S⋅V0$V_0^{\yen} = S \cdot V_0^{\text{\textdollar}}固定為替レートどの日付でも同じレート SS がすべてのキャッシュフローにかかるので、和の外にくくり出せます。S>0S > 0 なので、符号は変わりません
dt¥=dt$ S0Std_t^{\yen} = d_t^{\text{\textdollar}}\,\dfrac{S_0}{S_t}円の割引係数時点 tt の1円の今日の価格です。ドルを経由して求めます。ドルの割引係数と一致するのは St=S0S_t = S_0 のときだけです
V0¥=S0⋅V0$V_0^{\yen} = S_0 \cdot V_0^{\text{\textdollar}}既知の為替レートの経路それぞれの通貨をその通貨自身の割引係数で割り引けば、StS_t は項ごとに打ち消し合い、今日のレートが価値全体を何倍かにするだけになります
請求権=株主資本+ペーパー\text{請求権} = \text{株主資本} + \text{ペーパー}2種類の請求権者所有者は株主資本を持ち、取引相手はペーパー、つまり借用証書などの債務を持ちます。救済は請求権ごとに評価します

ポイント：通貨は価値を何倍かにする係数であって、符号を変えるものではありません。符号の反転が起きるのは、ある通貨のキャッシュフローを別の通貨の割引係数と混ぜたときだけです。しかも固定レートのもとでは S0/St=1S_0 / S_t = 1 なので、この間違いは跡を残しません。

II将来の1円に値段をつける

時点 tt の1円には、今日の時点で独自の価格があります。1円をドル経由で換算して求めましょう。

💡 市場で通用する価格はこれしかありません。時点 tt の1円をほかの値で評価すると、一方の通貨で借りてもう一方の通貨で貸すことで、リスクなしに利益が出せてしまいます。

III1つのプロジェクト、2組の割引係数

このプロジェクトの今日の価値は10万ドルです。同じキャッシュフローが、円で数えると損失になることはあるでしょうか？

💡 ここまでの話はすべて、不確実性がない場合のものです。将来が不確実になると、為替レートはリスクのもう1つの要素になり、別に扱わなければなりません。

IV救済を請求権ごとに見る

両社の株は暴落し、市場のほかの部分は上昇しました。管理下への移行が守ったのは、どの請求権だったのでしょうか？

V確認クイズ

問1 · まったく動かない為替レート

条件：不確実性がない状況で、あるプロジェクトの今日の価値が40万ドルで、為替レートはどの日付でも1ドル120円に固定されています。このプロジェクトの今日の円での価値を求めてください。

✅ 正解です！1つのレートがすべてのキャッシュフローにかかるので、和の外にくくり出せます。120×0.40=48120 \times 0.40 = 48 百万円です。
❌ 符号を確認しましょう。為替レートは常に正なので、SS をかけても価値の大きさが変わるだけで、符号が逆になることはありません。40万ドルの価値があるプロジェクトは、+48+48 百万円の価値があります。
❌ レートはかけるものです。S=120S = 120 は1ドルあたりの円なので、0.40百万ドルは 0.40百万 × 120\times\, 120 円です。割り算をすると、1円で何ドル買えるかという別の問いに答えることになります。
❌ ここではキャッシュフローは必要ありません。どのキャッシュフローにも同じ SS がかかり、しかもレートがまったく動かないので両方の通貨に同じ割引係数が使えます。だから SS はそのまま和の外に出せます。
解答を見る

ドルでの価値を割引係数を使って書き、すべてのキャッシュフローを1つのレート SS で換算します。

V0$=C0+d1C1+d2C2+⋯V_0^{\text{\textdollar}} = C_0 + d_1 C_1 + d_2 C_2 + \cdots V0¥=S C0+d1S C1+d2S C2+⋯=S(C0+d1C1+d2C2+⋯ )=S⋅V0$V_0^{\yen} = S\,C_0 + d_1 S\,C_1 + d_2 S\,C_2 + \cdots = S\left(C_0 + d_1 C_1 + d_2 C_2 + \cdots\right) = S \cdot V_0^{\text{\textdollar}}

レートがまったく動かないので、両方の通貨に同じ割引係数 dtd_t が使えます。だから SS をかっこの外に出せるのです。S=120S = 120、V0$=0.40V_0^{\text{\textdollar}} = 0.40 百万ドルなので、

V0¥=120×0.40=48 百万円V_0^{\yen} = 120 \times 0.40 = 48 \text{ 百万円}

また、為替レートは常に正なので、

V0$>0⇒V0¥>0,V0$<0⇒V0¥<0V_0^{\text{\textdollar}} > 0 \Rightarrow V_0^{\yen} > 0, \qquad V_0^{\text{\textdollar}} < 0 \Rightarrow V_0^{\yen} < 0

固定レートで符号がひっくり返ることはありません。変わるのは、価値を表す単位だけです。

問2 · 円のための割引係数

条件：時点2のドルの割引係数は d2$=0.75d_2^{\text{\textdollar}} = 0.75 で、為替レートは S0=120S_0 = 120、S2=144S_2 = 144 円／ドルという既知の経路をたどります。円の割引係数 d2¥d_2^{\yen} を求めてください。

✅ 正解です！0.75×120144=0.6250.75 \times \frac{120}{144} = 0.625 です。時点2には円が安くなることがわかっているので、時点2の1円の今日の価値は、ドルの割引係数だけから見積もるより小さくなります。
❌ それは動画で指摘された間違いです。2つの割引係数が一致するのは、レートが動かないときだけです。ここでは S2≠S0S_2 \neq S_0 なので、時点2の1円は今日の1円とは違うレートで換算され、独自の価格が必要です。
❌ 比が上下逆です。時点2の1円をドル経由で換算すると、時点2で S2S_2 で割り、今日 S0S_0 をかけるので、S2/S0S_2 / S_0 ではなく S0/S2S_0 / S_2 になります。
❌ それはレートの比だけです。S0/S2=120/144S_0 / S_2 = 120/144 が扱うのは通貨の部分だけです。待つことの対価は、やはりドルの割引係数 0.750.75 で払わなければなりません。
解答を見る

時点2の1円の価格を、ドルを経由して求めます。

¥2  → ÷ S2   $2  → × d2$   $0  → × S0   ¥0\yen_2 \;\xrightarrow{\ \div\, S_2\ }\; \text{\textdollar}_2 \;\xrightarrow{\ \times\, d_2^{\text{\textdollar}}\ }\; \text{\textdollar}_0 \;\xrightarrow{\ \times\, S_0\ }\; \yen_0

時点2では、1円は 1/S21/S_2 ドルです。そのドルの今日の価値は d2$×1/S2d_2^{\text{\textdollar}} \times 1/S_2 ドルで、今日のドルは S0S_0 で換算されます。

d2¥=S0⋅d2$⋅1S2=d2$ S0S2=0.75×120144=0.75×56=0.625d_2^{\yen} = S_0 \cdot d_2^{\text{\textdollar}} \cdot \frac{1}{S_2} = d_2^{\text{\textdollar}}\,\frac{S_0}{S_2} = 0.75 \times \frac{120}{144} = 0.75 \times \frac{5}{6} = 0.625

向きの確認：S2=144>120=S0S_2 = 144 > 120 = S_0 は、時点2のほうが1ドルあたりの円が多い、つまりその時点では円が安くなっているとわかっている、ということです。ですから時点2の1円の今日の円での価値は、0.750.75 より小さくなるはずです。実際、0.625<0.750.625 < 0.75 です。

もしレートが固定なら S0/S2=1S_0 / S_2 = 1 で、2つの割引係数は一致します。ドルの割引係数を使い回す間違いが、固定レートのもとでは表に出ないのはこのためです。

問3 · 同じプロジェクトを円で数える

条件：あるプロジェクトは、時点0、1、2に −10-10、55、88 百万ドルを支払い、ドルの割引係数は d1$=0.90d_1^{\text{\textdollar}} = 0.90、d2$=0.80d_2^{\text{\textdollar}} = 0.80 です。為替レートは、時点0と1では1ドル150円、時点2では1ドル125円という既知の経路をたどるので、キャッシュフローは百万円単位で −1500-1500、750750、10001000 になります。

時点2の円の割引係数はいくつですか？

このプロジェクトの今日の価値は、百万円単位でいくらですか？

✅ 正解です！−1500+675+960=135-1500 + 675 + 960 = 135 百万円で、これはちょうど 150×0.90150 \times 0.90、つまり今日のレートとドルでの価値の積です。
❌ 割引係数を確認しましょう。時点2の1円をドル経由で換算します。S2=125S_2 = 125 で割り、0.800.80 で割り引き、S0=150S_0 = 150 で円に戻します。残るレートの比は S0/S2S_0 / S_2 です。
❌ 合計を確認しましょう。円の各キャッシュフローを、それぞれの円の割引係数で割り引きます。−1500+750(0.90)+1000 d2¥-1500 + 750(0.90) + 1000\,d_2^{\yen} です。時点2の円のキャッシュフローにドルの割引係数 0.800.80 を当てはめてしまうと、合計がゼロより下に引きずり下ろされます。
解答を見る

ステップ1：ドルでの価値。

V0$=−10+5(0.90)+8(0.80)=−10+4.5+6.4=0.90 百万ドルV_0^{\text{\textdollar}} = -10 + 5(0.90) + 8(0.80) = -10 + 4.5 + 6.4 = 0.90 \text{ 百万ドル}

ステップ2：円の割引係数。時点1まではレートが動いていないので、その割引係数は変わりません。時点2ではレートが動いています。

d1¥=0.90 150150=0.90,d2¥=0.80 150125=0.80×1.2=0.96d_1^{\yen} = 0.90\,\frac{150}{150} = 0.90, \qquad d_2^{\yen} = 0.80\,\frac{150}{125} = 0.80 \times 1.2 = 0.96

ステップ3：円での価値。

V0¥=−1500+750(0.90)+1000(0.96)=−1500+675+960=135 百万円V_0^{\yen} = -1500 + 750(0.90) + 1000(0.96) = -1500 + 675 + 960 = 135 \text{ 百万円}

そして 135=150×0.90=S0⋅V0$135 = 150 \times 0.90 = S_0 \cdot V_0^{\text{\textdollar}} で、こうならなければなりません。各項で StS_t がキャッシュフローと割引係数のあいだで打ち消し合い、ドルでの価値全体に S0S_0 がかかる形だけが残るからです。

ついやってしまう間違い。円のキャッシュフローをドルの割引係数で割り引くと、

−1500+750(0.90)+1000(0.80)=−1500+675+800=−25-1500 + 750(0.90) + 1000(0.80) = -1500 + 675 + 800 = -25

となり、2,500万円の損失を出すプロジェクトに見えてしまいます。この符号の反転は実在しません。ある通貨のキャッシュフローを、別の通貨の割引係数と組み合わせたせいで生まれたものです。ほかの誤答は、違う日付のレートで換算した場合（125×0.90=112.5125 \times 0.90 = 112.5）や、まったく換算しなかった場合（0.900.90 はドルのまま）に出てきます。

問4 · 守られたのはどの請求権か

条件：2008年9月、ある金融会社が、ファニーメイのコマーシャル・ペーパー（短期の借用証書）を3億ドル、ファニーメイの普通株を5,000万ドル保有しています。連邦政府がファニーメイを管理下に置き、その株はほとんど無価値になり、株式市場全体は上昇します。

この金融会社の2つの保有資産はどうなりますか？

S&P500に入っているある製造業者は、このペーパーをまったく持っていません。そのニュースでこの会社の株が上がったのはなぜですか？

✅ 正解です！救済が守ったのはペーパーであって、株ではありません。そして市場全体が上がったのは、ペーパーの保有者をつたって広がる破綻の連鎖が断ち切られたからです。
❌ 請求権を分けて考えましょう。会社には2種類の請求権者がいます。巨額の損失のあとで株主資本がほとんど価値を失っていた所有者と、会社の借用証書などの債務を持つ取引相手で、後者には政府が後ろ盾になりました。
❌ エクスポージャーのない企業に届く経路を探しましょう。この製造業者はペーパーも株も持っていないので、ニュースがこの会社に届くとすれば、ペーパーを実際に持っていた金融機関に何が起きていたか、を通じてのはずです。
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請求権ごとに。ファニーメイの請求権者は2つの層に分かれます。所有者は株主資本を持ち、それは損失を吸収したあとでほとんど価値がありませんでした。取引相手はペーパー、つまりコマーシャル・ペーパーなどの債務を持ち、政府が後ろ盾になったのはこのペーパーでした。ですから株主は損をし、ペーパーは全額守られました。救済が守ったのはペーパーであって、株ではなかったのです。金融会社の3億ドルは残り、5,000万ドルの株は失われます。

ほかの企業がそろって上がった理由。S&P500の企業の多くは、このペーパーをまったく持っていなかったのに株価が上がりました。ですから、その説明が自社の保有資産であるはずはありません。もしファニーメイとフレディマックの破綻が容認されていたら、そのペーパーは無価値になり、それを持つ金融機関が損失をかぶり、そうした企業が苦境に陥り、打撃は企業から企業へと市場全体に広がっていったでしょう。管理下への移行はその連鎖を断ち切り、市場はそれを、事業環境が安定し連鎖的な破綻の可能性が消えた、と読んだのです。

この読みの限界。それで誰もが安全になったわけではありません。大手の住宅ローン貸し手であり、債務担保証券（CDO）、つまり債務をプールして組み立てた証券の大口投資家でもあったリーマン・ブラザーズは、救済のあとも強い圧力にさらされ続け、管理下への移行の発表から8日後の2008年9月15日に破産を申請しました。

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