ファイナンス理論 · 第6回 · 動画2 · インタラクティブ教材

今日の二つの価格から来年の金利を読む：スポットレートと金利の期間構造

I重要な公式

公式	名称	説明
$P_0 = \dfrac{F}{(1+R_1)(1+R_2)\cdots(1+R_T)}$	1年物金利の連鎖から求める価格	価格についての理論です。1年物金利 $R_t$ （時点 $t-1$ から時点 $t$ まで）が順番に複利で効き、額面 $F$ はその積で割り引かれます。 $R_t$ は今日の時点では観察できません
$r_{0,T} = \left[(1+R_1)(1+R_2)\cdots(1+R_T)\right]^{1/T} - 1$	$T$ 年物スポットレート	毎年当てはめると連鎖と同じ成長係数になる、ただ一つの金利です。1年物金利の幾何平均であって、 $T$ 年目だけの金利ではありません
$r_{0,T} = \left(\dfrac{F}{P_{0,T}}\right)^{1/T} - 1$	価格から求めるスポットレート	価格と額面は観察できるので、スポットレートが決まります： $r_{0,5} = (1/0.797)^{1/5} - 1 \approx 4.64\%$ 。1年未満では指数 $1/T$ が1を超えます： $r_{0,\frac12} = (1/0.983)^{2} - 1 \approx 3.49\%$ 。これは年率です
$\dfrac{P_{0,1}}{P_{0,2}} = 1+R_2$	2つの価格から得る予想	将来の1年物金利が今日分かっているとすると、 $F$ と $(1+R_1)$ が打ち消し合います。どちらの価格も今日観察できるので、この比は2つの価格による $R_2$ の予想です： $0.967/0.927 \approx 1.0431$ 、 $R_2 \approx 4.31\%$

ポイント：スポットレートは観察できます。そしてその中には、観察できない1年物金利が、少なくともそれらについての今日の予想が収まっています。1年物の債券では連鎖が1年分しかないので $r_{0,1} = R_1$ です。そこで1年物と2年物の価格を比べれば、市場による $R_2$ の予想だけを取り出せます。

II価格の形で書いた、ある一日の期間構造

ストリップス債のどの価格も、満期ごとに同じ逆算でスポットレートに換算できます。

満期 T 5年

III2つの価格から1つの予想

1年物の価格を2年物の価格で割ると $1+R_2$ が残ります。来年の1年物金利についての、今日の予想です。

1年物の価格 P₀,₁ 0.967 2年物の価格 P₀,₂ 0.927

IVスポットレートは連鎖全体の平均

5年物スポットレートは5つの1年物金利の幾何平均であって、5年目の金利ではありません。

R₁ 3.50% R₂ 4.25% R₃ 4.75% R₄ 5.25% R₅ 5.50%

💡 観察できるのは $P_0$ と $F$ だけで、連鎖の中の1年物金利は観察できません。ですから $r_{0,5}$ は、市場価格がそれらについて明かすものを、一つの平均として表しているのです。

V確認クイズ

問1 · 価格からスポットレートを読む

条件：2001年8月1日、10年物のストリップス債は額面$1あたり0.605で取引されていました。10年物スポットレート $r_{0,10}$ を求めてください。

✅ 正解です！

0.605 = 1/(1+r_{0,10})^{10}

なので、

r_{0,10} = (1/0.605)^{1/10} - 1 \approx 5.15\%

です。その日の期間構造をなす金利の一つです。

❌ それは総収益率を均等に割っています。

(1/0.605 - 1)/10 \approx 6.53\%

は複利を無視しています。金利は10年間複利で効くので、10で割るのではなく、

1/0.605

の10乗根をとります。

❌ それは10年間の総収益率です。

1/0.605 - 1 \approx 65.29\%

は10年間全体の成長です。スポットレートは年率なので、1を引く前に

1/0.605

を

1/10

乗します。

❌ 価格の逆数をとっていません。

1 - 0.605^{1/10} \approx 4.90\%

は価格に対する割引の率です。スポットレートは0.605を1まで成長させる金利です：

(1/0.605)^{1/10} - 1

。

解答を見る

ストリップス債は割引債なので、10年後の1ドルを10年分割り引いたものが価格になります。

0.605 = \frac{1}{(1+r_{0,10})^{10}} \quad\Longrightarrow\quad r_{0,10} = \left(\frac{1}{0.605}\right)^{1/10} - 1

$1/0.605 \approx 1.652893$ 、 $1.652893^{1/10} \approx 1.051537$ なので、10年物スポットレートは年約5.15%です。

問2 · 1年未満では指数が逆になる

条件：同じ日、3か月物のストリップス債は額面$1あたり0.991で取引されていました。つまり $T = \tfrac14$ です。年率のスポットレート $r_{0,\frac14}$ を求めてください。

✅ 正解です！ 指数は

1/T = 1/(1/4) = 4

なので、比を4乗します：

(1/0.991)^4 - 1 \approx 3.68\%

（年率）。

❌ 指数の向きが逆です。

(1/0.991)^{1/4} - 1

は4乗根をとっています。指数は

1/T

で、

T = \tfrac14

ならそれは

4

です。1年未満では、比を1より大きい指数で累乗します。

❌ それは3か月間の収益率です。

1/0.991 - 1 \approx 0.91\%

は4分の1年で得られる分です。スポットレートは年率なので、4四半期分を複利で計算します。

❌ 4倍すると複利が抜け落ちます。

4 \times 0.908\% \approx 3.63\%

は4四半期分の収益を足しただけで、増えた分がさらに増える効果が入っていません。スポットレートは複利です：

(1/0.991)^4 - 1

。

解答を見る

4分の1年後の1ドルの価格は $0.991 = 1/(1+r_{0,\frac14})^{1/4}$ を満たします。解くと、指数は $1/T = 4$ になります。

r_{0,\frac14} = \left(\frac{1}{0.991}\right)^{4} - 1 \approx 1.036825 - 1

3か月物のスポットレートは、年率で表して約3.68%です。

問3 · 予想してから平均する

条件：1年物の割引債が $P_{0,1} = 0.960$ 、2年物の割引債が $P_{0,2} = 0.910$ で売られています（どちらも額面$1あたり）。将来の1年物金利は今日分かっているものとします。

2つの価格から得られる $R_2$ の予想はいくらですか？

2年物スポットレート $r_{0,2}$ はいくらですか？

✅ 正解です！ 比から

1 + R_2 = 0.960/0.910 \approx 1.0549

が得られ、2年物スポットレート

\sqrt{1/0.910} - 1 \approx 4.83\%

は

R_1 \approx 4.17\%

と

R_2 \approx 5.49\%

の間にあります。

❌ それは価格の差です。

0.960 - 0.910 = 0.050

は金利ではありません。予想は比から得られます：

P_{0,1}/P_{0,2} = 1 + R_2

。

❌ それは2年物スポットレートです。

r_{0,2}

は2年分を平均したものです。予想は2年目だけの金利です：

0.960/0.910 - 1

。

❌ それは2年間の総収益率です。

1/0.910 - 1 \approx 9.89\%

は2年物の価格しか使っていません。1年物の価格で割ると、1年目の係数が取り除かれます。

❌ 総収益率を半分にすると複利が抜け落ちます。

(1/0.910 - 1)/2 \approx 4.95\%

。スポットレートは平方根です：

\sqrt{1/0.910} - 1

。

❌ それは2年目だけの金利です。

r_{0,2}

は

T

年目の金利ではなく、

R_1

と

R_2

の幾何平均です。

❌ それは1年目だけの金利です。

R_1 = 1/0.960 - 1 \approx 4.17\%

は

r_{0,1}

に等しい金利です。2年物スポットレートは、これを

R_2

と平均したものです。

❌ 惜しい！ 1年物の価格を2年物の価格で割り、1を引きます。

❌ 惜しい！

0.910 = 1/(1+r_{0,2})^2

を

r_{0,2}

について解きます。

解答を見る

予想。額面が同じなら、価格の比では $F$ と $(1+R_1)$ が打ち消し合います。

\frac{P_{0,1}}{P_{0,2}} = 1 + R_2 = \frac{0.960}{0.910} \approx 1.0549 \quad\Longrightarrow\quad R_2 \approx 5.49\%

スポットレート。2年物の価格だけで求まります。

r_{0,2} = \sqrt{\frac{1}{0.910}} - 1 \approx 1.048285 - 1 \approx 4.83\%

連鎖で検算。 $1 + R_1 = 1/0.960$ で、 $\sqrt{(1/0.960)(0.960/0.910)} = \sqrt{1/0.910}$ なので、どちらの道筋でも同じ $r_{0,2}$ になります。 $R_1 \approx 4.17\%$ と $R_2 \approx 5.49\%$ の幾何平均です。

問4 · 2つのスポットレートから予想へ

条件：1年物スポットレートが $r_{0,1} = 3\%$ 、2年物スポットレートが $r_{0,2} = 4\%$ です。これらの金利が示す $R_2$ （1年目から2年目までの1年物金利）の予想を求めてください。

✅ 正解です！

(1.04)^2 = (1.03)(1+R_2)

なので、

1 + R_2 = 1.0816/1.03 \approx 1.0501

、

R_2 \approx 5.01\%

です。

❌ それは $r_{0,2}$ を算術平均として扱っています。

2 \times 4\% - 3\% = 5\%

なら4%は3%と5%の単純平均になりますが、

\sqrt{(1.03)(1.05)} - 1 \approx 3.9952\%

で、4%に届きません。複利で計算します：

1.04^2 / 1.03

。

❌ 2年物スポットレートは2年目の金利ではありません。

r_{0,2}

は

R_1

と

R_2

の平均です。

R_1 = 3\%

が平均を下回るので、

R_2

は4%を上回るはずです。

❌ それはスポットレートどうしの差です。

4\% - 3\%

は1年物金利ではありません。

(1.04)^2 = (1.03)(1 + R_2)

を解きます。

解答を見る

1年物なら連鎖の係数は1つなので、 $R_1 = r_{0,1} = 3\%$ です。2年物スポットレートは、複利で2つの1年物金利の連鎖と同じだけの成長になります。

(1 + r_{0,2})^2 = (1+R_1)(1+R_2) \quad\Longrightarrow\quad 1 + R_2 = \frac{1.04^2}{1.03} = \frac{1.0816}{1.03} \approx 1.050097

予想は $R_2 \approx 5.01\%$ です。額面$1あたりの価格からも同じ数字が出ます： $P_{0,1} = 1/1.03 \approx 0.970874$ 、 $P_{0,2} = 1/1.0816 \approx 0.924556$ で、その比はやはり $1.0816/1.03$ です。

正解数：0 / 4