ファイナンス理論 · 第9回 · 動画3 · インタラクティブ教材

株の価値は配当で決まる：配当割引モデルの導出

I重要な公式

公式	名称	説明
$P_t = \dfrac{\mathsf{E}_t[D_{t+1} + P_{t+1}]}{1+r}$	1年ごとの価格づけ	今日の価格は、1年後の期待配当と、配当落ち後の期待売却価格の和を、 $r$ に固定した率で1年分割り引いたものです
$P_t = \displaystyle\sum_{k=1}^{N} \frac{\mathsf{E}_t[D_{t+k}]}{(1+r)^k} + \frac{\mathsf{E}_t[P_{t+N}]}{(1+r)^N}$	$N$ 回の代入の後	各年の価格を先へ先へと代入するときに、 $\mathsf{E}_t\big[\mathsf{E}_{t+1}[X]\big] = \mathsf{E}_t[X]$ と $(1+r)(1+r) = (1+r)^2$ を使います。最後の1項が売却価格の項です
$\displaystyle\lim_{N\to\infty} \frac{\mathsf{E}_t[P_{t+N}]}{(1+r)^N} = 0$	バブルなしの条件	仮定です。期待株価が、いつまでも $r$ と同じ速さで伸び続けることはない、というものです
$P_t \equiv \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mathsf{E}_t[D_{t+k}]}{(1+r_{t+k})^k}$	配当割引モデル	スポットレートのように、期間ごとに1つずつリスク調整後の率を置きます。配当は $D_t \ge 0$ を満たし、価格は配当落ちで測ります

ポイント：何も払わない請求権の価値は0です。配当がすべて0なら、どんな $N$ についても、価格は割り引いた期待売却価格に等しくなるので、期待株価は永遠にちょうど $r$ の速さで伸び続けなければなりません。バブルなしの条件がそれを排除し、 $P_t = 0$ が残ります。

II先へ代入して動くのは内訳で、価格ではない

代入するたびに、売却価格の項の一部が割り引いた配当に変わりますが、価格そのものは変わりません。

期間 N（年） 0

III何も払わない請求権

配当がすべて0なら、今日の価格を支えられるのは、ちょうど $r$ の速さで伸びる期待売却価格だけです。

今日の価格 $5.00 期間 N（年） 20

IV期間ごとに1つの率

各期待配当は、その期間に対応するリスク調整後の率で、期間の年数分だけ割り引かれます。

r(t+1) % 8.0 r(t+2) % 9.0 r(t+3) % 10.0

V確認クイズ

問1 · 1年ずつ価格をつける

条件：ある株は、1年後に$2の配当を払い、その後、配当落ちで$53で売れると期待されています。リスク調整後の率は $r = 10\%$ です。今日の価格 $P_t$ を求めてください。

✅ 正解です！ 配当も売却価格も1年後に入るので、どちらも割り引きます：

(2 + 53)/1.1 = 50

。

❌ 割り引いていません。 $55は、1年後に手元にあると期待される額です。今日の価格は、それを

1 + r

で割ったものです：

55/1.1 = 50

。

❌ 配当も1年先です。

53/1.1 \approx 48.18

に割り引かない$2を足すと、約$50.18になります。配当は

t+1

に支払われるので、分子の中に入ります：

(2 + 53)/1.1 = 50

。

❌ 引くものはありません。

P_{t+1}

はすでに配当落ちの価格なので、$2を含みません。1年間株を持てば、配当と売却価格の両方を得ます。答えは

(2 + 53)/1.1 = 50

で、

(53 - 2)/1.1 \approx 46.36

ではありません。

❌ 惜しい！

P_t = \mathsf{E}_t[D_{t+1} + P_{t+1}]/(1+r)

を使います。

解答を見る

今日 $P_t$ で買うと、1年後に配当 $D_{t+1}$ と配当落ちの価格 $P_{t+1}$ を得ます。率を $r$ に固定すると：

P_t = \frac{\mathsf{E}_t[D_{t+1} + P_{t+1}]}{1+r} = \frac{2 + 53}{1.10} = \frac{55}{1.10} = 50

今日の価格は$50.00です。

問2 · 2年分の代入

条件：ある株の期待配当は1年後に$1.10、2年後に$1.21で、2年後の配当落ちの期待株価は$60.50です。リスク調整後の率は $r = 10\%$ で一定です。 $P_t = \dfrac{\mathsf{E}_t[D_{t+1}]}{1+r} + \dfrac{\mathsf{E}_t[D_{t+2}]}{(1+r)^2} + \dfrac{\mathsf{E}_t[P_{t+2}]}{(1+r)^2}$ を使って、今日の価格を求めてください。

✅ 正解です！

1.10/1.1 + 1.21/1.21 + 60.50/1.21 = 1 + 1 + 50 = 52

。

❌ 2年後のキャッシュフローは2年分割り引きます。 すべてを

1.1

で割ると

62.81/1.1 = 57.10

になります。来年の価格を代入すると2つの係数が掛け合わされ、2つ目の配当と売却価格は

(1.1)^2 = 1.21

で割られます。

❌ 売却価格の項がまだ残っています。 2つの配当の価値は

1 + 1 = 2

ですが、2回代入しただけでは、売却価格の項

60.50/1.21 = 50

が残ります。この項が消えるのは

N \to \infty

のときだけで、それもバブルなしの条件のもとでだけです。

❌ 2つ目の配当を確かめましょう。 2年後に支払われるので、

(1.1)^2

で割ります：

1.21/1.21 = 1

です。

1.21/1.1 = 1.10

ではありません。

❌ 惜しい！ それぞれの額を

(1.1)^k

で割り引きます。

k

はその額が入る年です。

解答を見る

$P_{t+1}$ を今日の式に代入すると、2年目に入る額はすべて $(1+r)^2 = 1.21$ で割られます：

P_t = \frac{1.10}{1.1} + \frac{1.21}{1.21} + \frac{60.50}{1.21} = 1 + 1 + 50 = 52

今日の価格は$52.00です。1年ずつ価格をつけても同じ価格になります： $P_{t+1} = (1.21 + 60.50)/1.1 = 56.10$ 、そして $P_t = (1.10 + 56.10)/1.1 = 52$ 。

問3 · 何も払わない請求権にお金を払う

条件：ある株は、どんな種類の配当も、清算配当さえも決して払いません。今日の価格は$20で、リスク調整後の率は $r = 8\%$ で一定です。今日の$20を正当化するのに必要な10年後の期待株価と、バブルなしの条件を課したときの株の価値を求めてください。

今日の$20を正当化する10年後の期待株価は？

バブルなしの条件のもとでの価値は？

✅ 正解です！ 配当がないので、

20 = \mathsf{E}_t[P_{t+10}]/(1.08)^{10}

から

\mathsf{E}_t[P_{t+10}] = 20 \times 1.08^{10} \approx 43.18

が決まります。売却価格の項はどの期間でも20に等しいので、決して0にはなりません。そこでバブルなしの条件を課すと、価値は$0になります。

❌ 必要な価格を確かめましょう。 配当がすべて0なら、

P_t = \mathsf{E}_t[P_{t+N}]/(1+r)^N

がどの

N

についても成り立ちます。これを

\mathsf{E}_t[P_{t+10}]

について解きます。

❌ それは単利です。

20 \times (1 + 10 \times 0.08) = 36

。先へ先へと代入していくと、率は複利で効きます：

20 \times 1.08^{10} \approx 43.18

。

❌ 価格が横ばいでは損をします。 何も払わず、$20のままと期待される株のリターンは、8%ではなく0%です。リターンはすべて売却から得るしかないので、期待株価はちょうど

r

の速さで伸びます：

20 \times 1.08^{10} \approx 43.18

。

❌ 向きが逆です。

20/1.08^{10} \approx 9.26

は今日の価格を割り引いたものです。将来の価格のほうが大きくなければなりません：

\mathsf{E}_t[P_{t+10}] = 20 \times 1.08^{10} \approx 43.18

。

❌ 価値を確かめましょう。 配当がすべて0なら、割り引いた期待配当の和は0です。バブルなしの条件のもとで残るのは、その和だけです。

❌ それは売却価格の項で、価値ではありません。 $20のとき、売却価格の項は

\mathsf{E}_t[P_{t+N}]/(1.08)^N = 20

で、これがどの

N

についても成り立つので、その極限は0ではなく20です。バブルなしの条件が排除するのは、まさにこれです。

❌ 価格をもう一度割り引いています。

20/1.08^{10} \approx 9.26

は、株が払う何かの価値ではありません。株は何も払わないので、割り引いた期待配当の和は$0です。

❌ 条件によって決まります。 売却価格の項が消えなければならないとすると、

P_t

は割り引いた期待配当の和に等しく、その1つひとつが0なので、価格について誰がどう予想しようと

P_t = 0

です。

解答を見る

$D_{t+k} = 0$ がすべての $k$ について成り立つなら、 $N$ 年の公式には売却価格の項だけが残ります：

P_t = \frac{\mathsf{E}_t[P_{t+N}]}{(1+r)^N} \quad\text{各 } N

$N = 10$ のとき：

\mathsf{E}_t[P_{t+10}] = 20 \times 1.08^{10} \approx 20 \times 2.1589 \approx 43.18

期待株価は永遠にちょうど年8%で伸び続けなければならず、売却価格の項はどの期間でも20に等しくなります。どの買い手も、後の買い手がもっと高く払ってくれると期待するから払うだけで、その株は誰にも何も払いません。これが、より愚かな買い手の連鎖です。バブルなしの条件は次を要求します：

\lim_{N\to\infty} \frac{\mathsf{E}_t[P_{t+N}]}{(1+r)^N} = 0,

そして、売却価格の項が0に向かう価格は $P_t = 0$ しかありません。この株の価値は$0です。$20で買う人は、売り手にフリーランチを差し出しているのです。

問4 · 2つの期間、2つの率

条件：ある会社は、1年後に$5.40の配当を払い、2年後に清算して、清算配当として1株あたり$60.50を払うと期待されています。その後は何も払われません。リスク調整後の率は、1年の期間について $r_{t+1} = 8\%$ 、2年の期間について $r_{t+2} = 10\%$ です。配当割引モデルから $P_t$ を求めてください。

✅ 正解です！

5.40/1.08 + 60.50/1.10^2 = 5 + 50 = 55

。各配当を、それ自身の期間の率で、その期間の年数分だけ割り引きます。

❌ 2つの期間に同じ率を使っています。 2年目の支払いを8%で割り引くと

60.50/1.08^2 \approx 51.87

で、合計は約$56.87になります。モデルでは、期間ごとにそれぞれの率を使います：

60.50/1.10^2 = 50

。

❌ 累乗が抜けています。 2年目の分母は

(1 + r_{t+2})^2

で、

1 + r_{t+2}

ではありません。

60.50/1.21 = 50

であって、

60.50/1.10 = 55

ではありません。

❌ この率はすでに2年の期間の率です。

r_{t+2}

はスポットレートのように2年の期間に対する率なので、2乗します：

(1.10)^2 = 1.21

。

(1.08)(1.10) = 1.188

と掛けると、10%を2年目だけの率として扱うことになり、約$55.93になります。

❌ 惜しい！ 支払いごとに1つの項を置いて、

P_t = \sum_k \mathsf{E}_t[D_{t+k}]/(1 + r_{t+k})^k

を使います。

解答を見る

清算配当もほかの支払いと同じく1つの支払いで、それ以降の配当はすべて0なので、和の中で0でない項は2つです：

P_t = \frac{\mathsf{E}_t[D_{t+1}]}{1 + r_{t+1}} + \frac{\mathsf{E}_t[D_{t+2}]}{(1 + r_{t+2})^2} = \frac{5.40}{1.08} + \frac{60.50}{(1.10)^2} = 5 + \frac{60.50}{1.21} = 5 + 50 = 55

今日の価格は$55.00です。

正解数：0 / 4