ファイナンス理論 · 第6回 · 動画5 · インタラクティブ教材

賭けずにヘッジする：米国債でフォワードレートを固定し、先渡ローンを提示する

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$1 + f_t = \dfrac{(1+r_{0,t})^t}{(1+r_{0,t-1})^{t-1}}$	スポットレートから求める $t$ 年目のフォワードレート	$(t-1)$ 年物と $t$ 年物のスポットレート
$1 + f_t = \dfrac{P_{0,t-1}}{P_{0,t}}$	割引債の価格から求める同じフォワードレート	2つの割引債の価格（ $P_{0,t} = \dfrac{1}{(1+r_{0,t})^t}$ ）
$\text{固定：} 1 + f_2 \quad \text{対} \quad \text{待つ：} 1 + R_2$	1年目に持っている1ドルの、2年目における価値	今日わかる $f_2$ 。将来のスポットレート $R_2$ は1年目になって初めてわかります
$S = \dfrac{L\,P_{0,t-1}}{P_{0,t}}, \qquad \dfrac{S}{L} - 1 = f_t$	$t-1$ 年目から $t$ 年目までの先渡ローン $L$ に対する銀行のヘッジ	$(t-1)$ 年物のゼロクーポン債を額面 $L$ だけ買い、 $t$ 年物のゼロクーポン債を額面 $S$ だけ空売りする

ポイント：フォワードレートは2つの割引債の価格によって今日決まり、その2つの債券で反対のポジションをとれば固定できます。固定すれば $R_2$ への賭けはなくなりますが、後悔する可能性はなくなりません。後悔するのは、ちょうど $R_2 > f_2$ となるときです。

II固定するか、待つか

固定すれば何が起きても1,090万4,000ドル、待てば $10(1+R_2)$ （単位：100万ドル）で、待つほうが得になるのは $R_2 > f_2$ のときだけです。

将来のスポットレート R₂ 7.0%

💡 0年目の時点でわかっているのは $f_2 = 9.04\%$ だけで、 $R_2$ はわかりません。ですから待つことを選ぶのは、 $R_2$ が最終的に $f_2$ を上回るほうに賭けることです。それは金利の投機家の立場であって、わかっている資金需要をヘッジする CFO の立場ではありません。

III今日のイールドカーブに織り込まれたフォワードレート

2年目のインプライド・フォワードレートは、2年物の利回りをはさんで、1年物の利回りの反対側にあります。

イールドカーブあなたの予想 f₂ 4.60%

IV先渡ローンの金利を提示し、ヘッジする

$(t-1)$ 年物のゼロクーポン債の買いと $t$ 年物のゼロクーポン債の空売りを組み合わせれば、今日の費用はゼロで、フォワードレート $f_t$ を固定できます。

2,000万ドルのローンの期間銀行の提示金利 8.51%

V確認クイズ

問1 · 2つのスポットレートからフォワードレートを求める

条件：1年物スポットレートは $r_{0,1} = 4\%$ 、2年物スポットレートは $r_{0,2} = 6\%$ です。2年目について今日固定できるフォワードレート $f_2$ を求めてください。

✅ 正解です！

1.06^2 / 1.04 - 1 = 8.04\%

。6%での2年間は、4%での1年に8.04%での1年を続けたものに等しくなります。

❌ 惜しい！ 5%は2つのスポットレートの平均です。2年物の金利そのものが（おおよそ）

r_{0,1}

と

f_2

の平均なので、

f_2

は2つの間ではなく、6%より上にあります。

❌ 惜しいですが…

2(6\%) - 4\% = 8\%

は単利による近道です。複利で計算すると

1.06^2 / 1.04 - 1

で、それより少し大きくなります。

❌ 惜しい！

1.06^2 - 1 = 12.36\%

は2年間の成長です。1年目の分を割り出しましょう：

1 + f_2 = 1.06^2 / 1.04

。

解答を見る

1ドルを2年物の金利で2年間増やした結果は、 $r_{0,1}$ で1年、続いて $f_2$ で1年増やした結果に等しくなければなりません：

(1.06)^2 = (1.04)(1 + f_2) \quad\Rightarrow\quad 1 + f_2 = \frac{1.1236}{1.04} = 1.08038

したがって $f_2 \approx 8.04\%$ です。

問2 · 後悔は間違いではない

条件：CFO は、1年目に入ってくる1,000万ドルについて $f_2 = 9.04\%$ を固定したので、2年目には1,090万4,000ドルになります。1年目になってみると、1年物スポットレートは $R_2 = 11\%$ でした。正しいのはどれですか？

✅ 正解です！

R_2 = 11\% > f_2 = 9.04\%

なので、待っていたほうが多く受け取れました。これが後悔するケースです。

❌ 向きを確かめましょう。 待てば 1,000万ドル × 1.11 = 1,110万ドルで、1,090万4,000ドルより多くなります。固定したほうが少ないのであって、多いのではありません。

❌ 惜しい！ 0年目には

R_2

はわからず、使えたのは

f_2

だけでした。後から後悔しても、ヘッジが間違っていたことにはなりません。もう一つの選択肢は、金利への賭けだったのです。

❌ 惜しい！

f_2

は今日決まる金利で、

R_2

は1年目に市場が実際に提示する金利です。待てば、稼ぐのは

f_2

ではなく

R_2 = 11\%

です。

解答を見る

固定した場合：2年目に 1,000万ドル × 1.0904 = 1,090万4,000ドル。0年目に決まっています。

待った場合：1年目に1,000万ドルを $R_2 = 11\%$ で運用し、1,000万ドル × 1.11 = 1,110万ドルになります。

差：1,110万ドル − 1,090万4,000ドル = 19万6,000ドルで、待ったほうが有利です。 $R_2 > f_2$ なので、これは後悔するケースです。 $R_2$ が9.04%を下回っていれば、喜ぶケースになっていたでしょう。どちらの結果も、0年目にはわかりませんでした。

問3 · 先渡ローンをヘッジする

条件：割引債の価格は $P_{0,2} = 0.8900$ 、 $P_{0,3} = 0.8278$ です。ある顧客が、2年目から1年間、$10,000,000を借りたいと考えています。銀行は2年物のゼロクーポン債を額面$10,000,000分買い、その代金を3年物のゼロクーポン債の空売りでまかないます。空売りする額面と、銀行が提示すべき金利を求めてください。

3年物の空売りの額面はいくらですか？

顧客に提示する金利はいくらですか？

✅ 正解です！ 3年目の空売りの負債$10,751,389は、貸し出した$10,000,000より7.51%多いので、7.51%での顧客の返済でちょうど賄えます。

❌ 惜しい！ 空売りでは費用$8,900,000を調達しなければならないので、その額面は

8{,}900{,}000 / 0.8278

です。価格を掛けると逆向きになります。

❌ 惜しい！ 3年物のゼロクーポン債は額面1ドルあたり0.8278でしか売れないので、$8,900,000を調達するには、額面で$10,000,000より多く必要です。

❌ 惜しいですが…

10{,}000{,}000 / 0.8900

は2年物の価格で割っています。空売りするのは3年物のゼロクーポン債です。費用$8,900,000を0.8278で割りましょう。

❌ 空売りを確かめましょう。 今日の費用は

= 10{,}000{,}000 \times 0.8900

です。空売りでは、額面1ドルあたり0.8278で、ちょうどその額を調達しなければなりません。

❌ 年がずれています。 7.01%は

f_2

で、1年目から2年目までのローンの金利です。このローンは2年目から3年目までなので、

f_3 = P_{0,2}/P_{0,3} - 1

が必要です。

❌ 惜しい！ 6.5%は3年物スポットレートで、1年目から3年目までの平均です。このローンが対象とするのは3年目だけなので、フォワードレート

f_3

で価格がつきます。

❌ 年がずれています。 8.51%は

f_4

で、3年目から4年目までのローン、つまり動画の例の金利です。このローンは2年目に始まります。

❌ 提示金利を確かめましょう。 提示金利は、空売りの負債をローンの額で割って1を引いたものです。

解答を見る

買い：2年物のゼロクーポン債を額面$10,000,000分買うと、今日の費用は次のとおりです（単位：ドル）。

10{,}000{,}000 \times 0.8900 = 8{,}900{,}000

この債券は2年目に$10,000,000を支払い、それが顧客へのローンになります。

売り：3年物のゼロクーポン債を額面1ドルあたり0.8278で空売りして$8,900,000を調達するには、次の額面（単位：ドル）が必要です。

\frac{8{,}900{,}000}{0.8278} = 10{,}751{,}389

これを3年目に返さなければなりません。今日の正味の費用は0です。

提示金利：

\frac{10{,}751{,}389}{10{,}000{,}000} - 1 = 7.51\% = \frac{P_{0,2}}{P_{0,3}} - 1 = f_3

スポットレートから計算しても、 $f_3 = 1.065^3 / 1.06^2 - 1 \approx 7.51\%$ となります。

問4 · 1年後ろにずらして、将来の時点で貸す

条件：ある企業は2年目に500万ドルを受け取り、3年目の支払いまでそれを持っていなければなりません。スポットレートは $r_{0,2} = 4\%$ 、 $r_{0,3} = 5\%$ です。今日の正味の費用ゼロで3年目の金利を固定する米国債のポジションと、その金利を求めてください。

どのポジションで固定できますか？

3年目について固定される金利はどれですか？

✅ 正解です！ 2年間借りて3年間貸すと、3年目について将来の時点で貸すことになり、その金利は

1.05^3 / 1.04^2 - 1 = 7.03\%

です。

❌ 逆です。 短く貸して長く借りるのは、将来の時点で借りること、つまり銀行のヘッジです。この企業にはお金が入ってくるので、将来の時点で貸す必要があります。

❌ 惜しい！ 待てば、3年目の金利は2年目までわかりません。それは金利への賭けであって、固定ではありません。

❌ 期間がずれています。 1年借りて2年貸すと、固定されるのは2年目の金利です。お金は2年目に入ってきて3年目に必要になるので、期間は2年と3年です。

❌ ポジションを確かめましょう。 2年目の500万ドルで売りの側を返済し、買いの側が3年目に支払いをしなければなりません。

❌ 惜しい！ 5%は3年物スポットレートで、3年間の平均です。3年目だけの金利はフォワードレートです。

❌ 惜しいですが…

3(5\%) - 2(4\%) = 7\%

は単利による近道です。複利で考えると

1 + f_3 = 1.05^3 / 1.04^2

です。

❌ 惜しい！

1.05^3 / 1.04 - 1

は、4%の1年分しか割り出していません。2年物スポットレートは2年間複利で増えるので、

1.04^2

で割ります。

❌ 金利を確かめましょう。

1 + f_3 = (1 + r_{0,3})^3 / (1 + r_{0,2})^2

を使います。

解答を見る

ポジション：今日、2年間借ります（額面500万ドルの2年物ゼロクーポン債を空売り）。2年目に入ってくる500万ドルで、この借入をちょうど返済できます。調達した資金は3年間貸します（3年物ゼロクーポン債を買う）。今日の支払いはなく、2年目に500万ドルが出ていき、3年目にそれより多くが戻ってきます。

金利：

1 + f_3 = \frac{(1.05)^3}{(1.04)^2} = \frac{1.157625}{1.0816} = 1.07029

したがって $f_3 \approx 7.03\%$ です。この企業は3年目について7.03%で将来の時点で貸すことになります。CFO が2年目について9.04%で将来の時点で貸したのと、まったく同じ仕組みです。

正解数：0 / 4