ファイナンス理論 · 第8回 · 動画4 · インタラクティブ教材

トランシェ分け：危うい債券二本からトリプルAと「有毒廃棄物」が生まれる

I重要な公式

公式	名称	説明
$P = (1-p)\,F + p \cdot 0, \qquad y = \dfrac{F}{P} - 1$	リスクのある債券1本の価格と約束利回り	必要なのは額面 $F$ とデフォルト確率 $p$ です。無リスク金利を0とするので、価格はただの期待ペイオフです。 $F$ = $1,000、 $p = 10\%$ なら $900 と11.1%
$\Pr(2F) = (1-p)^2, \quad \Pr(F) = 2p(1-p), \quad \Pr(0) = p^2$	プールの3つの結果	互いに独立にデフォルトする2本の債券。動画では81%、18%、1%
$\Pr(\text{シニアがデフォルト}) = p^2, \quad \Pr(\text{ジュニアがデフォルト}) = 1 - (1-p)^2$	トランシェのデフォルト確率	シニアはプールから先に支払われ、ジュニアは残りからしか支払われません。1%と19%
$P_S = (1-p^2)\,F, \quad P_J = (1-p)^2\,F, \quad P_S + P_J = 2(1-p)\,F$	トランシェの価格	同じ期待ペイオフのルールで、$990 + $810 = $1,800 = 2 × $900

ポイント：何も隠していませんし、何も足していません。優先順位だけが、デフォルト・リスクをシニアの請求権からジュニアの請求権へ移し、それに伴って $90 の価格も移ります。合計は $1,800 のままです。どの数字も、2本の債券が互いに独立にデフォルトするという1つの仮定の上に成り立っています。

IIそれぞれの結果で誰が支払われるか

シニアの請求権がプールの最初の $1,000 を取り、ジュニアの請求権は残りしか受け取りません。

色をつける

III優先順位で振り分けられるデフォルト・リスク

債券のデフォルト確率 $p$ がいくつであっても、シニアの請求権は債券1本よりデフォルトしにくく、ジュニアの請求権はデフォルトしやすくなります。

各債券のデフォルト確率 (p) 10%

💡 どの曲線も、動画の別々の2枚のコインのように、2本の債券が独立にデフォルトすると仮定しています。そうでないとき何が変わるかは、次の動画で扱います。動画と同じく、請求権のデフォルト確率を存続期間全体の値として読み、公表されている10年・20年の累積デフォルト率と比べているので、この物差しは格付のおおまかな目安であって、格付そのものではありません。

IV価値は生まれず、配分し直されるだけ

期待ペイオフで値付けすると、2つのトランシェの合計はいつも債券2本の価値に等しく、優先順位は両者の間で価格を移すだけです。

各債券のデフォルト確率 (p) 10%

V確認クイズ

問1 · デフォルト確率20%でのシニアの請求権

条件：額面 $1,000 の債券が2本あり、それぞれ互いに独立に20%の確率でデフォルトし、デフォルトすると何も支払いません。この2本をプールし、額面 $1,000 ずつのシニアの請求権とジュニアの請求権に分けます。無リスク金利を0として、シニアの請求権のデフォルト確率と価格を求めてください。

✅ 正解です！ シニアの請求権が支払いを受けられないのは、両方の債券が破綻したときだけです：

0.2 \times 0.2 = 0.04

。残りの96%の場合には支払われるので、価格は $960 です。

❌ 惜しい！ それは元の債券1本の数字です。シニアの請求権は先に支払われるので、1本がデフォルトしただけなら、プールの $1,000 はまだシニアのものです。シニアが支払いを受けられないのは、両方の債券がデフォルトしたときだけです。

❌ 惜しい！ それはジュニアの請求権の数字です。ジュニアはどちらか一方の債券が破綻すればデフォルトします：

1 - 0.8^2 = 0.36

。シニアの請求権は先に支払われ、両方の債券が破綻したときだけデフォルトします。

❌ 惜しい！ デフォルト確率は合っていますが、価格は額面にデフォルトの確率ではなく、支払われる確率96%を掛けたものです。デフォルトの寄与は 4% × $0 です。

解答を見る

シニアの請求権はプールが受け取る最初の $1,000 を取るので、受取額が足りなくなるのはプールが何も受け取らないとき、つまり両方の債券がデフォルトしたときだけです。デフォルトが独立なら：

\Pr(\text{シニアがデフォルト}) = p^2 = 0.2 \times 0.2 = 0.04

価格は期待ペイオフです（無リスク金利は0）。単位はドルです：

P_S = 0.96 \times 1000 + 0.04 \times 0 = 960

シニアの請求権は4%の確率でデフォルトし、価格は $960 です。元の債券1本なら20%と $800 でした。

問2 · デフォルト確率6%でのジュニアの請求権

条件：同じ仕組みで、今度は各債券が互いに独立に6%の確率でデフォルトします。ジュニアの請求権のデフォルト確率と価格を求めてください。

ジュニアのデフォルト確率は？

ジュニアの価格は？

✅ 正解です！ ジュニアの請求権が支払われるのは、どちらの債券もデフォルトしないとき、つまり

0.94^2 = 0.8836

の確率のときだけです。ですからデフォルト確率は11.64%で、価格は $883.60 です。

❌ 惜しい！

2 \times 0.06 \times 0.94 = 0.1128

は、ちょうど1本だけが破綻する場合しか数えていません。ジュニアの請求権は両方が破綻したときも何も受け取れないので、

0.06^2 = 0.0036

を足します。

❌ 惜しい！ 6% + 6% と足すと、両方がデフォルトする場合を2回数えてしまいます。少なくとも1本が破綻する確率は

1 - 0.94^2 = 0.1164

です。

❌ 惜しい！

0.06^2 = 0.0036

は両方の債券が破綻する確率で、これはシニアの請求権がデフォルトする場合です。ジュニアの請求権は、どちらか一方の債券が破綻した時点でデフォルトします。

❌ 惜しい！ ジュニアの請求権が支払われるのは、両方の債券が支払われたときだけです。

❌ 惜しい！ $880 は12%（6% + 6%）のデフォルト確率を使っていて、両方の債券が破綻する場合を2回数えています。ジュニアの請求権が支払われる確率は

0.94^2 = 0.8836

です。

❌ 惜しい！ $887.20 は11.28%のデフォルト確率を使っていて、両方の債券が破綻する0.36%の確率が抜けています。ジュニアの請求権が支払われる確率は

0.94^2 = 0.8836

です。

❌ 惜しい！ $940 は、デフォルト確率6%の元の債券1本の価格です。ジュニアの請求権はその債券よりリスクが高いので、価格はもっと低くなるはずです。

❌ 惜しい！ 価格 = 支払われる確率 × $1,000 です。

解答を見る

ジュニアの請求権が受け取るのはプールの2つ目の $1,000 で、これは両方の債券が支払われたときにしかありません：

\Pr(\text{ジュニアが支払われる}) = (1-p)^2 = 0.94^2 = 0.8836

\Pr(\text{ジュニアがデフォルト}) = 1 - 0.8836 = 0.1164 = 2 \times 0.06 \times 0.94 + 0.06^2

価格は期待ペイオフです。単位はドルです：

P_J = 0.8836 \times 1000 + 0.1164 \times 0 = 883.6

したがって、ジュニアの請求権のデフォルト確率は11.64%（債券1本の6%のほぼ2倍）で、価格は $883.60 です。

問3 · ジュニアの請求権の価格と約束利回り

条件：額面 $1,000、デフォルト確率12%の独立な債券2本を、額面 $1,000 ずつのシニアの請求権とジュニアの請求権にトランシェ分けします。無リスク金利は0です。ジュニアの請求権の価格と約束利回り（満額支払われたときに得られる利回り）を求めてください。

ジュニアの価格は？

ジュニアの約束利回りは？

✅ 正解です！ ジュニアの請求権が支払われる確率は

0.88^2 = 0.7744

なので、価格は $774.40、約束利回りは

1000/774.4 - 1 \approx 29.1\%

です。元の債券1本の13.6%をはるかに上回ります。

❌ 惜しい！ $880 は、88%の確率で支払われる元の債券1本の価格です。ジュニアの請求権が支払われるのは、両方の債券が支払われたときだけです。

❌ 惜しい！ $985.60 は、両方の債券が破綻したときだけデフォルトする（

0.12^2 = 0.0144

）シニアの請求権の価格です。最初の損失を引き受けるのはジュニアの請求権です。

❌ 惜しい！ $760 は、ジュニアの請求権を24%（12% + 12%）のデフォルト確率で値付けしていて、両方がデフォルトする場合を2回数えています。支払われる確率は

0.88^2 = 0.7744

です。

❌ 惜しい！ 価格 = 支払われる確率 × $1,000 です。

❌ 惜しい！ 13.6%は元の債券1本の約束利回り

1000/880 - 1

です。ジュニアの請求権は価格が低いので、約束する利回りは高くなります。

❌ 惜しい！ 22.56%はジュニアのデフォルト確率

1 - 0.7744

で、額面からの割引額を額面に対する割合で表したものでもあります。約束利回りは、利益を価格で割ります：

(1000 - 774.4)/774.4

。

❌ 惜しい！ 元の債券の13.6%を2倍しても、ジュニアの利回りにはなりません。利回りはそのようには足し合わせられないのです。ジュニアの価格から

1000/774.4 - 1

を計算してください。

❌ 惜しい！ 約束利回り = 額面 / 価格 − 1 です。

解答を見る

ステップ1：ジュニアの請求権が支払われる確率。両方の債券が支払われる必要があります：

\Pr(\text{ジュニアが支払われる}) = 0.88 \times 0.88 = 0.7744

ステップ2：価格を期待ペイオフとして求めます。単位はドルです：

P_J = 0.7744 \times 1000 = 774.4

ステップ3：約束利回り、つまり満額支払われたときに得られる利回りです：

y_J = \frac{1000}{774.4} - 1 \approx 1.2913 - 1 \approx 29.1\%

比べると、元の債券1本は価格 $880 で約束利回りは $1000/880 - 1 \approx 13.6\%$ 、シニアの請求権は価格 $985.60 で約束利回りは約1.5%です。デフォルトしやすい請求権ほど、高い利回りを約束しなければなりません。

問4 · トランシェ分けは価値を生んだか

条件：額面 $1,000、デフォルト確率25%の独立な債券2本を動画と同じようにトランシェ分けし、どの請求権も期待ペイオフで値付けします。あるディーラーが、シニアの請求権は元の債券より $187.50 高く売れるのだから、トランシェ分けは価値を生んだと言います。正しいのはどれでしょうか？

✅ 正解です！ 優先順位は $187.50 の価格をジュニアの請求権からシニアの請求権へ移しますが、合計は変わりません。価値は生まれず、配分し直されるだけです。

❌ 惜しい！ 約束は価格ではありません。ジュニアの請求権が支払われる確率は

0.75^2 = 0.5625

しかないので、価格は $562.50 で、元の債券より $187.50 低くなります。

❌ 惜しい！ どちらも同じ幅だけ動きます。シニアの請求権は25%から

0.25^2 = 6.25\%

に下がり、ジュニアの請求権は25%から

1 - 0.75^2 = 43.75\%

に上がります。どちらも18.75ポイントです。

❌ 惜しい！ 年金基金の需要は市場が拡大した理由を説明しますが、ここではどの請求権も期待ペイオフで値付けされていて、2つのトランシェの期待ペイオフを足すと、やはりプールの期待ペイオフ $1,500 になります。

解答を見る

$p = 0.25$ のとき、価格は次のとおりです（単位はドル、無リスク金利は0）：

P_{\text{債券}} = 0.75 \times 1000 = 750

P_S = (1 - 0.25^2) \times 1000 = 0.9375 \times 1000 = 937.5

P_J = 0.75^2 \times 1000 = 0.5625 \times 1000 = 562.5

シニアの請求権は債券1本より $937.5 - 750 = 187.5$ ドル高く、ジュニアの請求権は $750 - 562.5 = 187.5$ ドル安くなります。合わせると：

937.5 + 562.5 = 1500 = 2 \times 750

一般に、移る額はどちら向きにも $p(1-p)F$ なので、どの $p$ でも $P_S + P_J = 2(1-p)F$ です。トランシェ分けは請求権の間で価値を配分し直すだけで、価値を生み出しはしません。

正解数：0 / 4