ファイナンス理論 · 第8回 · 動画5 · インタラクティブ教材

デフォルトが連動するとき：相関がトリプルAのトランシェを崩した

I重要な公式

公式名称説明
P(両方デフォルト)=p2+ρ p(1−p)=0.01+0.09ρP(\text{両方デフォルト}) = p^2 + \rho\,p(1-p) = 0.01 + 0.09\rho相関 ρ\rho のもとでの同時デフォルト各債券は p=0.10p = 0.10 でデフォルトし、ρ\rho は2つのデフォルト指標の間の相関で、0≤ρ≤10 \le \rho \le 1 です。動画が比べているのは両端の ρ=0\rho = 0（独立）と ρ=1\rho = 1（完全相関）だけで、その間の式はこのページのモデルです。このとき P(ちょうど1本)=0.18(1−ρ)P(\text{ちょうど1本}) = 0.18(1-\rho)、P(両方支払い)=0.81+0.09ρP(\text{両方支払い}) = 0.81 + 0.09\rho です
シニア=1,000×(1−P(両方デフォルト))\text{シニア} = 1{,}000 \times \big(1 - P(\text{両方デフォルト})\big)シニア・トランシェの価格（r=0r = 0）プールが空でない限り満額支払われます。ρ=0\rho = 0 なら $990、ρ=1\rho = 1 なら $900
ジュニア=1,000×P(両方支払い)\text{ジュニア} = 1{,}000 \times P(\text{両方支払い})ジュニア・トランシェの価格（r=0r = 0）どちらの債券もデフォルトしないときだけ支払われます。ρ=0\rho = 0 なら $810、ρ=1\rho = 1 なら $900
シニア+ジュニア=2×900=1,800\text{シニア} + \text{ジュニア} = 2 \times 900 = 1{,}800プールの価値は保存される相関が変えるのは2本の債券の価値の分け方だけで、合計は変わりません：990+810=900+900990 + 810 = 900 + 900

ポイント：独立性は、トランシェ分けの例が当然のように置いていた入力でした。完全相関のもとでは、トリプルA（AAA）のシニア・トランシェは10倍デフォルトしやすくなり（1%ではなく10%）、「有毒廃棄物」のジュニアは元の債券1本とまったく同じリスクになります。こうして $90 の価値がシニアからジュニアへ移ります。独立なデフォルトの価格でシニア・トランシェを買い、ジュニア・トランシェを空売りした銀行は、相関が高まると両方の側で損をします。例ではそれぞれ $90 です。

II相関のつまみを回す

相関を上げると、確率が両方デフォルトの隅に集まり、価値がシニア・トランシェからジュニアへ移ります。

IIIシニアを買い、ジュニアを空売りする

相関の上昇によるポジションの損益は「ジュニアの単位数 − シニアの単位数」に比例するので、シニアの買いとジュニアの空売りは両方の側で損をします。

IV確認クイズ

問1 · 完全相関のもとでのシニア・トランシェ

条件：2本の債券は、それぞれ $1,000 を支払うか何も支払わないかで、どちらも20%の確率でデフォルトします。デフォルトは完全相関していて、無リスク金利は0です。動画と同じく、シニア・トランシェにはプールのペイオフの最初の $1,000、ジュニア・トランシェには2つ目の $1,000 が約束されていて、各トランシェは期待ペイオフで値付けされます。シニア・トランシェの価格を求めてください。

✅ 正解です！ 2本の債券は80%の確率で一緒に支払われ、20%の確率で一緒にデフォルトするので、シニアの価値は 0.80×1,000=8000.80 \times 1{,}000 = 800 ドルで、ジュニアの価値もまったく同じです。
❌ それは独立を仮定しています。デフォルトが独立なら、プールが空になる確率は 0.22=0.040.2^2 = 0.04 で、0.96×1,000=9600.96 \times 1{,}000 = 960 になります。完全相関した債券は一緒にデフォルトするので、プールは20%の確率で空になります。
❌ それはデフォルトが独立なときのジュニアの価格です。0.82×1,000=6400.8^2 \times 1{,}000 = 640 は、デフォルトが独立なときのジュニア・トランシェの価値です。問われているのは、完全相関のもとでのシニア・トランシェです。
❌ それは動画の数字です。$900 はデフォルト確率10%のときの価格です。ここでは各債券が20%の確率でデフォルトするので、両方が支払われるのは80%の場合だけです。
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完全相関のもとでは、2本の債券の結果が分かれることはありません。両方が支払われる（確率80%、プールは $2,000）か、両方がデフォルトする（確率20%、プールは $0）かのどちらかです。シニア・トランシェは前者で $1,000 を受け取り、後者では何も受け取りません。r=0r = 0 なので、価格は期待ペイオフです：

シニア=0.80×1,000+0.20×0=800\text{シニア} = 0.80 \times 1{,}000 + 0.20 \times 0 = 800

したがって $800 です。ジュニア・トランシェのペイオフと確率もまったく同じなので、価値はやはり $800 で、元の債券1本の価値に等しくなります。デフォルトが独立なら、価格は $960 と $640 だったはずです。

問2 · 価値はどこへ行くか

条件：動画の例（$1,000 の債券2本、それぞれのデフォルト確率10%、r=0r = 0）で、デフォルトが独立から完全相関に変わります。シニア・トランシェとジュニア・トランシェを合わせた価値はどうなるでしょうか？

✅ 正解です！ 990+810=900+900=1,800990 + 810 = 900 + 900 = 1{,}800 です。2つのトランシェが分け合っているのは同じ2本の債券で、それぞれの価値は $900 のままです。相関が変えるのは分け方だけです。
❌ 惜しい！ $180 の損失は、シニアを1単位買いジュニアを1単位空売りするリスク・マネージャーの取引が、例のなかで被る損失です。ジュニア・トランシェそのものの価値は $810 から $900 に上がります。
❌ ジュニアも動きます。ジュニアは両方の債券が支払われればいつでも支払われ、それが81%ではなく90%の確率で起こるようになるので、価格は $810 から $900 に上がります。
❌ 惜しい！ 各債券のデフォルト確率は10%のままです。相関が変えるのはデフォルトの重なり方であって、各債券がデフォルトする頻度ではありません。ですからプールの価値は、やはり 2×0.9×1,000=1,8002 \times 0.9 \times 1{,}000 = 1{,}800 ドルです。
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独立：シニア =0.99×1,000=990= 0.99 \times 1{,}000 = 990、ジュニア =0.81×1,000=810= 0.81 \times 1{,}000 = 810。

完全相関：シニア == ジュニア =0.90×1,000=900= 0.90 \times 1{,}000 = 900。

990+810=1,800=900+900990 + 810 = 1{,}800 = 900 + 900

合計は元の債券2本の価値に等しく、各債券の価値は相関がどうであれ 0.9×1,000=9000.9 \times 1{,}000 = 900 ドルです。シニアは $90 失い、ジュニアは $90 得ます。価値は移転するだけで、生まれも消えもしません。

問3 · 部分的に相関したデフォルト

条件：$1,000 の債券2本は、それぞれ変わらず10%の確率でデフォルトしますが、デフォルトは部分的に相関していて、両方が一緒にデフォルトする確率は4%です。無リスク金利は0です。シニア・トランシェとジュニア・トランシェの価格を求めてください。

シニア・トランシェの価格は？

ジュニア・トランシェの価格は？

✅ 正解です！ シニア =0.96×1,000=960= 0.96 \times 1{,}000 = 960、ジュニア =0.84×1,000=840= 0.84 \times 1{,}000 = 840（単位はドル）で、いつもどおり 960+840=1,800960 + 840 = 1{,}800 です。
❌ それは独立を前提にしています。$990 は、両方がデフォルトする確率を1%としています。ここではプールが空になる確率は4%です。
❌ それはジュニアの価格です。シニアは、ちょうど1本がデフォルトしたときも満額支払われます。支払いを受けられないのは両方がデフォルトしたときだけです。
❌ それは完全相関のときの価格です。$900 は、両方の債券が10%の確率で一緒にデフォルトするときの価格です。4%は、独立のときの1%と完全相関のときの10%の間にあります。
❌ それはシニアの価格です。ジュニアが支払われるのは、どちらの債券もデフォルトしないときだけです。
❌ 1本だけがデフォルトする結果が1つ抜けています。Aだけがデフォルトする確率は 0.10−0.04=0.060.10 - 0.04 = 0.06 で、Bだけがデフォルトする確率も 0.060.06 です。ですから、ちょうど1本がデフォルトする確率は 0.060.06 ではなく 0.120.12 です。
❌ それは独立を前提にしています。デフォルトが重なりやすいときは、2本の債券が一緒に支払われることも多くなります。ここでは81%ではなく84%です。
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各債券は10%の確率でデフォルトし、そのうち4%はもう一方と一緒にデフォルトするので、それぞれが単独でデフォルトする確率は 0.10−0.04=0.060.10 - 0.04 = 0.06 です：

P(ちょうど1本)=0.06+0.06=0.12,P(両方支払い)=1−0.04−0.12=0.84P(\text{ちょうど1本}) = 0.06 + 0.06 = 0.12, \qquad P(\text{両方支払い}) = 1 - 0.04 - 0.12 = 0.84

シニアは両方がデフォルトしない限り支払われ、ジュニアは両方が支払われたときだけ支払われます：

シニア=0.96×1,000=960,ジュニア=0.84×1,000=840\text{シニア} = 0.96 \times 1{,}000 = 960, \qquad \text{ジュニア} = 0.84 \times 1{,}000 = 840

したがって $960 と $840 で、合計は $1,800 です。重要な公式のモデルでは 0.01+0.09ρ=0.040.01 + 0.09\rho = 0.04 なので、相関は ρ=13\rho = \tfrac{1}{3} にあたります。

問4 · 規模を大きくした取引

条件：あるトレーディング・デスクが、動画の例の独立なデフォルトの価格で、シニア・トランシェを2単位買い、ジュニア・トランシェを1単位空売りします。その後デフォルトが完全相関していることがわかり、ポジションが時価評価されます。このデスクの損益の合計を求めてください。

✅ 正解です！ 2×(900−990)+(810−900)=−180−90=−2702 \times (900 - 990) + (810 - 900) = -180 - 90 = -270 で、両方の側が損をします。
❌ 規模を確かめましょう。$180 は、動画の1単位対1単位の取引での損失です。ここではシニア側が2単位あり、それだけで 2×(900−990)=−1802 \times (900 - 990) = -180 の損失になります。
❌ ここでは空売りはヘッジになりません。ヘッジとして扱うと −180+90-180 + 90 になります。しかしジュニアの価格は810から900に上がるので、買い戻すには売って得た額より多くかかります：810−900=−90810 - 900 = -90。
❌ 惜しい！ トランシェの合計が変わらないことが効いてくるのは、両方を同じ量だけ持っている人だけです。このデスクは、シニアからジュニアへの移転について、両方の側で損をする立場にいます。
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シニア側：$990 で2単位買い、いまの価値はそれぞれ $900 です：

2×(900−990)=−1802 \times (900 - 990) = -180

ジュニア側：$810 で1単位空売りし、手仕舞うには $900 で買い戻します：

810−900=−90810 - 900 = -90

合計：−180+(−90)=−270-180 + (-90) = -270 で、$270 の損失です。一般に、ポジションの価値は 90ρ×(ジュニアの単位数−シニアの単位数)=90×1×(−1−2)=−27090\rho \times (\text{ジュニアの単位数} - \text{シニアの単位数}) = 90 \times 1 \times (-1 - 2) = -270 だけ変化します。

正解数：0 / 4