ファイナンス理論 · 第6回 · 動画4 · インタラクティブ教材

フォワードレート：今日のスポットレートから来年の金利を固定する

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$1 + f_t = \dfrac{P_{0,t-1}}{P_{0,t}} = \dfrac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,t-1})^{t-1}}$	時点 $t-1$ から $t$ までの1年物フォワードレート	2つの割引債の価格、または満期 $t-1$ と $t$ の2つのスポットレート
$(1+r_{0,2})^2 = (1+r_{0,1})(1+f_2)$	2年目までの2つの道筋	$t = 2$ の場合：2年物スポットレートで2年間か、スポットレートで1年、続いてフォワードレートで1年か
$f_1 = r_{0,1}$	最初のフォワードレート	ほかには何も要りません。その期間は今日始まります
$(1+f_{3\to5})^2 = \dfrac{(1+r_{0,5})^5}{(1+r_{0,3})^3}$	3年目から5年目までの2年物フォワードレート $f_{3\to5}$ （年率で表示）	5年物と3年物のスポットレート。 $(1+f_{3\to5})^2 = (1+f_4)(1+f_5)$

ポイント：3つの金利を区別しましょう。スポットレート $r_{0,t}$ は今日始まり、今日わかっています。将来のスポットレート $R_t$ は後で始まり、今日はわかりません。フォワードレート $f_t$ は、後で始まる期間について今日決まる金利です。1年目が来たとき、 $R_2$ が今日提示された $f_2$ に等しいとは限りません。

IIスポットレートの曲線からフォワードレートを読み取る

1年物フォワードレート $f_t$ は、どれも2つのスポットレート $r_{0,t}$ と $r_{0,t-1}$ を比べることで得られます。

フォワードレート

III最高財務責任者（CFO）が2年目の金利を固定する

今日のうちに1年間借りて2年間貸せば、わからない $R_2$ が、今決まる金利に置き換わります。

ステップ取引 r₀,₁ 5.0% r₀,₂ 7.0%

ポジション（100万ドル）	0年目	1年目	2年目
1年物の借入
2年物の貸付
本国送金
正味

IV平均ではなく複利で考える

2年間をまとめると $r_{0,2}$ を稼ぎ、1年目が $r_{0,1}$ を稼ぐなら、2年目はいくら稼がなければならないでしょうか？

スポットレート 2年目の予想 7.00%

V確認クイズ

問1 · 2つのスポットレートからフォワードレートを求める

条件： $r_{0,1} = 4\%$ 、 $r_{0,2} = 6\%$ です。1年目から2年目までの1年物フォワードレート $f_2$ を求めてください。

✅ 正解です！

1 + f_2 = (1.06)^2 / 1.04 = 1.1236 / 1.04 \approx 1.0804

。1年目が4%しか稼がないので、2年目は6%より多く稼がなければなりません。

❌ 惜しい！

5\%

は2つのスポットレートの平均です。しかし

r_{0,2} = 6\%

はすでに2年間の両方をカバーしています。

f_2

は2年目だけの金利で、1年目が4%しか稼がない分を埋め合わせなければなりません。

❌ 惜しいですが、それは複利ではなく平均です。

2 \times 6 - 4 = 8

は、

6\%

を

4\%

と

f_2

の単純平均として扱っています。決め手は複利です。

1.04 \times 1.08 = 1.1232

は

(1.06)^2 = 1.1236

にわずかに届かないので、

f_2

は

8\%

を少し上回ります。

❌ 惜しい！

6\% - 4\% = 2\%

は2つのスポットレートの差であって、どの期間の金利でもありません。成長係数を比べましょう。

(1.06)^2

を

1.04

で割ります。

解答を見る

2年物スポットレートで2年間増やした1ドルは、1年物スポットレートで1年、続いてフォワードレートで1年増やした1ドルと、同じだけ増えなければなりません：

(1+r_{0,2})^2 = (1+r_{0,1})(1+f_2)

1 + f_2 = \frac{(1.06)^2}{1.04} = \frac{1.1236}{1.04} \approx 1.0804

したがって $f_2 \approx 8.04\%$ です。検算： $1.04 \times 1.0804 = 1.123616 \approx 1.1236 = (1.06)^2$ 。

問2 · フォワードレートと将来のスポットレート

条件：今日 $r_{0,1} = 5\%$ 、 $r_{0,2} = 7\%$ なので $f_2 \approx 9.04\%$ です。CFO は952万4,000ドルを5%で1年間借り、それを7%で2年間貸します。1年目が来たとき、提示される1年物金利は $R_2 = 7.5\%$ でした。正しいのはどれですか？

✅ 正解です！ 2つの取引はどちらも今日合意したものなので、2年目の受取額1,090万4,000ドルは今日決まっています。1年目に本国へ戻ってくる1,000万ドルは、

R_2

がいくらになろうと

10.904 / 10 - 1 = 9.04\%

を稼ぎます。

❌ 惜しい！ 何もリセットされません。7%の2年物の貸付は、1年目にどんな金利が提示されても、2年目に

9.524 \times (1.07)^2 \approx 10.904

（単位：100万ドル）を支払います。それこそが金利を固定する意味です。

❌ 惜しい！

f_2

は今日の債券価格で決まり、

R_2

は1年目が来て初めて決まるもので、今日は観察できません。2つはたいてい異なり、その差は今日の価格が間違っていた証拠にはなりません。

❌ 惜しい！

7\%

は2年間をまとめた金利です。1年目は

5\%

を稼ぐので、2年目の分は

f_2 \approx 9.04\%

です：

1.05 \times 1.0904 = 1.14492 \approx (1.07)^2

。

解答を見る

CFO のお金の流れを百万ドル単位で追います。0年目： $10/1.05 \approx 9.524$ を借り、同じ $9.524$ を貸すので、正味は $0$ です。1年目：借入の返済額 $\tfrac{10}{1.05} \times 1.05 = 10$ を、本国に戻ってくる $10$ でまかなうので、正味は $0$ です。2年目：2年物の貸付から $\tfrac{10}{1.05} \times (1.07)^2 \approx 10.904$ が支払われます。

これらの金額はどれも今日行った2つの取引で決まっているので、2年目の金利は、 $R_2$ がいくらになろうと $10.904 / 10 - 1 = 9.04\%$ です。フォワードレートは、将来の期間について今日観察できる金利です。将来のスポットレート $R_2$ は今日はわからず、 $f_2$ に等しくなることはまずありません。

問3 · ストリップス債の価格からフォワードレートを求める

条件：額面1ドルあたりのストリップス債の価格は $P_{0,1} = 0.95$ 、 $P_{0,2} = 0.88$ 、 $P_{0,3} = 0.80$ です。1年物フォワードレート $f_2$ と $f_3$ を（小数第2位まで）求めてください。

f₂（1年目から2年目まで）はいくらですか？

f₃（2年目から3年目まで）はいくらですか？

✅ 正解です！ フォワードレートはどれも、隣り合う2つの価格の比です：

0.95/0.88 \approx 1.0795

、

0.88/0.80 = 1.10

。

❌ 惜しい！

1/0.95 - 1 \approx 5.26\%

は1年物スポットレート

r_{0,1}

で、これは

f_1

です。

f_2

には、1年目と2年目に満期を迎える債券を比べます：

P_{0,1}/P_{0,2}

。

❌ 惜しい！

(1/0.88)^{1/2} - 1 \approx 6.60\%

は2年物スポットレート

r_{0,2}

で、2年間の両方にならした金利です。

f_2

が対象とするのは1年目から2年目までだけです：

P_{0,1}/P_{0,2}

。

❌ 比の向きを確かめましょう。

0.88/0.95 - 1 \approx -7.37\%

は、後に満期を迎える債券の価格を分子に置いています。先に満期を迎える債券のほうが価値が高いので、

1 + f_2 = P_{0,1}/P_{0,2}

です。

❌ 惜しい！

0.95/0.80 - 1 = 18.75\%

は満期1年と3年を比べているので、2年間にまたがっています。

f_3

には隣り合う組を使います：

P_{0,2}/P_{0,3}

。

❌ 比の向きを確かめましょう。

0.80/0.88 - 1 \approx -9.09\%

は、後に満期を迎える債券の価格を分子に置いています。

1 + f_3 = P_{0,2}/P_{0,3}

です。

❌ 惜しい！

(1/0.80)^{1/3} - 1 \approx 7.72\%

は3年物スポットレート

r_{0,3}

で、3年間すべてにならした金利です。

f_3

は3年目の分だけです：

P_{0,2}/P_{0,3}

。

❌ f₂ を確かめましょう。

1 + f_2 = P_{0,1}/P_{0,2}

を使います。

❌ f₃ を確かめましょう。

1 + f_3 = P_{0,2}/P_{0,3}

を使います。

解答を見る

時点 $t-1$ から $t$ までの1年物フォワードレートは、2つの割引債の価格の比です。額面は打ち消し合います：

1 + f_t = \frac{P_{0,t-1}}{P_{0,t}}

1 + f_2 = \frac{0.95}{0.88} \approx 1.0795 \quad\Rightarrow\quad f_2 \approx 7.95\%

1 + f_3 = \frac{0.88}{0.80} = 1.10 \quad\Rightarrow\quad f_3 = 10.00\%

スポットレートは別の数字です： $r_{0,1} \approx 5.26\%$ 、 $r_{0,2} \approx 6.60\%$ 、 $r_{0,3} \approx 7.72\%$ 。スポットレートはどれも今日始まる期間の金利で、フォワードレートはどれも後で始まる1年間の金利です。

問4 · 2年物フォワードレート

条件：ある CFO は、3年目に500万ドルを受け取り、5年目にそれを支払います。その間にこのお金が稼ぐ金利を、今日のうちに固定したいと考えています。今日 $r_{0,3} = 5\%$ 、 $r_{0,5} = 6\%$ です。3年目から5年目までの2年物フォワードレート $f_{3\to5}$ を、年率で求めてください。

✅ 正解です！ 成長係数の比が2年間の成長で、

\approx 1.156010

です。その平方根

\approx 1.0752

が年率です。

❌ 惜しい！

15.60\%

は2年間全体の成長

(1 + f_{3\to5})^2 - 1

です。年率にするには平方根をとります。

❌ 惜しいですが、それは複利ではなく平均です。

(5 \times 6 - 3 \times 5)/2 = 7.5

は、スポットレートを単純平均として扱っています。複利で考えると

(1.06)^5 / (1.05)^3 \approx 1.156010

で、

\sqrt{1.156010} \approx 1.0752

です。

❌ 惜しい！ 2年間の成長を半分にする

15.60\% / 2

は、2年間の中での複利を無視しています。代わりに

1.156010

の平方根をとりましょう。

解答を見る

タイムラインを描きましょう。貸し借りは今日合意し、お金は3年目に受け取って5年目に返します。5年物の債券と3年物の債券を比べます：

(1+f_{3\to5})^2 = \frac{(1+r_{0,5})^5}{(1+r_{0,3})^3} = \frac{(1.06)^5}{(1.05)^3} = \frac{1.3382255776}{1.157625} \approx 1.156010

1 + f_{3\to5} = \sqrt{1.156010} \approx 1.0752 \quad\Rightarrow\quad f_{3\to5} \approx 7.52\%

3年目に受け取る500万ドルは、5年目までに約578.0万ドルになります（ $5 \times 1.156010 = 5.78005$ ）。

正解数：0 / 4