ファイナンス理論 · 第3回 · 動画4 · インタラクティブ教材

無限の支払い、有限の価値：永久年金の公式 C/r

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{PV} = \frac{C}{(1+r)} + \frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3} + \cdots$	系列として見た永久年金	一般の価値の公式で、すべてのキャッシュフローを同じ $C$ にし、最後の支払いをなくしたもの
$(1+r)\,\text{PV} = C + \text{PV}$	$(1+r)$ をかけるステップ	各項から $(1+r)$ が1つずつ消えるので、前に $C$ が1つ余分についた同じ級数が戻ってきます
$r\,\text{PV} = C$	引き算のあと	もとの級数の各項は、対応するまったく同じ項と打ち消し合い、余分な $C$ だけが残ります
$\text{PV} = \dfrac{C}{r} = \dfrac{1}{r} \times C$	永久年金の公式	最初の支払いの一期間前、時点0での価値。支払い $1/r$ 回分の現金に当たります

ポイント：各支払いの価値は一つ前の支払いの $1/(1+r)$ 倍なので、項は等比的に縮み、無限個あっても合計は有限の数 $C/r$ になります。ただし、すべての分母に同じ $r$ が入っていることが条件です。

II無限個の支払い、有限の合計

支払いは決して止まらないのに、累計はある天井に向かって平らになっていきます。その天井が $C/r$ です。

金利 r 10% 数える支払いの回数 n 12

IIIうまい手： $(1+r)$ をかけてから引く

級数に $(1+r)$ をかけると、前に $C$ が1つ余分についた同じ級数が戻ってきます。

ステップ 1

ステップ1：級数 どのキャッシュフローも $C$ で、最後の支払いはありません：

\text{PV} = \frac{C}{(1+r)} + \frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3} + \cdots \qquad (1)

ステップ2：両辺に $(1+r)$ をかける 各項から $(1+r)$ が1つ消えるので、指数が1つ下がります：

(1+r) \times \frac{C}{(1+r)^t} = \frac{C}{(1+r)^{t-1}}

ステップ3：新しい式 最初の項は割り引かれていない $C$ になり、その後ろはすべて、もとの級数そのものです：

(1+r)\,\text{PV} = C + \frac{C}{(1+r)} + \frac{C}{(1+r)^2} + \cdots = C + \text{PV} \qquad (2)

ステップ4：(2) から (1) を引く 左辺は $(1+r)\,\text{PV} - \text{PV} = r\,\text{PV}$ です。右辺では、(1) のどの項にも (2) にまったく同じ項があるので、組ごとに打ち消し合い、余分な $C$ だけが残ります。

ステップ5：残るもの 無限級数は両辺から消えています：

r\,\text{PV} = C

ステップ6： $r$ で割る

\text{PV} = \frac{C}{r}

$C = 100$ 、 $r = 0.10$ なら、証書の価値は $1,000 です。逆向きに検算すると $r \times \text{PV} = 0.10 \times 1000 = 100 = C$ となります。

IV「永遠」の価値：支払い $1/r$ 回分

毎年 $100 を永遠に受け取る請求権は、金利 $r$ のもとで、今日いくらの現金と交換されるでしょうか。

金利 r 10% あなたの評価額 1500

💡 この1つの数には、2つの条件が隠れています。毎年の割引係数に同じ $r$ が入っていること、そして $C/r$ は時点0、つまり最初の支払いが来る一期間前の価値だということです。

V確認クイズ

問1 · 永久年金を評価する

条件：ある証書は毎年 $450 を永遠に支払い、最初の支払いは今日から1年後です。金利は $r = 6\%$ です。この証書の今日の価値を求めてください。

✅ 正解です！

\text{PV} = C/r = 450/0.06 = 7500

なので、証書の価値は $7,500 です。$450 の支払い約

1/0.06 = 16.7

回分に当たります。

❌ それは最初の支払いだけです。 $424.53 は

450/1.06

、つまり時点1に入る現金の価値です。それ以降の支払いもすべて数える必要があり、全部合わせると

C/r

になります。

❌ 割引が1回多すぎます。 $7,075.47 は $7,500 をさらに

1.06

で割ったものです。公式

C/r

はすでに時点0、つまり最初の支払いの一期間前の価値なので、それ以上割り引く必要はありません。

❌ それは今日の支払いを足しています。 $7,950 は

7500 + 450

で、時点0にも現金が入るかのような計算です。最初の支払いはまる1年後なので、級数は

C/(1+r)

から始まり、合計はちょうど

C/r

になります。

❌ 惜しい！ 毎年の支払額は、小数で表した金利で割りましょう。

1+r

で割るのではありません。

解答を見る

支払いは同額で、決して止まらず、最初の支払いはまる一期間後に来ます。つまり、時点0で評価する永久年金です：

\text{PV} = \frac{C}{r} = \frac{450}{0.06} = 7500

この証書の今日の価値は $7,500.00 です。

定義に戻って確かめると、1回目の支払いの価値は $450/1.06 = 424.53$ 、2回目は $450/1.06^2 = 400.50$ 、3回目は $450/1.06^3 = 377.83$ で、縮んでいく項を足し合わせるとちょうど7500になります。

問2 · 級数を足し上げるステップ

条件：式 $\text{PV} = \frac{C}{(1+r)} + \frac{C}{(1+r)^2} + \frac{C}{(1+r)^3} + \cdots$ の両辺に $(1+r)$ をかけ、その結果からもとの式を引きます。残る式を求めてください。

✅ 正解です！ 左辺は

(1+r)\,\text{PV} - \text{PV} = r\,\text{PV}

になります。右辺では、もとの級数のどの項も対応するまったく同じ項と打ち消し合い、余分な

C

だけが残ります。

❌ 引き算を飛ばしています。 かけるだけでは

(1+r)\,\text{PV} = C + \text{PV}

で、級数はまだ残っています。もとの式を引くことで、はじめて級数が消えます。

❌ 最初の項を確かめましょう。

C/(1+r)

に

(1+r)

をかけると、ただの

C

になります。指数が1つ下がるので、前に余る項は割り引かれていない支払いです。

❌ 終わりのない級数の項を2つ残しています。 引き算のポイントは、対応する組がすべて一度に打ち消し合うことです。級数を1、2項で打ち切ることではありません。

❌ 惜しい！ 引く前に、両方の式を項ごとに書き出し、各項をそれとまったく同じ項の下にそろえてみましょう。

解答を見る

級数の式から出発して、両辺にかけ算をします。 $(1+r) \times C/(1+r)^t = C/(1+r)^{t-1}$ となることに注意しましょう：

(1+r)\,\text{PV} = C + \frac{C}{(1+r)} + \frac{C}{(1+r)^2} + \cdots = C + \text{PV}

次に、両辺から $\text{PV}$ を引きます：

(1+r)\,\text{PV} - \text{PV} = C \quad \Longrightarrow \quad r\,\text{PV} = C

無限級数は両辺から消え、 $r$ で割ると $\text{PV} = C/r$ が得られます。このうまい手が使えるのは、そもそも合計が有限だからです。項は毎年 $1/(1+r)$ 倍ずつ縮んでいきます。

問3 · 金利が変わると何が起きるか

条件：ある基金は毎年 $60 を永遠に支払い、最初の支払いは今日から1年後です。 $r = 8\%$ での価値と、 $r = 12\%$ での価値を求めてください。

$r = 8\%$ での価値

$r = 12\%$ での価値

✅ 正解です！ 8%で $750、12%で $500 です。倍率

1/r

が支払い12.5回分から約8.3回分に下がったので、$60 の支払いは変わらないのに、価値は3分の1減りました。

❌ 1つ目の値を確かめましょう。 支払額は

r

そのもので割ります。かけるのではなく、さらに

1+r

で割るのでもありません。

C/r

はすでに時点0の価値だからです：

60/0.08

。

❌ 2つ目の値を確かめましょう。 同じ公式に新しい金利を入れます：

60/0.12

。金利が4パーセントポイント上がった分だけ価値が下がるのではありません。動くのは逆数

1/r

です。

解答を見る

どちらの値も、同じ $C = 60$ で同じ公式から求めます：

\text{PV}_{8\%} = \frac{60}{0.08} = 750 \qquad \text{PV}_{12\%} = \frac{60}{0.12} = 500

基金の価値は、8%で $750.00、12%で $500.00 です。

価値が連動するのは $1/r$ で、 $r$ ではありません。金利を $1.5$ 倍にすると、価値は $1.5$ で割られます。逆に金利を半分にすれば価値は2倍になり、4%なら $60 の価値は $1,500 です。

問4 · 永遠の支払いと1回の支払い

条件： $r = 5\%$ とします。証書Aは毎年 $40 を永遠に支払い、最初の支払いは今日から1年後です。証書Bは今日から1年後に $900 を1回だけ支払い、その後は何も支払いません。今日の価値が高いのはどちらか、またその差はいくらかを求めてください。

✅ 正解です！

40/0.05 = 800

に対して

900/1.05 = 857.14

です。5%では「永遠」は支払い20回分の価値しかないので、1回の支払いのほうが終わりのない支払いより $57.14 高くなります。

❌ 差は合っていますが、向きが逆です。 2つの価値は $800 と $857.14 なので、価値が高いのはBです。無限に続く流列だからといって、自動的に大きな数になるわけではありません。

❌ Bを割り引いていません。 $900 − $800 は、時点1の現金と時点0の価値を比べています。Bの支払いは1年後なので、今日の価値は

900/1.05 = 857.14

です。

❌ Aを2回割り引いています。 $761.90 は

800/1.05

です。しかし

C/r

はすでに時点0、つまりAの最初の支払いの一期間前の価値なので、比べるべき数は $800 です。

❌ 惜しい！ まず両方の証書を時点0にそろえましょう。永久年金は

C/r

で、1回の支払いは

1+r

で1回割って求めます。

解答を見る

証書Aは最初の支払いが一期間後の永久年金なので、 $C/r$ がそのまま時点0の価値です：

\text{PV}_A = \frac{40}{0.05} = 800

証書Bは時点1の1回のキャッシュフローなので、 $1+r$ で1回割ります：

\text{PV}_B = \frac{900}{1.05} = 857.142\ldots \approx 857.14

したがってBのほうが $857.14 - 800 = 57.14$ 、つまり $57.14 だけ価値が高くなります。

$r = 5\%$ では、永久年金の価値は $40 の支払い $1/0.05 = 20$ 回分、つまり $800 で、来年の $900 の1回の支払いのほうが上回ります。「永遠」で買えるのは支払額の何倍かであり、 $r$ が高いとその倍率は小さくなります。

正解数：0 / 4

無限の支払い、有限の価値：永久年金の公式 C/r

I重要な公式

II無限個の支払い、有限の合計

IIIうまい手：(1+r)(1+r)(1+r) をかけてから引く

IV「永遠」の価値：支払い 1/r1/r1/r 回分

V確認クイズ

IIIうまい手： $(1+r)$ をかけてから引く

IV「永遠」の価値：支払い $1/r$ 回分