ファイナンス理論 · 第4回 · 動画5 · インタラクティブ教材

ドルが10%増えても豊かにならない：実質収益率と対応のルール

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$(1 + r_{\text{名目}})^k = \dfrac{W_{t+k}}{W_t}$	名目収益率	2つの時点の富
$\widetilde{W}_{t+k} \equiv \dfrac{W_{t+k}}{(1+\pi)^k}$	実質の富	名目の富とインフレ率
$r_{\text{実質}} = \dfrac{1 + r_{\text{名目}}}{1 + \pi} - 1 \;\approx\; r_{\text{名目}} - \pi$	実質収益率（厳密な式と経験則）	2つの率
$\text{PV} = \sum_t \dfrac{C_t^{\text{実質}}}{(1 + r_{\text{実質}})^{t}} = \sum_t \dfrac{C_t^{\text{名目}}}{(1 + r_{\text{名目}})^{t}}$	対応のルール	実質か名目かが明示されたキャッシュフロー

ポイント： $(1 + r_{\text{名目}}) = (1 + r_{\text{実質}})(1 + \pi)$ 。インフレはこの積のちょうど片側にだけ属します。だからこそ、実質キャッシュフローを名目金利で割り引くと、インフレが二度取り除かれてしまうのです。

IIドルを数える、バスケットを数える

来年ドルが増えても、来年何かを多く買えるとは限りません。

インフレ率 π 10%

III割るか、引くか

経験則 $r_{\text{名目}} - \pi$ は、厳密な実質収益率からどこで、どれだけずれるのでしょうか。

名目収益率 r 15%

💡 2本の曲線は $\pi = 0$ と $\pi = r_{\text{名目}}$ で交わります。近道の誤差がちょうど $\dfrac{(r_{\text{名目}} - \pi)\,\pi}{1 + \pi}$ だからです。

IVキャリアの現在価値

1つのキャリアを4通りに評価します。2つの組み合わせはルールに従い、残りの2つはルールを破ります。

キャッシュフロー割引率

💡 正しく対応させた2つの方法は、合計だけでなく各項まで一致します。実質キャッシュフローに $(1+\pi)^{t}$ をかけ、その割引係数にも同じ $(1+\pi)^{t}$ をかけても、どの比も変わらないからです。

V確認クイズ

問1 · 名目収益率からインフレを除く

条件：あるポートフォリオの1年間の収益率は $8\%$ 、その間のインフレ率は $3\%$ です。厳密な実質収益率を求めてください。

✅ 正解です！

\dfrac{1.08}{1.03} - 1 = 0.048544

、つまり

4.85\%

で、経験則が示す

5\%

をわずかに下回ります。

❌ 割る代わりにかけています。

1.08 \times 1.03 - 1 = 11.24\%

は、インフレを収益率に上乗せして複利計算しています。実質の富は、名目の富を

1 + \pi

で割ったものです。

❌ 分子は正しいのですが、割る数が違います。

\dfrac{0.05}{0.97}

は

1 - \pi

で割っています。物価は上がったのですから、割る数は

1 + \pi = 1.03

です。

❌ それは経験則で、厳密な値ではありません。

8\% - 3\%

は引き算です。厳密な式は

1 + \pi

で割るので、

\dfrac{0.05}{1.03} = 4.85\%

になります。

解答を見る

名目収益率から、積み重なったインフレの分を割り算で取り除きます：

r_{\text{実質}} = \frac{1 + r_{\text{名目}}}{1 + \pi} - 1 = \frac{1.08}{1.03} - 1 = 1.048544 - 1 = 4.85\%

変形すると、同じものは $\dfrac{r_{\text{名目}} - \pi}{1 + \pi} = \dfrac{0.05}{1.03} = 4.85\%$ と書けます。分子は経験則と同じですが、それを $1 + \pi$ で割っています。

ここでの近道の誤差は $\dfrac{(0.08 - 0.03)(0.03)}{1.03} = 0.146$ パーセントポイントです。この誤差が小さいからこそ、近道は実務で使われ続けているのです。

問2 · 分母に入れるべき率

条件：今日の購買力で示された年金の予測があり、市場金利は $6\%$ 、インフレ率は $2.5\%$ です。割引係数に入れるべき率を求めてください。

✅ 正解です！ 予測が実質なので、率も実質でなければなりません：

\dfrac{1.06}{1.025} - 1 = 3.41\%

。

❌ 組み合わせが食い違っています。 予測からはすでにインフレが取り除かれています。

6\%

の市場金利にはまだインフレが含まれているので、それを使うとインフレを二度取り除くことになり、現在価値を過小評価してしまいます。

❌ インフレ率は割引率ではありません。 インフレ率は、実質と名目の単位を換算するためのものです。貨幣の時間価値は

6\%

の中に残っていて、その分も割り引く必要があります。

❌ インフレを取り除くのではなく、上乗せしています。 実質金利は、市場金利からインフレを割り算で取り除いたもの、

\dfrac{1.06}{1.025} - 1

であって、

1.06 \times 1.025 - 1

ではありません。

解答を見る

キャッシュフローは一定の購買力で示されているので実質であり、ルールに従えば実質金利を使います：

r_{\text{実質}} = \frac{1 + r_{\text{名目}}}{1 + \pi} - 1 = \frac{1.06}{1.025} - 1 = 3.41\%

経験則なら $6\% - 2.5\% = 3.5\%$ となり、近いものの $0.085$ パーセントポイント高くなります。

もう1つの方法も同じく正しく、同じ答えになるはずです。予測に $(1.025)^{t}$ をかけて実際のドルに直し、 $6\%$ で割り引くのです。決して正しくないのは、実質と名目を1つずつ組み合わせることです。

問3 · キャリアの1年目

条件：金利は $5\%$ 、インフレ率は $2\%$ で、来年の給与は今日の購買力で$102,000と予測されています。実質の割引率を求め、次にその1つのキャッシュフローの現在価値を求めてください。

実質金利はいくらですか？

そのキャッシュフローの現在価値はいくらですか？

✅ 正解です！ 実質金利は

\dfrac{1.05}{1.02} - 1 = 2.94118\%

で、$102,000を

1.0294118

で割ると$99,086です。

❌ それは実質金利ではありません。 市場金利からインフレを割り算で取り除きます：

\dfrac{1 + 0.05}{1 + 0.02} - 1

。引き算では

3.00\%

、かけ算では

7.10\%

、

1 + \pi

の代わりに

1 + r

で割ると

2.86\%

になりますが、どれもこの比ではありません。

❌ 割る数を確認しましょう。 1期先の実質キャッシュフローは

1 + r_{\text{実質}}

で割ります。

1 + \pi

でも、丸めた

3\%

でもありません。

❌ それは割り引いたのではなく、伸びを打ち消しただけです。 $102,000を

1.02

で割ると今年の給与に戻るだけで、キャッシュフローはまだ1年分、時間をさかのぼらせる必要があります。

❌ 組み合わせが食い違っています。 $102,000はすでに実質の数字なので、

5\%

の名目金利を使うとインフレを二度取り除くことになります。$97,143は$1,943低すぎます。

解答を見る

ステップ1：実質金利

r_{\text{実質}} = \frac{1.05}{1.02} - 1 = 0.0294118 \quad\text{つまり } 2.94118\%

表示の $2.94\%$ は丸めた値です。計算には比そのものを使います。

ステップ2：実質キャッシュフローを実質金利で割り引く $102,000 ÷ $1.0294118$ = $99,085.71で、1ドル単位に丸めると$99,086です。

検算：もう1つの道筋 実際のドルでは、来年の給与は$100,000 × $1.02$ × $1.02$ = $104,040で、$104,040 ÷ $1.05$ = $99,085.71になります。同じ数字になるのは、 $(1 + r_{\text{名目}}) = (1 + r_{\text{実質}})(1 + \pi)$ だからです。

問4 · 3年間の購買力

条件：あるファンドの収益率は3年間毎年 $9\%$ 、その間のインフレ率は毎年 $4\%$ です。3年間で購買力が何倍になるかを求めてください。

✅ 正解です！

\left(\dfrac{1.09}{1.04}\right)^{3} = 1.1513

です。インフレ率

4\%

のもとで

9\%

を3年間続けると、買えるものは

15.13\%

増えます。

❌ それは経験則を複利計算しています。

1.05^{3} = 1.1576

は

9\% - 4\% = 5\%

を使っています。厳密な実質収益率は

\dfrac{1.09}{1.04} - 1 = 4.808\%

で、近道の誤差も率と一緒に複利で積み重なります。

❌ それはバスケットの数ではなく、ドルの数です。

1.09^{3} = 1.2950

は、物価水準も

1.04^{3} = 1.1249

倍に上がったことを無視しています。答えは比

\dfrac{1.2950}{1.1249}

です。

❌ それは1年分だけです。

\dfrac{1.09}{1.04} = 1.0481

は1期間の実質の倍率です。購買力は複利で増えるので、3乗します。

解答を見る

実質の富は名目の富を物価水準で割ったものなので、3年間の2つの倍率も割り算になります：

(1 + r_{\text{実質}})^{3} = \frac{(1.09)^{3}}{(1.04)^{3}} = \frac{1.295029}{1.124864} = 1.151276

購買力は $15.13\%$ 増えます。経験則なら $15.76\%$ 、ドルの数では $29.50\%$ になるところです。

1年あたりの実質収益率は $\dfrac{1.09}{1.04} - 1 = 4.808\%$ で、 $1.04808^{3} = 1.1513$ と同じ値になります。比のべき乗は、べき乗の比に等しいからです。

正解数：0 / 4