ファイナンス理論 · 第8回 · 動画1 · インタラクティブ教材

利回り上昇と銀行合併：2008年9月、当局は取り付けをどう止めようとしたか

I重要な公式

公式	名称	説明
$P = \dfrac{F}{(1+y)^{1/4}}$	3か月物の短期国債の価格	$F$ は額面、 $y$ は年率の利回りです。 $y = 0.72\%$ のとき、額面$100あたり $P = \dfrac{100}{(1.0072)^{1/4}} \approx 99.82$ で、3 bp のときの $99.99$ を下回ります。利回りが高いほど、価格は低くなります
$4.40\% - 4.22\% = 0.18\ \text{pp} = 18\ \text{bp}$	ベーシスポイント	1ベーシスポイント（bp）は $0.01$ パーセントポイントです。30年物米国債の利回りは、2008年9月24日から9月29日の授業までに18 bp 低下しました
$\text{結果} = P_{\text{売却}} - P_{\text{購入}}$	救済か、ベイルアウトか	正なら賢い投資、負ならベイルアウトです。空売りも同じ計算です。 $P_0$ で売り、 $P_1$ で買い戻せば、利益は $P_0 - P_1$ です
$\text{Citigroup} = \min(L, 42), \quad \text{FDIC} = \max(L - 42,\ 0)$	9月29日のワコビア買収案	$L$ は、ワコビアの貸付3,120億ドル分のプールで生じる損失（単位：10億ドル）です。最初の約420億ドルをシティグループが引き受け、残りを米連邦預金保険公社（FDIC）が負担する予定でした

ポイント：2008年9月29日、短期国債の利回りの上昇は良い知らせでした。前の週の30〜40 bp から71〜72 bp に上がったのは、安全な資産へ逃げ込む投資家が減ったということだからです。パニックの中で売ることは、流動性の供給です。短期国債を発行できる唯一の存在である米国財務省は、ほぼ0%の金利でまさにそれを行いました。そして救済がベイルアウトに終わるかどうかは、支払う価格と、のちに売る価格だけで決まります。

II短期国債の空売り：小さな損失、大きな利益

利回り3 bp の短期国債を空売りすると、利回りが0まで下がっても損失は額面100万ドルあたり$75だけですが、利回りが上がれば利益ははるかに大きくなります。

買い戻し時の利回り（bp） 72

💡 空売りするには、手数料（プレミアム）を取って貸してくれる持ち主から短期国債を借りなければなりません。そして新しい短期国債を発行できるのは、米国財務省だけです。財務省は実際にそうしました。パニックのさなかに新しい短期国債を売り、ほぼ0%の金利で借り入れたのです。

IIIベイルアウトか、賢い投資か

救済がベイルアウトになるかどうかは、2つの価格だけで決まります。政府が払う価格と、売る価格です。

購入（月） 5 売却（月） 20

IVワコビアの貸付損失を誰が引き受けるか

9月29日の案では、損失のうち最初の約420億ドルをシティグループが引き受け、残りをFDICが負担することになっていました。

プールの損失（10億ドル） 60

💡 この案は、その週のうちに覆りました。2008年10月3日、ウェルズ・ファーゴがワコビア全体を約151億ドルの全額株式交換で買収することに合意し、実際に実現したこの取引は2008年の末に完了しました。

V確認クイズ

問1 · 長期側の動きをベーシスポイントで

条件：30年物米国債の利回りは、2008年9月24日に $4.40\%$ 、9月29日の授業中に $4.22\%$ でした。その変化を求めてください。

✅ 正解です！

4.40\% - 4.22\% = 0.18

パーセントポイントで、1パーセントポイントは100 bp なので、利回りは

18

bp 低下しました。動画では、インフレへの懸念がいくらか和らいだと読んでいます。

❌ 向きを確かめましょう。 利回りは

4.40\%

から

4.22\%

へ下がりました。上昇ではなく低下です。

❌ 単位を確かめましょう。 差の

0.18

はパーセントポイントです。1パーセントポイントは

100

bp なので、

0.18

pp は

18

bp です。

❌ 惜しい！

0.18 / 4.40 \approx 4.1\%

は、利回りの比率での変化です。ベーシスポイントで測るのは、利回りの差そのものです：

0.18

= 18

bp。

❌ 惜しい！ 利回りの差をとり、パーセントポイントをベーシスポイントに換算しましょう。

解答を見る

4.40\% - 4.22\% = 0.18\ \text{パーセントポイント}

0.18\ \text{pp} \times 100\ \tfrac{\text{bp}}{\text{pp}} = 18\ \text{bp}

利回りは $18$ bp 低下しました。ただしイールドカーブ全体がパニックとともに動いていたので、長期側の動きはインフレのきれいな物差しにはならない、と動画は注意しています。

問2 · 救済を2つの価格で判定する

条件：パニックのさなかに、政府が証券を額面$100あたり $70$ で買います。市場が落ち着く前に、その市場価格は $55$ まで下がり、その後政府はそれを $80$ で売ります。この購入がベイルアウトだったのか、賢い投資だったのかを判定してください。

✅ 正解です！

\text{結果} = P_{\text{売却}} - P_{\text{購入}} = 80 - 70 = 10 > 0

です。途中の価格は、判定にまったく入りません。

❌ 惜しい！

55 - 70 = -15

はパニックの底でのポジションの状態ですが、政府はそこでは売っていません。結果を決めるのは、売却価格と購入価格だけです。

❌ 惜しい！

80 - 55 = 25

は安値からの回復幅ですが、政府が払ったのは

55

ではなく

70

です。実際に払った価格を使いましょう。

❌ 惜しい！

100 - 80 = 20

は、売却価格を額面と比べています。政府は

100

を払ってはいません。払ったのは

70

です。

❌ 惜しい！ 売却価格から購入価格を引きましょう。

解答を見る

動画のルールでは、結果は2つの価格だけで決まります：

\text{結果} = P_{\text{売却}} - P_{\text{購入}} = 80 - 70 = +10 \text{（額面100あたり）}

売却価格が購入価格を上回っているので、この救済は結果として賢い投資になりました。おびえた売り手から買うことは流動性の供給であり、市場が落ち着くと、供給した側が報われました。途中の安値 $55$ は結果に関係しません。

問3 · 損得の偏った空売り

条件：2008年9月17日、額面$1,000,000の3か月物短期国債を、利回り $3$ bp、価格 $\dfrac{1{,}000{,}000}{(1.0003)^{1/4}} \approx 999{,}925$ で空売りします。ポジションはすぐに手じまうので、満期までの残りは $T = \tfrac14$ 年のままです。各価格をドル単位に四捨五入して、利回りが $0$ まで下がった場合の損失と、 $1\%$ まで上がった場合の利益を求めてください。

利回りが0まで下がった場合の損失は？

利回りが1%まで上がった場合の利益は？

✅ 正解です！ 利回りが0まで下がりきっても損失は75ドルだけで、利回りが0を大きく下回ることはできません。一方、

1\%

への上昇では2,409ドルの利益になり、およそ32倍です。

❌ 惜しい！

\dfrac{1{,}000{,}000}{1.0003} \approx 999{,}700

は丸1年分割り引いています。この短期国債の残存期間は3か月なので、指数は

\tfrac14

です。

❌ 単位を確かめましょう。

1{,}000{,}000 \times 0.000003 = 3

は

3

bp を

0.000003

と読んでいますが、

3

bp は

0.03\% = 0.0003

です。損失は、価格が

999{,}925

から額面まで上がった分です。

❌ 惜しい！

3

bp から

0

への変化も利回りの低下なので、価格は額面いっぱいまで上がり、空売りした人はその差額を失います。

❌ 惜しい！

999{,}700 - 990{,}099 = 9{,}601

は、どちらの価格も満期まで丸1年として計算しています。

T = \tfrac14

を使いましょう。

❌ 惜しい！ 額面の

1\%

は1年分の利息で、出発点の

3

bp も無視しています。それぞれの利回りで価格を求め、差をとりましょう。

❌ 惜しいですが…

1{,}000{,}000 - 997{,}516 = 2{,}484

は、額面からの下落幅です。あなたが売った価格は額面ではなく、

999{,}925

です。

❌ 損失を確かめましょう。 利回りが0なら、短期国債の価値は額面に等しくなります。そこから、売った価格を引きましょう。

❌ 利益を確かめましょう。

T = \tfrac14

として利回り

1\%

での価格を求め、売った価格から引きましょう。

解答を見る

空売りの利益は $P_0 - P_1$ 、つまり売った価格から買い戻す価格を引いたものです。売った価格は $P_0 = 999{,}925$ です。

利回りが0まで下がる場合：短期国債の価値は額面に等しくなります。

P_1 = \frac{1{,}000{,}000}{(1.00)^{1/4}} = 1{,}000{,}000, \qquad P_0 - P_1 = 999{,}925 - 1{,}000{,}000 = -75

利回りが1%まで上がる場合：

P_1 = \frac{1{,}000{,}000}{(1.01)^{1/4}} = \frac{1{,}000{,}000}{1.0024907} \approx 997{,}516

P_0 - P_1 = 999{,}925 - 997{,}516 = 2{,}409

最悪でも75ドルの損失に対して、利回りが1%へ戻れば2,409ドルの利益です。下値はごく小さく、上値は大きく見えました。障害は、空売りのために短期国債を借りることです。

問4 · 預金保険の上限

条件：ある預金者が、のちに破綻する銀行に、1つの口座の種類で$180,000を預けています。FDICの保証は、2008年には預金者1人あたり、口座の種類ごとに$100,000で、2008年10月3日に一時的に$250,000へ引き上げられました。銀行が2008年9月29日に破綻した場合の保護される金額と、2008年10月3日より後に破綻した場合の保護されない金額を求めてください。

2008年9月29日に破綻した場合、保護される金額は？

2008年10月3日より後に破綻した場合、保護されない金額は？

✅ 正解です！ 保護額

= \min(\text{残高}, \text{上限})

です。変更前は

\min(180{,}000,\ 100{,}000) = 100{,}000

、変更後は

\min(180{,}000,\ 250{,}000) = 180{,}000

で、保護されない部分は残りません。

❌ 惜しい！ 9月29日の時点では、保証は預金者1人あたり、口座の種類ごとに100,000ドルまでで、それを超える残高は保護されていませんでした。

❌ 惜しい！ 250,000ドルの上限が導入されたのは10月3日で、しかもどの上限でも、残高を超える額が支払われることはありません。この預金者の残高は180,000ドルだけです。

❌ 惜しい！

180{,}000 - 100{,}000 = 80{,}000

は上限を超える部分で、保護されません。保護されるのは、最初の100,000ドルです。

❌ 惜しい！ 80,000ドルは、以前の100,000ドルの上限のもとで保護されなかった部分です。10月3日より後の上限は250,000ドルでした。

❌ 惜しい！

250{,}000 - 180{,}000 = 70{,}000

は上限までの余裕であって、失われるおそれのあるお金ではありません。残高はすべて上限の内側に収まります。

❌ 惜しい！ 引き上げは一時的なものでしたが、有効な期間に起きた破綻には適用されます。この口座の預金に、上限からはみ出す部分はありません。

❌ 保護される金額を確かめましょう。 残高と、その日に有効だった上限のうち、小さい方をとりましょう。

❌ 保護されない金額を確かめましょう。 250,000ドルの上限のもとでの保護額を、残高から引きましょう。

解答を見る

FDICは、預金者1人あたり、口座の種類ごとに、その時点で有効な上限まで支払います：

\text{保護額} = \min(\text{残高},\ \text{上限}), \qquad \text{非保護額} = \text{残高} - \text{保護額}

2008年9月29日（上限100,000）：

\min(180{,}000,\ 100{,}000) = 100{,}000 \text{（保護）}, \qquad 180{,}000 - 100{,}000 = 80{,}000 \text{（非保護）}

2008年10月3日より後（上限250,000）：

\min(180{,}000,\ 250{,}000) = 180{,}000 \text{（保護）}, \qquad 180{,}000 - 180{,}000 = 0 \text{（非保護）}

保護される1ドル1ドルは、銀行が破綻すればFDICが支払わなければならないお金です。だからこそ動画は、銀行の良い事業を存続させる買収を、コストを最小にする解決策と呼んでいるのです。

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