ファイナンス理論 · 第6回 · 動画6 · インタラクティブ教材

最終利回り：たくさんのスポットレートを一つの数字にまとめる

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$P_0 = \dfrac{C}{1+r_{0,1}} + \dfrac{C}{(1+r_{0,2})^2} + \cdots + \dfrac{C+F}{(1+r_{0,T})^T}$	スポットレートから求める利付債の価格	支払日ごとのスポットレート
$(1+r_{0,t})^t = (1+R_1)(1+R_2)\cdots(1+R_t)$	幾何平均としてのスポットレート	1年物金利 $R_1, \dots, R_t$
$P_0 = \dfrac{C}{1+y} + \dfrac{C}{(1+y)^2} + \cdots + \dfrac{C+F}{(1+y)^T}$	最終利回り $y$	価格 $P_0$ 、クーポン $C$ 、額面 $F$
$P_0 x^T - C x^{T-1} - \cdots - C x - (C+F) = 0,\quad x = 1+y$	多項式の根としての利回り	数値的な解法

ポイント：利回りは、 $T$ 個のスポットレートすべてを、価格を再現するただ1つの一定の金利に置き換えたもので、スポットレートの複雑な平均です。割引債（純粋割引債）なら、単純に $y = r_{0,T}$ です。

II価格から利回りへ

1つの一定の金利 $y$ で3回の支払いすべてを割り引き、観測された価格$961.36に戻さなければなりません。

利回り y 6.00%

III符号の変化が1回なら、利回りは1つ

キャッシュフローがすべて正なら、現在価値は $y$ とともに一貫して下がるので、価格とちょうど1回だけ交わります。

キャッシュフロー試しの y 3.0%

IVスポットレートの複雑な平均

利回りはいつも、支払いのある日付のスポットレートの間に収まり、支払いが1回だけなら、利回りはそのスポットレートそのものです。

時点1 時点2 時点3

💡 5.89%と提示される30年固定金利型住宅ローンも、同じやり方で30個の異なる1年物金利を1つにまとめています。1年物の金利が30年間ずっと5.89%にとどまると考える人はいません。

V確認クイズ

問1 · スポットレートで価格を求める

条件：額面$1,000、年4%のクーポン（ $C = 40$ ）を払う3年物の債券があり、スポットレートは $r_{0,1} = 5\%$ 、 $r_{0,2} = 6\%$ 、 $r_{0,3} = 6.5\%$ です。この債券の価格を求めてください。

✅ 正解です！ 各支払いを、それぞれの日付のスポットレートで割り引きます：

38.10 + 35.60 + 860.96 = 934.66

。

❌ 惜しい！ それはすべての支払いを、3年物の金利

6.5\%

で割り引いています。時点1と時点2のクーポンは、

r_{0,1} = 5\%

と

r_{0,2} = 6\%

で割り引きます。

❌ 惜しい！ それはすべての支払いを、1年物の金利

5\%

で割り引いています。時点3に支払われるお金は、

r_{0,3} = 6.5\%

で3年分割り引きます。

❌ 指数を確かめましょう。 時点

t

の支払いは、

1+r_{0,t}

ではなく

(1+r_{0,t})^t

で割ります。金利

r_{0,t}

は、

t

年間にわたって複利で増える年率だからです。

解答を見る

この債券は、時点1と時点2に$40、時点3に$1,040を支払います。各支払いを、その日付のスポットレートで割り引きます：

P_0 = \frac{40}{1.05} + \frac{40}{(1.06)^2} + \frac{1{,}040}{(1.065)^3} = 38.10 + 35.60 + 860.96 = 934.66

価格は$934.66です。支払日ごとに1つ、合わせて3つの金利が必要です。

問2 · 割引債の利回り

条件：額面$1,000の3年物の割引債があり、スポットレートは同じく $r_{0,1} = 5\%$ 、 $r_{0,2} = 6\%$ 、 $r_{0,3} = 6.5\%$ です。価格は$827.85です。この債券の最終利回りを求めてください。

✅ 正解です！ 時点3の1回だけの支払いは

r_{0,3}

だけで割り引かれるので、利回りは

y = r_{0,3} = 6.5\%

です。

❌ 惜しい！

5.83\%

は単純平均

(5 + 6 + 6.5)/3

です。利回りが平均の対象とするのは債券が実際に行う支払いだけで、この債券の支払いは時点3の1回だけです。

❌ 惜しい！

6.46\%

はクーポン・レート5%の利付債の利回りで、時点1と時点2のクーポンが利回りを

6.5\%

より下に引き下げています。この債券にはクーポンがありません。

❌ 惜しい！

6\%

は2年物スポットレート

r_{0,2}

です。唯一の支払いは時点3に届きます。

解答を見る

この債券の価格は、利回りでも3年物スポットレートでも書けます：

P_0 = \frac{F}{(1+y)^3} = \frac{F}{(1+r_{0,3})^3}

2つが一致するのは $y = r_{0,3}$ のときだけです。数値で確かめると：

(1+y)^3 = \frac{1{,}000}{827.85} = 1.20795 \quad\Rightarrow\quad 1+y = 1.20795^{1/3} = 1.0650

となり、 $y = 6.50\%$ 、つまり3年物スポットレートです。時点1と時点2のスポットレートは何の役割も果たしません。この債券はその日付に何も支払わないからです。

問3 · まず価格、次に利回り

条件：額面$1,000、年6%のクーポン（ $C = 60$ ）を払う2年物の債券があり、スポットレートは $r_{0,1} = 5\%$ 、 $r_{0,2} = 6\%$ です。まず価格を、次に最終利回りを求めてください。

価格はいくらですか？

最終利回りはいくらですか？

✅ 正解です！ スポットレートでの価格は$1,000.54です。それを再現するただ1つの一定の金利は

y = 5.97\%

で、2つのスポットレートの間にあり、価値の大部分を占める日付の金利

6\%

に近い値です。

❌ 惜しい！ それは、両方の支払いを

6\%

で割り引いたときの価格です。時点1のクーポンは

r_{0,1} = 5\%

で割り引くので、少し価値が高くなります。

❌ 惜しい！ それは、両方の支払いを

5\%

で割り引いています。時点2の支払いは、

r_{0,2} = 6\%

で2年分割り引きます。

❌ 指数を確かめましょう。 時点2の支払いは、

1.06

ではなく

(1.06)^2

で割ります。

❌ 惜しい！

5\%

は1年物スポットレートです。時点1の$60は価格のわずか6%ほどなので、利回りを

6\%

からほとんど動かしません。

❌ 惜しい！

5.50\%

は2つのスポットレートの単純平均です。利回りは単純平均ではありません。時点2が価値の約94%を占めるので、利回りはその金利

6\%

の近くにあります。

❌ 惜しいですが…

6\%

は、2年物の割引債の利回りです。時点1のクーポンを

5\%

ではなく

6\%

で割り引くと価値を低く見積もってしまうので、$1,000.54を再現する一定の金利は、

6\%

をわずかに下回るはずです。

解答を見る

ステップ1：スポットレートで価格を求める。この債券は、時点1に$60、時点2に$1,060を支払います：

P_0 = \frac{60}{1.05} + \frac{1{,}060}{(1.06)^2} = 57.14 + 943.40 = 1{,}000.54

ステップ2：利回りの式を立てる。 $x = 1 + y$ とおくと：

1{,}000.54 = \frac{60}{x} + \frac{1{,}060}{x^2} \quad\Rightarrow\quad 1{,}000.54\,x^2 - 60x - 1{,}060 = 0

ステップ3：解く。 $T = 2$ なので多項式は2次式です。その正の根をとります：

x = \frac{60 + \sqrt{60^2 + 4(1{,}000.54)(1{,}060)}}{2(1{,}000.54)} = \frac{60 + 2{,}060.56}{2{,}001.08} = \frac{2{,}120.56}{2{,}001.08} = 1.0597

したがって $y = 5.97\%$ です。検算： $\frac{60}{1.0597} + \frac{1{,}060}{(1.0597)^2} = 56.62 + 943.93 = 1{,}000.55$ 。 $y$ を $5.97\%$ に丸めたので、価格と1セントずれています。

問4 · 符号が2回変わるとき

条件：ある投資は今日$100かかり、時点1に$250を支払い、時点2にはさらに$150の支払いを求めます。したがってその利回りは $100 = \dfrac{250}{1+y} - \dfrac{150}{(1+y)^2}$ を満たします。この式に合う $-100\%$ より大きい利回りをすべて求めてください。

✅ 正解です！ 係数

+,\,-,\,+

は符号が2回変わり、

x = 1

と

x = 1.5

はどちらも2次方程式を満たします。同じ価格に2つの利回りが合うのです。

❌ 惜しい！

250 - 150 = 100

なので

y = 0\%

は確かに合いますが、符号の変化が2回なら、2つ目の正の根があり得ます。

x = 1.5

を試しましょう。

❌ 惜しい！

y = 50\%

は合いますが、

y = 0\%

も合います。

x = 1

では

100 - 250 + 150 = 0

です。符号の変化が1回なら根は1つと保証されますが、2回なら2つあり得ます。

❌ 惜しい！ この2次方程式の判別式は

250^2 - 4(100)(150) = 2{,}500 > 0

なので、2つの根はどちらも実数です。

解答を見る

$x = 1 + y$ とおき、両辺に $x^2$ を掛けます：

100x^2 - 250x + 150 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 - 5x + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x - 1)(2x - 3) = 0

根は $x = 1$ と $x = 1.5$ なので、 $y = 0\%$ と $y = 50\%$ です。 $y = 50\%$ を検算すると： $\frac{250}{1.5} - \frac{150}{(1.5)^2} = 166.67 - 66.67 = 100$ 。

係数の符号 $+,\,-,\,+$ は2回変わるので、デカルトの符号法則によれば正の根は2つ（または0個）あり得て、ここでは2つあります。符号が2回以上変わるキャッシュフローは、いくつもの利回りで同じ価格に合うことがあり、どれが正しい利回りなのか言いにくくなります。

正解数：0 / 4