ファイナンス理論 · 第4回 · 動画4 · インタラクティブ教材

インフレは逆向きにも進む：消費バスケットの価格で富を測る

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{富 } W_t \;\Leftrightarrow\; \text{物価指数 } I_t$	ある時点での組	$W_t$ はあなたが持っているドルの額、 $I_t$ はあなたが実際に消費するバスケットの価格です
$\text{生活費の上昇} \;\equiv\; \dfrac{I_{t+k}}{I_t} \;=\; (1+\pi)^k$	生活費の比	1期あたり一定の率 $\pi$ のもとで、同じバスケットが $k$ 期間後にどれだけ高くなっているか
$I_{t+k} = I_t\,(1+\pi)^k$	$k$ 期間後の指数	同じ式を変形したもの。バスケットの後の価格は、率 $\pi$ で $k$ 回成長した値です
$\dfrac{W_t}{I_t}$	バスケットで測った富	そのドルで買える量。生活水準はドルの額ではなく、消費で測ります

ポイント：せっかち（時間選好）は一方向にしか働きません。後のキャッシュフローが割り引かれるのは人が今のお金を好むからで、物価は何の役割も果たしません。インフレはもう一方の主張、つまり物価についての主張で、符号は決まっていません。 $\pi > 0$ ならバスケットが高くなり、1ドルで買えるものは減ります。 $\pi < 0$ なら安くなり、1ドルで買えるものは増えます。ここでの $\pi$ は、 $r$ が金利を表すのと同じく、インフレ率を表す変数名であって、幾何学の定数ではありません。

IIインフレは逆向きにも進む

1バレルの価格は2年で2倍以上になり、その後数か月で下がりました。同じ1ドルでも、得られる暖房の量が変わるのです。

比べる基準

💡 せっかちさが逆向きになることはありません。この数か月のどの時点でも、次の冬に受け取る1ドルは、今日の1ドルより価値が低いままでした。

III $k$ 期間にわたる生活費

1期あたり一定の率 $\pi$ のもとでは、バスケットの価格は複利で増え、 $I_{t+k}/I_t$ は $(1+\pi)^k$ にまとまります。

インフレ率 π 3.0% 期間 k 5.0

IV2本のトラック：持っているものと、暮らしにかかる費用

富だけでは、暮らし向きが良くなったかどうかはわかりません。バスケットの価格を横に並べて読む必要があります。

💡 チャレンジ：バスケットが$125のとき、生活水準をちょうど変えない $t+5$ の富を求めてください。

V確認クイズ

問1 · 4期間のインフレ

条件：生活費が1期あたり一定の率 $\pi = 3\%$ で上昇します。生活費の比 $I_{t+4}/I_t$ を求めてください。

✅ 正解です！

(1.03)^4 = 1.1255

です。4期間後、バスケットは12.55%高くなります。

❌ あと一歩！

1.12

は

1 + 4\pi

です。各期の3%は、すでに高くなったバスケットにかかるので、比は

1 + 4\pi

ではなく

(1+\pi)^4

です。

❌ 惜しい！

0.8885 = 1/(1.03)^4

は、1ドルで買える量、つまり生活費の比の逆数です。

❌ 惜しい！

k

期間の比は

(1+\pi)^k

で、

\pi = 0.03

、

k = 4

です。

解答を見る

$k$ 期間の生活費の上昇は、2つの指数の比です：

\frac{I_{t+4}}{I_t} = (1+\pi)^4 = (1.03)^4 = 1.1255

順に計算すると、 $(1.03)^2 = 1.0609$ 、 $(1.0609)^2 = 1.1255$ です。

同じバスケットは12%ではなく12.55%高くなります。余分の0.55%は、インフレの上にさらにかかったインフレです。したがって1ドルで買えるのは、時点 $t$ に買えた量の $1/1.1255 = 0.8885$ です。

問2 · バスケットが安くなるとき

条件：ある家庭のバスケットは、時点 $t$ に$120、時点 $t+3$ に$108です。正しい記述はどれですか？

✅ 正解です！

108/120 = 0.90 < 1

なので

\pi

は負です。バスケットが安くなり、同じ1ドルでより多く買えます。

❌ あと一歩！ 比は合っています。比が1より小さいということは、時点

t+3

のバスケットが安いということなので、1ドルで買えるものは減るのではなく増えます。

❌ 惜しい！ 前の指数を後の指数で割っています。生活費の比は

I_{t+3}/I_t = 108/120

、つまり後の水準を前の水準で割ったものです。

❌ 惜しい！ それはもう一方の主張です。せっかちさは物価がどう動こうと後のキャッシュフローを割り引きますが、インフレは物価についての主張で、符号は決まっていません。

❌ 惜しい！ まず

I_{t+3}/I_t

を計算し、それが1より大きいか小さいかを見ましょう。

解答を見る

生活費の比は、後の指数を前の指数で割ったものです：

\frac{I_{t+3}}{I_t} = \frac{108}{120} = 0.90

$0.90 < 1$ なので、時点 $t+3$ のバスケットは安くなっています。同じドルで約11%多く買えます（ $1/0.90 = 1.111$ ）。 $0.90 = (1+\pi)^3$ を解くと

\pi = 0.90^{1/3} - 1 = -0.0345 = -3.45\%\ \text{（1期あたり）}

これは貨幣の時間価値と何も矛盾しません。せっかちさが逆向きになることはなく、時点 $t+3$ のキャッシュフローはやはり割り引かれます。しかし物価は逆向きにも動きます。ここではまさにそうなったのです。

問3 · 2本のトラックを読む

条件：ある家庭は富 $W_t$ として$50,000を持ち、バスケットの価格は $I_t$ = $100です。5期間で富は$60,000に増え、その間のインフレ率は1期あたり $\pi = 4\%$ です。

バスケットの後の価格 $I_{t+5}$ はいくらですか？

この家庭は、時点 $t+5$ にいくつのバスケットを消費できますか？

✅ 正解です！ 富は20%増えましたが、バスケットは21.67%上がったので、消費は500バスケットから約493バスケットへ少し減ります。ドルは増えても、暮らしはわずかに苦しくなるのです。

❌ あと一歩！ $120は

100 \times (1 + 5 \times 0.04)

です。指数は複利で増えます：

100 \times (1.04)^5

。

❌ 指数を確認しましょう。

I_{t+5} = I_t (1+\pi)^5

で、

I_t = 100

、

\pi = 0.04

です。

❌ 惜しい！ それは富のトラックだけを読んでいます。ドルが20%増えてバスケットも20%多く買えるのは、バスケットの価格が変わらなかった場合だけです。

❌ 消費を確認しましょう。 後の富を、バスケットの後の価格で割ります：

W_{t+5}/I_{t+5}

。

解答を見る

ステップ1：価格のトラック

I_{t+5} = I_t (1+\pi)^5 = 100 \times (1.04)^5 = 100 \times 1.21665 = 121.67

したがって、バスケットの価格は$121.67です。

ステップ2：富のトラックをバスケットで読む

\frac{W_t}{I_t} = \frac{50{,}000}{100} = 500 \qquad \frac{W_{t+5}}{I_{t+5}} = \frac{60{,}000}{121.67} = 493.2

ステップ3：比べる 富は $60{,}000/50{,}000 = 1.20$ 倍、生活費は $1.21665$ 倍になりました。したがって消費は次の倍率で変わります。

\frac{1.20}{1.21665} = 0.9863

約1.4%の減少で、500バスケットから493バスケットになります。後の時点の富を知るだけでは足りなかったのです。

問4 · 生活水準を保つ

条件：富 $W_t$ は$40,000、バスケットの価格 $I_t$ は$200、インフレ率は1期あたり $\pi = 5\%$ です。この家庭の生活水準をちょうど変えない富 $W_{t+2}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 富はバスケットと同じ倍率

(1.05)^2 = 1.1025

で増える必要があり、

40{,}000 \times 1.1025 = 44{,}100

です。

❌ あと一歩！ $44,000では富が

1 + 2\pi = 1.10

倍にしかなりません。バスケットは

(1.05)^2 = 1.1025

倍になるので、200バスケットにわずかに届かなくなります。

❌ 惜しい！ それは

\pi

を1回しか当てはめていません。2期間のインフレは複利で効きます：

(1+\pi)^2

。

❌ 惜しい！ バスケットが高くなるのに同じドルのままでは、消費が減ります。生活水準は下がるのです。

❌ 惜しい！

W/I

を一定に保ちます：

W_{t+2} = W_t \times I_{t+2}/I_t

。

解答を見る

ステップ1：時点 $t$ のバスケット数

\frac{W_t}{I_t} = \frac{40{,}000}{200} = 200 \ \text{バスケット}

ステップ2：2期間後のバスケットの価格

I_{t+2} = 200 \times (1.05)^2 = 200 \times 1.1025 = 220.50

ステップ3：200バスケットを買い続けられる富

W_{t+2} = 200 \times 220.50 = 44{,}100

言い換えれば、富はちょうど生活費の比の分だけ増えなければなりません： $40{,}000 \times 1.1025 = 44{,}100$ 、つまり$44,100です。これより少なければ2本のトラックは釣り合わず、$44,000では、この家庭は1バスケットに満たない分だけ足りなくなります。

正解数：0 / 4

インフレは逆向きにも進む：消費バスケットの価格で富を測る

I重要な公式

IIインフレは逆向きにも進む

IIIkkk 期間にわたる生活費

IV2本のトラック：持っているものと、暮らしにかかる費用

V確認クイズ

III $k$ 期間にわたる生活費