ファイナンス理論 · 第3回 · 動画6 · インタラクティブ教材

成長が止まらないとき：C/(r − g) と条件 r > g

I重要な公式

公式	名称	意味
$\text{PV} = \frac{C}{(1+r)} + \frac{C(1+g)}{(1+r)^2} + \frac{C(1+g)^2}{(1+r)^3} + \cdots$	成長する支払いの流れを割り引いたもの	最初の支払い $C$ は時点1に届き、その後の支払いはそれぞれ一つ前の支払いの $(1+g)$ 倍
$\text{PV} = \frac{C}{r-g}, \quad r > g$	成長永久年金	級数全体を一行で表したもの。 $C$ は時点1の支払いで、今日は何も支払われない
$\frac{1+g}{1+r}$	隣り合う割り引いた支払いの比	1より小さければ項は小さくなり、和は有限。1以上なら項は決して小さくならず、和は無限大
$g = 0: \quad \frac{C}{r-0} = \frac{C}{r}$	定額の永久年金	成長のない同じ公式。この回の前半で扱った定額の永久年金

ポイント：成長は分母での引き算として入るので、価値を押し上げます。 $r = 10\%$ のとき、来年 $100 を支払う請求権の価値は、定額なら $1,000、 $g = 5\%$ で成長するなら $2,000 です。条件 $r > g$ はおまけの但し書きではありません。 $g = r$ では成長が割引をちょうど打ち消し、割り引いた支払いはどれも同じ正の額になって、和は無限大です。それを超えると公式はマイナスの数を出しますが、増えていく支払いを受け取る請求権に、そんな価値がつくはずはありません。

II成長と割引の競争

支払いは毎回 $1+g$ 倍になり、割引は1年増えるごとに $1+r$ で割ります。勝つのはどちらでしょうか。

成長率 g 5% 足し合わせる時点の数 4

💡 描かれているのは最初の16時点だけです。 $g < r$ である限り、その後の項が破線 $C/(r-g)$ までの差を埋めていきます。 $g \ge r$ では、累計に上限はありません。

III級数を足し合わせる

$\frac{1+r}{1+g}$ をかけると、どの項も一つ左にずれるので、一つを除いてすべて打ち消し合います。

ステップ 1

IV成長率と価値

$g$ が $r$ に近づくにつれて分母 $r-g$ はゼロに縮み、価値は限りなく上がっていきます。

💡 この公式は、今から無限の先までのすべての年に一つの成長率を当てはめます。ですから、2008年までの中国のように15年間 $r$ より速く成長する経済があっても、反例にはなりません。

V確認クイズ

問1 · 成長する請求権の価格

あるパイプライン契約は今から1年後に $200 を支払い、その後の支払いはそれぞれ一つ前より3%大きく、これが永遠に続きます。割引率は8%です。この契約の今日の価値を求めてください。

✅ 正解です！ 分母は

r - g = 8\% - 3\% = 5\%

なので、契約の価値は最初の支払いの20倍です。

❌ それは $C/r$ 、つまり定額の永久年金です。成長は分母に入ります。割る数は

r - g

で、

r

ではありません。

❌ 分母の符号を確かめましょう。

r + g = 11\%

で割っています。支払いが成長する請求権は、定額の請求権より価値が小さいのではなく、大きくなければなりません。

❌ 惜しい！成長を1回分多くかけています。

C

は、

C/(r-g)

の中ではすでに時点1の支払いなので、割る前にもう一度成長させることはしません。

❌ 惜しい！

\text{PV} = C/(r-g)

を使いましょう。

C = 200

、

r = 0.08

、

g = 0.03

です。

解答を見る

支払いは時点1に $200、次に $200 × 1.03、その次に $200 × 1.03² と永遠に続くので、この契約は $C = 200$ 、 $g = 0.03$ 、 $r = 0.08$ の成長永久年金です。 $r > g$ なので、公式が使えます。

\text{PV} = \frac{C}{r-g} = \frac{200}{0.08 - 0.03} = \frac{200}{0.05} = 4{,}000

契約の価値は $4,000 です。$200 を永遠に支払う定額の請求権なら価値は $\frac{200}{0.08} = 2{,}500$ なので、年3%の成長が永遠に続くことは、同じ支払額から始まる定額の流れより $1,500 多くの価値を生みます。

問2 · 公式が使えなくなるとき

ある株式は今から1年後に $3 の配当を支払うと予想され、その配当は年6%で永遠に成長すると予想されています。投資家が求めるリターンは4%です。この株式の価値を求めてください。

✅ 正解です！ 割り引いた配当はそれぞれ一つ前の

\frac{1.06}{1.04} \approx 1.019

倍なので、項は大きくなっていき、累計はどんな数字も超えていきます。

❌ 引き算を確かめましょう。

r - g = 0.04 - 0.06 = -0.02

なので、ここでは公式はマイナスの数を返します。そして、その数も答えではありません。

❌ 公式はそう出しますが、それは価格ではありません。 毎年増えていく支払いを受け取る請求権の価値が、ゼロより小さくなることはありえません。「かけて引く」導出は、現在価値がもともと有限であることを前提にしていました。

❌ それは $C/g$ です。 成長永久年金の分母は

r - g

で、ここではそれがマイナスです。

❌ 惜しい！

g

と

r

を比べてから、

C/(r-g)

を使いましょう。

解答を見る

公式が足し合わせているはずの級数に戻りましょう。割り引いた配当はそれぞれ、一つ前の配当に次の比をかけたものです。

\frac{1+g}{1+r} = \frac{1.06}{1.04} \approx 1.0192 > 1

ですから項は $\frac{3}{1.04} \approx 2.88$ 、次に $\approx 2.94$ 、その次に $\approx 3.00$ と、一つ前より大きくなっていきます。決して小さくならない項を無限個足せば、和は無限大です。

それでも代入すると、

\frac{C}{r-g} = \frac{3}{0.04 - 0.06} = \frac{3}{-0.02} = -150

となりますが、これは代数が破綻しているのであって、評価ではありません。導出では級数から級数を引きましたが、その操作が正しいのは和が有限の数のときだけです。実務では、分母がマイナスになるのは入力が間違っているということです。要求リターンより速く永遠に成長し続ける配当はありません。

問3 · 項とその和

ある請求権は時点1に $50 を支払い、その後の支払いはそれぞれ一つ前より4%大きく、これが永遠に続きます。割引率は9%です。

割り引いた支払いは、一つの時点から次の時点へ何倍になりますか。

この請求権全体の今日の価値はいくらですか。

✅ 正解です！ 隣り合う項の間の一定の比

0.954 < 1

こそが、無限和を

C/(r-g) = 1{,}000

に落ち着かせるのです。

❌ 両方の動きを確かめましょう。 一つの時点から次の時点へ、支払いは

1+g

倍になり、さらに

1+r

でもう一回多く割られるので、割り引いた支払いは

\frac{1+g}{1+r}

倍になります。

❌ 分母を確かめましょう。 分母は

r - g = 9\% - 4\% = 5\%

です。

r

だけでも

r + g

でもありません。また、割る前に

C

を成長させることもしません。

解答を見る

時点 $t$ の支払いは $C(1+g)^{t-1}$ で、それを $t$ 年分割り引くので、隣り合う割り引いた支払いの比は次のとおりです。

\frac{C(1+g)^{t}/(1+r)^{t+1}}{C(1+g)^{t-1}/(1+r)^{t}} = \frac{1+g}{1+r} = \frac{1.04}{1.09} \approx 0.9541

割り引いた支払いはそれぞれ一つ前の約95.4%です。1より小さい一定の比なので、項は等比的に小さくなり、和は有限です。

\text{PV} = \frac{C}{r-g} = \frac{50}{0.09 - 0.04} = \frac{50}{0.05} = 1{,}000

級数で検算します。最初の割り引いた支払いは $50/1.09 \approx 45.87$ で、初項 $a$ 、公比 $q$ の等比級数の和は $a/(1-q)$ です。

\frac{45.87}{1 - 0.9541} = \frac{45.87}{0.0459} \approx 1{,}000

ですから請求権の価値は $1,000 で、最初の支払いの20倍です。

問4 · 2つの請求権、1つの割引率

次の2つの請求権は、どちらも10%で割り引きます。請求権Aは今から1年後から毎年 $100 を永遠に支払い、成長はありません。請求権Bは今から1年後に $60 を支払い、その後の支払いはそれぞれ一つ前より4%大きく、これが永遠に続きます。

請求権Bの今日の価値はいくらですか。

今日の価値が大きいのはどちらの請求権ですか。

✅ 正解です！ 小さい最初の支払いと小さい分母が、ちょうど打ち消し合います。

\frac{60}{0.06} = \frac{100}{0.10}

です。

❌ 分母を確かめましょう。 成長率は割引率から引きます。

r - g = 10\% - 4\% = 6\%

で、

C = 60

はすでに時点1の支払いです。

❌ 比べる前に、両方の請求権を評価しましょう。 大きい最初の支払いと、速く成長する支払いの流れは逆の方向に働くので、どちらか一方の特徴だけでは順位はわかりません。

解答を見る

請求権Aは定額の永久年金、請求権Bは成長永久年金で、どちらも $r = 0.10$ です。

\text{A}: \ \frac{100}{0.10} = 1{,}000 \qquad \text{B}: \ \frac{60}{0.10 - 0.04} = \frac{60}{0.06} = 1{,}000

どの年をとっても同じ額を支払うことはないのに、今日の価値はどちらも同じ $1,000 です。来年、請求権Bの支払いは $60 で、Aの $100 に及ばず、その後も10年以上Aを下回ります。14年目でも $60(1.04)^{13} \approx 99.9$ です。15年目になってようやくAを上回り、その後は永遠に引き離していきます。

割引は、支払いの流れ全体を一度に評価します。前半の不足も、後半の超過も、それぞれのタイミングも、すでに2つの数字に織り込まれています。最初の支払いや、成長するかどうかで請求権の順位をつけるのは、評価ではありません。

正解数：0 / 4