ファイナンス理論 · 第3回 · 動画7 · インタラクティブ教材

年金の公式：永久年金から永久年金を引く

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$\text{PV} = \dfrac{C}{r} - \dfrac{C}{r}\dfrac{1}{(1+r)^T}$	$T$ 期間の年金（アニュイティ）	$C$ 、 $r$ 、 $T$
$\text{PV} = \dfrac{C}{r}$	永久年金	最初の支払いは時点1
$\dfrac{C}{r}\dfrac{1}{(1+r)^T}$	時点 $T$ の永久年金（時点0で評価）	割り引くのは $T$ 期分で、 $T+1$ 期分ではない
$r \times \text{PV} = C - \dfrac{C}{(1+r)^T}$	かけて引く恒等式	有限の和

ポイント：年金とは、時点0で買って時点 $T$ で売る永久年金です。 $C/r$ を支払い、 $C/r$ を受け取って手放します。二つの項の違いは、 $T$ 期分の割引だけです。

II可視化1 — 引き算で年金を組み立てる

二つの永久年金の一方を遅らせると、時点 $T$ より後はすべて打ち消し合い、残るのが年金です。

手順 1 最後の支払いの時点 T 5

III可視化2 — 時点0で買い、時点Tで売る

永久年金は買ったときと同じ価格で売れます。その価格は、何期分さかのぼって割り引けばよいでしょうか。

売却価格を割り引く期間

時点0での収支（ドル）	金額
時点0で永久年金を買う	$-1{,}000.00$
時点5で売る（5期分割り引く）	$+620.92$
正味のコスト＝5回の支払いの価値	$379.08$

💡 二つの方法は一致します。代数には買い手が登場しませんが、かけて引いた結果を $r$ で割ると、その二つの項がそのまま購入価格と売却価格になります。

IV可視化3 — T回の支払いは永久年金のどれだけにあたるか

永久年金の価値は、時点 $T$ で二つに分かれます。手元に残す支払いと、売り渡す支払いです。

最後の支払いの時点 T 5

V確認クイズ

問1 · 4年間の年金の価格

条件：今後4年間、毎年末に $500 を受け取ります。 $r = 8\%$ のとき、その現在価値を求めてください。

✅ 正解です！ 永久年金の価格は $6,250 で、4年後の売却でも $6,250 が戻ってきます。その今日の価値は $4,593.94 です。年金は両者の差です。

❌ 惜しい！指数を確かめましょう。 売却は時点4なので、割り引くのは4期分です。5期分で計算しています。

❌ それは永久年金の価値です。 $500 / 0.08 = $6,250 は永久に支払いが続く場合です。この流れは時点4で止まるので、時点5以降のすべての価値を引く必要があります。

❌ 惜しい！ 引く項は、売却価格

C/r

全体を割り引いたものです。$500 の支払い1回分ではありません。

❌ 惜しい！ まず永久年金を評価し、そこから時点5以降の部分の価値を引きましょう。

解答を見る

時点0で永久年金を買い、時点4の支払いが届いたらすぐに売ります。購入価格は

\frac{C}{r} = \frac{500}{0.08} = 6{,}250

金利は一定なので、売却価格も同じです。ただしこれは時点4での価値なので、4期分割り引いて時点0に戻します。

\frac{C}{r}\cdot\frac{1}{(1+r)^T} = \frac{6{,}250}{1.08^4} = \frac{6{,}250}{1.360489} = 4{,}593.94

年金の価値は、この取引の正味のコストです。

\text{PV} = 6{,}250 - 4{,}593.94 = 1{,}656.06

支払いごとに検算すると、 $462.96 + 428.67 + 396.92 + 367.51 = 1{,}656.06$ です。現在価値は $1,656.06 です。

問2 · 売却の時点

条件：毎年 $40 を支払う永久年金を $r = 5\%$ で買い、時点10の支払いが届いたらすぐに売ります。その売却の時点0での価値を求めてください。

✅ 正解です！ 価格 $800 はすでに時点10での価値なので、10期分割り引けば時点0に戻ります。

❌ 惜しい！それは11期分です。 買い手の最初の支払いは確かに時点11に来ますが、

C/r

はいつでも最初の支払いの1期前の価値です。11期分割り引くと、その1年の待ち時間を二重に数えることになります。

❌ それは9期分です。 時点10の支払いを受け取るまで証書を持ち、その時点で渡すので、売却は時点10での価値です。

❌ $800 は時点10での価格で、時点0での価格ではありません。 まだ10期分の割引が必要です。

❌ 惜しい！ まず売却時点での永久年金の価格を求め、その価格を時点0まで割り引きましょう。

解答を見る

金利が一定なら永久年金の価格は変わらないので、買い手が支払うのは

\frac{C}{r} = \frac{40}{0.05} = 800

これは時点10での価値です。買い手の最初の支払いは時点11に来て、 $C/r$ は最初の支払いの1期前の価値だからです。したがって10期分割り引きます。

\frac{800}{1.05^{10}} = \frac{800}{1.628895} = 491.13

買い手の受け取る支払いを直接割り引き、 $1/1.05^{10}$ をくくり出して検算します。

\frac{40}{1.05^{11}} + \frac{40}{1.05^{12}} + \cdots = \frac{1}{1.05^{10}}\left[\frac{40}{1.05} + \frac{40}{1.05^{2}} + \cdots\right] = \frac{1}{1.05^{10}}\cdot 800 = 491.13

売却の価値は、時点0のドルで $491.13 です。

問3 · かけて引く

条件：次の有限の和の両辺に $1+r$ をかけ、その結果から元の和を引きます。

\text{PV} = \frac{C}{1+r} + \frac{C}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{C}{(1+r)^T}

引き算の後に何が残りますか。

次に PV について解いてください。

✅ 正解です！ 相手のいない項が二つあります。かけた後の和の先頭の

C

と、元の和の最後の項

\frac{C}{(1+r)^T}

で、後者はマイナスの符号つきで入ります。

❌ 打ち消し合いを確かめましょう。

1+r

をかけると指数がすべて一つずつ下がるので、新しい和は

C, \frac{C}{1+r}, \ldots, \frac{C}{(1+r)^{T-1}}

となります。

\frac{C}{1+r}

から

\frac{C}{(1+r)^{T-1}}

までは両方の和に現れ、ペアごとに打ち消し合います。

❌ 割り算を確かめましょう。

r

で割るのは両方の項です。

C

は

\frac{C}{r}

に、

\frac{C}{(1+r)^T}

は

\frac{C}{r}\frac{1}{(1+r)^T}

になります。

解答を見る

ステップ1： $1+r$ をかける。各分母のべきが一つずつ下がります。

(1+r)\,\text{PV} = C + \frac{C}{1+r} + \cdots + \frac{C}{(1+r)^{T-1}}

ステップ2：元の和を引く。二つの和は $\frac{C}{1+r}$ から $\frac{C}{(1+r)^{T-1}}$ までのすべての項を共有しています。

(1+r)\,\text{PV} - \text{PV} = C - \frac{C}{(1+r)^T} \qquad\Longrightarrow\qquad r \times \text{PV} = C - \frac{C}{(1+r)^T}

ステップ3： $r$ で割る。

\text{PV} = \frac{C}{r} - \frac{C}{r}\frac{1}{(1+r)^T} = \frac{C}{r}\left(1 - \frac{1}{(1+r)^T}\right)

永久年金は、最後の項がないだけで同じ議論です。級数が終わらないので $C$ だけが残り、 $\text{PV} = \frac{C}{r}$ となります。

問4 · ローンの返済額を決める

条件：$20,000 を $r = 6\%$ で借り、毎年1回、5回の均等払いで返済します。最初の支払いは1年後です。返済額 $C$ を求めてください。

✅ 正解です！ 6% のもとで、$4,747.93 の5回の支払いの現在価値はちょうど $20,000 です。

❌ それはローン全体を将来まで複利で増やしています。 $20,000 × 1.06⁵ = $26,764.51 を5等分すると、すでに返済した元本にまで利息をかけることになります。

❌ それは元本を返すだけです。 $20,000 / 5 では、毎年の残高にかかる利息が抜けています。

❌ それは永久年金の支払い額です。 $1,200 = 0.06 × $20,000 は利息を永久に払い続けるだけで、$20,000 そのものは決して返済されません。

❌ 惜しい！ 5回の支払い

C

の現在価値を借入額と等しいとおき、

C

について解きましょう。

解答を見る

返済は5期間の年金で、その現在価値は借入額と等しくなければなりません。

\frac{C}{r}\left(1 - \frac{1}{(1+r)^T}\right) = C \cdot \frac{1 - 1.06^{-5}}{0.06} = C \times 4.212364 = 20{,}000

C = \frac{20{,}000}{4.212364} = 4{,}747.93

取引として検算します。 $C = 4{,}747.93$ を支払う永久年金の価格は $C/r = 79{,}132$ で、時点5での売却の今日の価値は $79{,}132 / 1.06^5 = 59{,}132$ です。その差が、借りて手にした $20,000 です。

返済額は毎年 $4,747.93 です。

正解数：0 / 4