ファイナンス理論 · 第8回 · 動画6 · インタラクティブ教材

相関がお金を動かした：格付、勝者、そして政府の値付け問題

I重要な公式

公式名称説明
PS=1000 (0.99−0.09ρ)=990−90ρP_S = 1000\,(0.99 - 0.09\rho) = 990 - 90\rho
PJ=1000 (0.81+0.09ρ)=810+90ρP_J = 1000\,(0.81 + 0.09\rho) = 810 + 90\rho		2本の債券の例でのトランシェの価格各債券は $1,000 を支払うか何も支払わないかで、10%の確率でデフォルトします。ρ\rho は2つのデフォルトの相関で、両方がデフォルトする確率は 0.01+0.09ρ0.01 + 0.09\rho です。無リスク金利は0なので、価格 = 期待ペイオフです
PS+PJ=2×0.9×1000=1800P_S + P_J = 2 \times 0.9 \times 1000 = 1800プールの価値は変わらない各債券の価値は相関がどうであれ 0.9×1000=9000.9 \times 1000 = 900 なので、ρ\rho が変わっても価値はトランシェの間を移るだけで、少しも失われません
結果=売却価格−支払価格\text{結果} = \text{売却価格} - \text{支払価格}救済か投資か推定価値より多く払えば、その差額を売り手に渡すことになります。最終的な判定は、その証券を最後に売る価格が出るまで待たなければなりません
31.1443.5≈0.07\dfrac{31.1}{443.5} \approx 0.07支出1ドルあたりのTARPの正味コスト米政府説明責任局（GAO）が算定した制度全体の正味のコスト（311億ドル、2023年9月30日時点）を、支出された4,435億ドルで割ります。権限は7,000億ドルから4,750億ドルに縮小されていました

ポイント：2本の債券のモデルの中では、相関が0から1に上がると、各シニア・トランシェから対応するジュニア・トランシェへ $90 が移りました。現実の危機では、サブプライム案件のジュニア・トランシェは全損となり、最大の利益を得たのは、こうした証券に対する保証を買っていた投資家でした。たとえばジョン・ポールソンの2007年の報酬は、30億〜40億ドルほどと報じられています。

II保守的な相関を置いていればトリプルAは守れたか

値付けに使った相関より実際の相関が高いと、シニアの保有者から価値が奪われ、ジュニアの保有者に渡ります。

💡 動画は実現した相関の具体的な数字を1つには示していません。住宅市場が反転すると、実際の相関は25〜30%よりはるかに、はるかに高くなり、とくにサブプライム・ローンでそうだった、と述べているだけです。初期値の0.90は説明のための値です。

III最悪の年の4倍の下落

2007年までの20年間、全米住宅価格指数が1年で2.2%を超えて下がったことはありませんでした。では2008年9月までに、どこまで下がっていたでしょうか？

IV救済か投資か：2つの価格

買い取りが救済になるか投資になるかは、2つの価格で決まります。支払う価格と、売る価格です。

💡 さらに会社の80%の株式を保有すれば、証券の価値が戻ったときの上値（アップサイド）が加わり、取引ははっきりと利益の出るものになりえます。動画によれば、これはおおむねAIGとの取り決めで、ウォーレン・バフェットがゴールドマン・サックスと交渉した条件にも近いものです。

V確認クイズ

問1 · 続いている集中

条件：2023年12月31日の時点で、SECに全国的に認知された統計格付機関（NRSRO）として登録されていたのは10社で、フィッチ、ムーディーズ、S&Pの3社だけで、発行されている信用格付け全体の94%を占めていました。2007年には、同じ3社で98.8%でした。2023年末に残りの登録7社が合わせて占めていた割合と、それが2007年に3社以外のすべての会社が占めていた割合の何倍かを求めてください。

2023年末の残り7社の割合は？

2007年の割合の何倍か？

✅ 正解です！ 業界の残りの会社が占めていたのは、2023年が 100%−94%=6%100\% - 94\% = 6\%、2007年が 100%−98.8%=1.2%100\% - 98.8\% = 1.2\% で、6/1.2=56 / 1.2 = 5 です。5倍に増えても、なお3社が発行済みの格付け全体の94%を占めていました。集中は続いているのです。
❌ 割合を確かめましょう。残りの会社が占めるのは、3社が占めていない部分です。100%から2023年の3社の割合を引きます。
❌ それは割合ではなく変化です。98.8−94=4.898.8 - 94 = 4.8 は、2007年から2023年までに3社の割合が何ポイント下がったかです。残りの7社が占めるのは 100%−94%=6%100\% - 94\% = 6\% です。
❌ 会社の数は格付けの数ではありません。登録10社のうち7社は会社の数の70%ですが、問われているのは発行済みの格付けに占める割合です：100%−94%=6%100\% - 94\% = 6\%。
❌ 年が違います。100%−98.8%=1.2%100\% - 98.8\% = 1.2\% は2007年の残りの会社の割合です。2023年末には 100%−94%=6%100\% - 94\% = 6\% でした。
❌ 倍率を確かめましょう。残りの会社の2023年の割合を、2007年の割合で割ります。
❌ それは倍率ではなく差です。6−1.2=4.86 - 1.2 = 4.8 は、残りの会社の割合が何ポイント上がったかです。「何倍か」は比を問うています：6/1.2=56 / 1.2 = 5。
❌ 逆さまです。1.2/6=0.21.2 / 6 = 0.2 は、2007年の割合を2023年の割合で割っています。大きいのは2023年の割合です：6/1.2=56 / 1.2 = 5。
❌ 会社が違います。98.8/94≈1.0598.8 / 94 \approx 1.05 は3社自身の割合を比べています。問われているのはそれ以外のすべての会社です：6/1.2=56 / 1.2 = 5。
解答を見る

残りの会社が占めるのは、3社が占めていない部分です：

2023: 100%−94%=6%2007: 100%−98.8%=1.2%2023:\ 100\% - 94\% = 6\% \qquad 2007:\ 100\% - 98.8\% = 1.2\%

その割合は次の倍率で増えました：

61.2=5.\frac{6}{1.2} = 5.

5倍に増えても、登録している競合7社が合わせて占めるのは発行済みの格付けの6%にすぎず、フィッチ、ムーディーズ、S&Pが94%を占めていました。動画が言うように、新しく格付機関を立ち上げるのは今も極めて難しいのです。規制当局が課す基準は、新興企業にはほぼ満たしようがないからです。

問2 · TARPの1ドルあたりのコスト

条件：TARPの権限は7,000億ドルから4,750億ドルに縮小され、最終的に支出されたのは4,435億ドルでした。米政府説明責任局（GAO）は、2023年9月30日の時点で、制度全体の正味のコストを311億ドルと算定しました。支出1ドルあたりの正味のコストはいくらだったでしょうか？

✅ 正解です！ 31.1/443.5≈0.07031.1 / 443.5 \approx 0.070 で、支出1ドルにつき正味のコストは約7セントです。
❌ 分母が違います。31.1/700≈0.04431.1 / 700 \approx 0.044 は、当初の権限で割っています。問われているのは実際に支出された1ドルあたり、つまり4,435億ドルで割った値です。
❌ 分母が違います。31.1/475≈0.06531.1 / 475 \approx 0.065 は、実際に支出された4,435億ドルではなく、縮小後の権限で割っています。
❌ それはコストではありません。443.5/700≈0.63443.5 / 700 \approx 0.63 は、当初の権限のうち支出された割合で、311億ドルの正味のコストは入っていません。
解答を見る

制度全体の正味のコストを支出額で割ります（単位はどちらも10億ドル）：

31.1443.5≈0.0701\frac{31.1}{443.5} \approx 0.0701

支出1ドルあたり、正味のコストは約7セントです。権限の数字（7,000億ドルと4,750億ドル）は支出できる額の上限であって、実際に支出された額ではありません。

問3 · 余裕は結果ではない

条件：ある資産の価値について、政府の最善の推定値は1単位 $60 です。政府は1単位 $50 を払います。何年か後、その証券は1単位 $45 で売れます。買い取り時の推定値に対する余裕と、売却したときの証券1単位あたりの結果を求めてください。

買い取り時の余裕は？

売却時の1単位あたりの結果は？

✅ 正解です！ 余裕 60−50=+1060 - 50 = +10 が成り立つのは、推定が正しかった場合だけです。証券は45で売れたので、結果は1単位あたり 45−50=−545 - 50 = -5 です。取引全体で損をしたかどうかは、株式の保有など、政府がほかに受け取ったものにもよります。
❌ 余裕を確かめましょう。余裕は推定価値と支払価格を比べたもので、推定値から価格を引きます。
❌ 符号が逆です。50−60=−1050 - 60 = -10 は引く向きが逆です。60と推定されるものに50を払えば、60−50=+1060 - 50 = +10 の余裕が残ります。
❌ 価格が違います。60−45=1560 - 45 = 15 は最終的な売却価格を使っています。買い取り時に政府が推定値と比べるのは、実際に払う50です。
❌ 場面が違います。60−100=−4060 - 100 = -40 は、政府が100を払う、動画のもう一方の場合です。ここでは50を払います。
❌ 結果を確かめましょう。証券を売ったあとの結果は、売却価格から支払価格を引いたものです。
❌ 推定は外れました。+10の余裕は、証券の価値が60だと仮定していました。実際には45で売れたので、結果は 45−50=−545 - 50 = -5 です。
❌ 比べる相手が違います。45−60=−1545 - 60 = -15 は売却価格を推定値と比べていますが、政府が払ったのは60ではなく50です：45−50=−545 - 50 = -5。
❌ 符号が逆です。50で買って45で売れば損をします。結果は +5+5 ではなく 45−50=−545 - 50 = -5 です。
解答を見る

買い取り時に、最善の推定値と比べると：

推定値−支払価格=60−50=+10\text{推定値} - \text{支払価格} = 60 - 50 = +10

1単位あたり $10 の余裕です。ただし推定が正しければの話です。

売却時には、推定値はもう関係ありません：

売却価格−支払価格=45−50=−5\text{売却価格} - \text{支払価格} = 45 - 50 = -5

証券1単位あたり $5 の損失です。買い取り時の余裕は推定が高すぎた場合への備えでしたが、推定は15も高すぎ、余裕はそのうち10しか吸収できませんでした。だからこそ動画は、判定は2つの価格で決まると言うのです。支払う価格と、最終的にその証券を売る価格です。

問4 · 保守的なアナリスト

条件：デフォルトの相関が ρ\rho の2本の債券の例では、シニア・トランシェの価値は 990−90ρ990 - 90\rho ドル、ジュニア・トランシェは 810+90ρ810 + 90\rho ドルです。あるアナリストが、わざと保守的に ρ=0.30\rho = 0.30 と置いてシニア・トランシェを値付けし、実際に実現した相関は ρ=0.90\rho = 0.90 でした。シニア・トランシェ1つあたり、支払価格に対していくら失い、その価値はどこへ行くでしょうか？

✅ 正解です！ 保守的な仮定は損失を81から54に減らしましたが、なくすことはできませんでした。963−909=54963 - 909 = 54 がシニアの保有者からジュニアの保有者へ移ります。
❌ 惜しい！ 81は、相関を0と想定したアナリストの損失です：990−909=81990 - 909 = 81。このアナリストは ρ=0.30\rho = 0.30 で値付けし、990−27=963990 - 27 = 963 を払いました。
❌ プールの価値は変わりません。金額は合っていますが、どの ρ\rho でも PS+PJ=1800P_S + P_J = 1800 です。ジュニア・トランシェは 810+27=837810 + 27 = 837 から 810+81=891810 + 81 = 891 に上がり、ちょうど54得ます。
❌ 惜しい！ 90は ρ=0\rho = 0 から ρ=1\rho = 1 まで動いたときの全体の変化です。ここでは0.30から0.90への変化です：90×(0.90−0.30)=5490 \times (0.90 - 0.30) = 54。
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想定した相関での支払価格：

PS(0.30)=990−90×0.30=990−27=963P_S(0.30) = 990 - 90 \times 0.30 = 990 - 27 = 963

実現した相関での価値：

PS(0.90)=990−90×0.90=990−81=909P_S(0.90) = 990 - 90 \times 0.90 = 990 - 81 = 909

シニア・トランシェ1つあたりの損失は 963−909=54963 - 909 = 54 で、これは 90×(0.90−0.30)90 \times (0.90 - 0.30) に等しくなります。

ジュニア・トランシェは 810+27=837810 + 27 = 837 から 810+81=891810 + 81 = 891 になり、54得ます。プールは 909+891=1800909 + 891 = 1800 のままです。保守的な仮定は移転を小さくしましたが、動画が言うように、混乱を避けることはできなかったでしょう。

正解数：0 / 4