ファイナンス理論 · 第7回 · 動画6 · インタラクティブ教材

コンベクシティ：デュレーションが見落とす価格・利回り曲線の曲がり

I重要な公式

公式	名称	説明
$V_m = \dfrac{1}{P}\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \dfrac{1}{(1+y)^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{T} k(k+1)\dfrac{C_k}{P\,(1+y)^k}$	コンベクシティ	価格1単位あたりの二階微分。 $y$ と $k$ は支払いの1期を単位とします。年2回利払いの債券を年単位で表すには、半年あたり $y/2$ で割り引き、各 $k(k+1)$ を $4 = 2^2$ で割ります
$P(y') \approx P(y)\left[1 - D_m^*(y'-y) + \tfrac12 V_m (y'-y)^2\right]$	二次のテイラー近似	デュレーションは利回りの変化について一次の項を、コンベクシティは二次の項を受け持ちます
$D_m^(P) = \displaystyle\sum_j \frac{P_j}{P} D_{m,j}^, \quad V_m(P) = \sum_j \frac{P_j}{P} V_{m,j}$	ポートフォリオ	各債券の尺度の時価加重平均。すべての利回りが同じだけ動くと仮定します
$E\!\left[\dfrac{\Delta P}{P}\right] \approx \tfrac12 V_m\,\sigma^2$ （ $E[y'-y] = 0$ のとき）	ボラティリティ	一次の項は平均するとゼロになり、二次の項は「コンベクシティの半分 × 利回りの変化の分散」を加えます

ポイント： 動画の債券（満期4年、クーポン6%を年2回払い、価格は額面。利回りはすべて半年複利の年率なので、半年あたり3%）は、 $D_m^* = 3.509846$ 、 $V_m = 14.805972$ です。利回りが6%から8%に上がると $y'-y = 0.02$ で、2つの項による推定値は $100(1 - 0.0701969 + 0.0029612) \approx 93.276427$ です。正確な価格は $93.267255$ （半年あたり4%）なので、外れは $0.01$ 未満です。デュレーションだけだと $92.980308$ で、 $0.29$ 近く低すぎます。

II2つの項で曲線を追う

デュレーションの直線は正確な価格から離れていきますが、コンベクシティの項を加えると外れはほとんどなくなります。

新しい利回り y′ 8.00%

III同じ振れ幅、違う価格変化

利回りの変化幅が同じなら、下がったときの利益は上がったときの損失より大きいので、ボラティリティだけで価格の期待値が上がります。

振れ幅 ±Δ 2.00%

IVポートフォリオのコンベクシティは加重平均

2本のゼロクーポン債を組み合わせると、デュレーションもコンベクシティも平均されるので、組み合わせはデュレーションの等しい1本のゼロクーポン債より上に来ます。

短いゼロクーポン債（年） 1 長いゼロクーポン債（年） 7 短い債券の時価ウェイト 0.50

💡 どちらの平均も、すべての債券の利回りが同じだけ動くことを仮定しています。投資家はコンベクシティに価値があることを知っているので、デュレーションが同じなら、コンベクシティの大きいポジションほど低い利回り、つまり高い価格で取引されます。コンベクシティの代金は、買うときに払っているのです。

V確認クイズ

問1 · 2つの項の公式を使う

条件： 価格 $100$ の債券があり、 $D_m^* = 5$ 、 $V_m = 40$ です。利回りが1パーセントポイント上がり、 $y' - y = 0.01$ となります。新しい価格の二次の推定値を求めてください。

✅ 正解です！

100(1 - 0.05 + 0.002) = 95.20

。デュレーションで5ポイント下がり、コンベクシティで0.2ポイント戻ります。

❌ それはデュレーションだけの値です。

100(1 - 5 \times 0.01) = 95

では、コンベクシティの項

\tfrac12 \times 40 \times 0.01^2 = 0.002

が抜けています。

❌ 二次の項の符号を確認しましょう。

\tfrac12 V_m (y'-y)^2

は足します。コンベクシティは正で、変化は2乗されるからです。

❌ 1/2 が抜けています。 テイラー近似の項は

\tfrac12 V_m (y'-y)^2 = 0.002

で、

V_m(y'-y)^2 = 0.004

ではありません。

❌ 惜しい！

P(y') \approx P(y)\left[1 - D_m^*(y'-y) + \tfrac12 V_m (y'-y)^2\right]

を使いましょう。

解答を見る

一次の項： $D_m^*(y'-y) = 5 \times 0.01 = 0.05$ 。二次の項： $\tfrac12 V_m (y'-y)^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.0001 = 0.002$ 。

P(y') \approx 100\,(1 - 0.05 + 0.002) = 100 \times 0.952 = 95.20

デュレーションだけなら $95.00$ と予測します。曲線は接線より上に曲がるので、コンベクシティの項が推定値を引き上げます。

問2 · 利回りが下がるとき

条件： 利回り6%の動画の債券（価格 $100$ 、 $D_m^* = 3.509846$ 、 $V_m = 14.805972$ 、利回りは半年複利）があります。利回りが4%に下がります。新しい価格の二次の推定値を求めてください。

✅ 正解です！

y'-y = -0.02

では、どちらの項も価格を引き上げます。

100(1 + 0.0701969 + 0.0029612) \approx 107.3158

で、誤差は

0.01

以内です（正確な価格は

107.3255

）。

❌ 二次の項の符号は変わりません。 利回りがどちらに動いても

(y'-y)^2 = (-0.02)^2 = 0.0004

は正なので、ここでもコンベクシティは

0.0029612

を加えます。

❌ それはデュレーションだけの値です。 デュレーションの直線は、どちらの側でも価格を低く見積もります。

\tfrac12 \times 14.805972 \times 0.0004 = 0.0029612

を足しましょう。

❌ それは8%に上がったときの推定値です。 ここでは

y'-y = -0.02

なので

-D_m^*(y'-y) = +0.0701969

となり、価格は上がります。

❌ 惜しい！ 2つの項の公式に

y'-y = -0.02

を代入しましょう。

解答を見る

一次の項： $-D_m^*(y'-y) = -3.509846 \times (-0.02) = +0.0701969$ 。二次の項： $\tfrac12 \times 14.805972 \times (-0.02)^2 = +0.0029612$ 。

P(0.04) \approx 100\,(1 + 0.0701969 + 0.0029612) = 107.31581

すべてのキャッシュフローを半年あたり2%で割り引いた正確な価格は $107.325481$ なので、推定値は $0.0097$ 低いだけです。デュレーションだけだと $107.0197$ で、 $0.306$ ずれます。8%に上がる場合と比べると、 $7.33$ の利益は $6.73$ の損失を上回ります。一方、デュレーションの直線はどちら向きにも $7.02$ と予測します。

問3 · 2本の債券のポートフォリオ

条件： あるポートフォリオは、債券A（ $D_m^* = 2.0$ 、 $V_m = 6.0$ ）を6,000万ドル、債券B（ $D_m^* = 9.0$ 、 $V_m = 95.0$ ）を4,000万ドル持っています。2本の利回りは同じだけ動きます。ポートフォリオの修正デュレーションとコンベクシティ、そして利回りが50ベーシスポイント（bp）上がったときの価値の変化の推定値を求めてください。

ポートフォリオの修正デュレーション $D_m^*(P)$ は？

ポートフォリオのコンベクシティ $V_m(P)$ は？

$y' - y = 0.005$ のときの価値の変化の推定値は？

✅ 正解です！ ウェイト

0.6

と

0.4

から

D_m^*(P) = 4.8

、

V_m(P) = 41.6

となるので、価値は1億ドルのおよそ

2.348\%

下がります。

❌ ウェイトは半分ずつではなく、価値に占める割合です。 債券Aはポートフォリオの価値の

60/100 = 0.6

、債券Bは

0.4

です。

❌ ウェイトが入れ替わっています。 保有額の大きい債券Aのウェイトが

0.6

です。

❌ それはデュレーションだけの値です。

-4.8 \times 0.005 = -0.024

では、コンベクシティの項

\tfrac12 \times 41.6 \times 0.005^2 = 0.00052

が抜けています。

❌ 二次の項の符号を確認しましょう。 コンベクシティの項は足すので、損失はデュレーションの予測より大きくなるのではなく、小さくなります。

❌ 1/2 が抜けています。 二次の項は

\tfrac12 V_m (y'-y)^2 = 0.00052

で、

0.00104

ではありません。

❌ デュレーションを確認しましょう。

D_m^*(P) = \sum_j \frac{P_j}{P} D_{m,j}^*

は時価加重平均で、合計ではありません。

❌ コンベクシティを確認しましょう。

V_m(P) = \sum_j \frac{P_j}{P} V_{m,j}

は時価加重平均で、合計ではありません。

❌ 変化を確認しましょう。 ポートフォリオ自身の尺度を使って

\frac{\Delta P}{P} \approx -D_m^*(P)(y'-y) + \tfrac12 V_m(P)(y'-y)^2

を計算します。

解答を見る

ポートフォリオの価値は1億ドルなので、時価ウェイトはAが $\frac{60}{100} = 0.6$ 、Bが $\frac{40}{100} = 0.4$ です。

D_m^*(P) = 0.6 \times 2.0 + 0.4 \times 9.0 = 1.2 + 3.6 = 4.8

V_m(P) = 0.6 \times 6.0 + 0.4 \times 95.0 = 3.6 + 38.0 = 41.6

\frac{\Delta P}{P} \approx -4.8 \times 0.005 + \tfrac12 \times 41.6 \times 0.005^2 = -0.024 + 0.00052 = -0.02348

価値はおよそ $0.02348 \times 100 = 2.348$ （単位：百万ドル）、つまり234.8万ドル下がります。デュレーションだけなら、240万ドルの減少になります。

問4 · ボラティリティの価値

条件： 利回り6%の動画の債券（価格 $100$ 、 $D_m^* = 3.509846$ 、 $V_m = 14.805972$ ）があります。金利の変動が大きくなり、明日の利回りは4%か8%のどちらかで、それぞれの確率は $\tfrac12$ です。二次近似による価格の期待値を求めてください。

✅ 正解です！

E[y'-y] = 0

、

E[(y'-y)^2] = 0.0004

なので、

E[P] \approx 100(1 + \tfrac12 \times 14.805972 \times 0.0004) \approx 100.30

です。正確な平均

(107.325481 + 93.267255)/2 = 100.296368

とも一致します。

❌ 打ち消し合うのは一次の項だけです。

-D_m^*(y'-y)

は平均するとゼロになりますが、

\tfrac12 V_m (y'-y)^2

はどちらの結果でも正です。

❌ 1/2 が抜けています。 期待される利益は

\tfrac12 V_m \sigma^2

で、

V_m \sigma^2

ではありません。

❌ ここでは、ボラティリティは債券の保有者に有利に働きます。 二次の項は足されるので、価格の期待値は

100

を上回ります。

❌ 惜しい！ 2つの項の公式を、2つの結果について平均しましょう。

解答を見る

利回りの変化は同じ確率で $+0.02$ か $-0.02$ なので、 $E[y'-y] = 0$ 、 $\sigma^2 = E[(y'-y)^2] = 0.02^2 = 0.0004$ です。

E\!\left[\frac{\Delta P}{P}\right] \approx -D_m^* \cdot 0 + \tfrac12 V_m \sigma^2 = \tfrac12 \times 14.805972 \times 0.0004 = 0.0029612

よって $E[P] \approx 100 \times 1.0029612 \approx 100.30$ です。正確な価格で検算すると $(107.325481 + 93.267255)/2 = 100.296368$ です。他の条件が同じなら、振れ幅が大きいほど債券の価格の期待値は上がります。市場では、投資家はそのコンベクシティの代金を前もって払っています。

正解数：0 / 4