ファイナンス理論 · 第9回 · 動画8 · インタラクティブ教材

配当の形が変わるとき：多段階評価、配当政策、そして資本の価格

I重要な公式

公式名称必要なもの
Pt=∑k=1∞Et[Dt+k](1+rt+k)kP_t = \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\mathsf{E}_t[D_{t+k}]}{(1+r_{t+k})^k}一般的な配当割引モデル将来のすべての時点について、期待配当とリスク調整後の率。配当の道筋については何も仮定しません
V=Cr[1−1(1+r)n]V = \dfrac{C}{r}\left[1 - \dfrac{1}{(1+r)^n}\right]一定額のブロック（年金（アニュイティ））nn 年間のキャッシュフロー CC を率 rr で評価します。価値はブロックの最初の支払いの1期前の時点のものです
P0=V1+d10V2+d30V3P_0 = V_1 + d_{10}V_2 + d_{30}V_3手で組み立てたブロック10年、20年、30年のブロックを、それぞれ年金として評価します。dmd_m は mm 年目の割引係数（ディスカウント・ファクター）です
P0=∑t=1TD0(1+g)t(1+r)t+1(1+r)T⋅DTrP_0 = \displaystyle\sum_{t=1}^{T} \frac{D_0(1+g)^t}{(1+r)^t} + \frac{1}{(1+r)^T}\cdot\frac{D_T}{r}2段階：成長、その後は横ばい動画の例：支払われたばかりの配当$1、r=20%r = 20\%、g=6%g = 6\% が T=7T = 7 年続き、その後は成長ゼロ。株価は約 4.39 + 2.10 = $6.49 です

ポイント：資本コスト、要求収益率、リスク調整後割引率、使用者費用は、1つの数字の4つの呼び名です。それは資本に対する市場の価格であり、決めるのは会社ではなく市場です。

II2段階の株価評価

株価は、第1段階の配当の割引価値に、TT 年目の時点で評価して今日まで割り引いた第2段階の永久年金を足したものです。

💡 第2段階の1ドル1ドルが、7年より先の予想に依存しています。そして動画が示す予想の目安は厳しいものです。優れたアナリストでも、当たるのは約52%なのです。

IIIブロックで組み立てる一般的な公式

一定額の3つのブロックをそれぞれ年金として評価し、0年目まで割り引くと、1項ずつの和がそのまま再現されます。

💡 キャッシュフロー、割引率、割引係数の決め方は当教材によるものです。動画は dmd_m を特定していません。ここでは各年をその年のブロックの率で割り引くので、d10=1/(1+r1)10d_{10} = 1/(1+r_1)^{10}、d30=d10/(1+r2)20d_{30} = d_{10}/(1+r_2)^{20} となります。

IV信用リスクの価格

1ベーシスポイント（bp）は金額の年0.01%なので、700 bp の保険には毎年負債の7%がかかります。

V確認クイズ

問1 · 1つのブロックを評価する

条件：ある配当のブロックは、20年間、毎年1株あたり$2を支払います。このブロックの率は r=10%r = 10\% です。最初の支払いの1期前の時点でのブロックの価値を求めてください。

✅ 正解です！ 年金は、価値 C/r=20C/r = 20 の永久年金から、20年目より後に始まる部分を引いたものです。
❌ 惜しい！ $2 × 20 は、支払いを1つも割り引かずに足しています。
❌ 惜しい！ C/r=20C/r = 20 は永久年金です。このブロックは20年で終わるので、支払われない分の価値を引きます。
❌ 惜しい！ Cr⋅1(1+r)n\frac{C}{r}\cdot\frac{1}{(1+r)^n} は20年目より後の支払いの価値で、かっこの中で取り除かれる部分です。ブロックそのものではありません。
❌ 惜しい！ V=Cr[1−1(1+r)n]V = \frac{C}{r}\left[1 - \frac{1}{(1+r)^n}\right] を使います。C=2C = 2、r=0.10r = 0.10、n=20n = 20 です。
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C=2C = 2、r=0.10r = 0.10、n=20n = 20 とすると：

V=20.10[1−1(1.10)20]=20 [1−0.14864]≈17.03V = \frac{2}{0.10}\left[1 - \frac{1}{(1.10)^{20}}\right] = 20\,[1 - 0.14864] \approx 17.03

ここで (1.10)20≈6.7275(1.10)^{20} \approx 6.7275、1/6.7275≈0.148641/6.7275 \approx 0.14864 です。このブロックの価値は、最初の支払いの1年前の時点で約$17.03です。多段階評価の中でもっと後に置かれるなら、この価値にその時点の割引係数をかけます。

問2 · 成長、その後は横ばい

条件：ある会社は1株あたり$2の配当を支払ったばかりです。配当は3年間、年 5%5\% で成長し、その後は3年目の水準のまま永久に続きます。割引率は r=10%r = 10\% です。今日の株価を求めてください。

✅ 正解です！ 横ばいの永久年金は、3年目の時点では23.15の価値がありますが、今日の価値は約17.39にすぎません。
❌ 惜しい！ D1/(r−g)=2.10/0.05D_1/(r-g) = 2.10/0.05 は5%の成長が永久に続くと仮定しています。ここでは成長は3年目で止まるので、定率成長の近道ではもうこの会社を描けません。
❌ 惜しい！ D3/r=23.15D_3/r = 23.15 は 3年目の時点での第2段階の価値です。第1段階に足す前に、3年分割り引かなければなりません。
❌ 惜しい！ D3/rD_3/r は、4年目からの一定額の支払いを、その最初の支払いの1年前、つまり3年目の時点で評価したものです。ですから (1.10)3(1.10)^3 で割り引きます。(1.10)4(1.10)^4 ではありません。
❌ 惜しい！ 成長する3回の配当を割り引き、3年分割り引いた3年目時点の永久年金の価値を足します。
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第1段階：D1=2.10D_1 = 2.10、D2=2.205D_2 = 2.205、D3=2.31525D_3 = 2.31525。

2.101.10+2.2051.21+2.315251.331≈1.9091+1.8223+1.7395=5.4709\frac{2.10}{1.10} + \frac{2.205}{1.21} + \frac{2.31525}{1.331} \approx 1.9091 + 1.8223 + 1.7395 = 5.4709

第2段階：配当は4年目から D3D_3 のままなので、永久年金です。3年目の時点での価値は

D3r=2.315250.10=23.1525,23.1525(1.10)3=23.15251.331≈17.3948\frac{D_3}{r} = \frac{2.31525}{0.10} = 23.1525, \qquad \frac{23.1525}{(1.10)^3} = \frac{23.1525}{1.331} \approx 17.3948

株価：5.4709+17.3948=22.86575.4709 + 17.3948 = 22.8657 なので、株価は約$22.87です。そのおよそ4分の3（22.87のうち17.39）は、3年目より後の配当から来ています。

問3 · 成長する第2段階

条件：動画の会社（支払われたばかりの配当$1、r=20%r = 20\%、1年目から7年目まで g=6%g = 6\%）で、第1段階の価値は約4.3942です。ここで、8年目からは配当が年 g2=2%g_2 = 2\% で永久に成長するとします。今日の株価を求めてください。

✅ 正解です！ 第2段階の2%の成長で、株価は約$6.49から約$6.77に上がります。その上昇はすべて、最も遠い予想から来ています。
❌ 惜しい！ 7年目の時点で評価する成長永久年金では、D7D_7 ではなく次の配当 D8=D7(1.02)D_8 = D_7(1.02) を r−g2r - g_2 で割ります。
❌ 惜しい！ 8.52は7年目の時点での第2段階の価値です。第1段階に足す前に (1.2)7≈3.58(1.2)^7 \approx 3.58 で割らなければなりません。
❌ 惜しい！ D8/(r−g2)D_8/(r - g_2) は最初の支払いの1期前、つまり7年目の時点の価値なので、割引は (1.2)7(1.2)^7 です。(1.2)8(1.2)^8 ではありません。
❌ 惜しい！ 第2段階を7年目の時点で D8/(r−g2)D_8/(r - g_2) として評価し、7年分割り引いてから第1段階を足します。
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D7=(1.06)7≈1.50363D_7 = (1.06)^7 \approx 1.50363 なので、D8=1.50363×1.02≈1.5337D_8 = 1.50363 \times 1.02 \approx 1.5337 です。7年目の時点で、第2段階は成長永久年金（ゴードン成長モデルの形）です：

D8r−g2=1.53370.20−0.02=1.53370.18≈8.5206\frac{D_8}{r - g_2} = \frac{1.5337}{0.20 - 0.02} = \frac{1.5337}{0.18} \approx 8.5206 8.5206(1.2)7=8.52063.5832≈2.3779\frac{8.5206}{(1.2)^7} = \frac{8.5206}{3.5832} \approx 2.3779

株価：4.3942+2.3779=6.77214.3942 + 2.3779 = 6.7721 で、約$6.77です。動画の横ばいの第2段階では 4.3942+2.0982=6.49244.3942 + 2.0982 = 6.4924 です。増えた0.28は、すべて7年目より後の配当から来ています。

問4 · 1回限りか、永久か

条件：ある会社は1株あたり$2の通常配当を支払っていて、率は r=10%r = 10\% です。事業部を売却したあと、1年後に支払う1株あたり$5の特別配当を発表します。そのあとは通常の配当政策に戻ります。

特別配当は、配当割引の和にいくら加えますか？

代わりに、来年から通常配当を永久に$0.50増やすと、いくら加わりますか？

✅ 正解です！ 永久に続く$0.50の増配は、1回限りの$5より大きな価値を加えます。通常配当の水準は和の将来のすべての項に入るからです。だからこそ取締役会は、新しい水準を維持できると確信したときにしか増配しません。
❌ 惜しい！ 5/0.105/0.10 は、毎年永久に支払われる$5の価値です。特別配当ははっきりと1回限りで、和の中の1つの項にすぎません。
❌ 惜しい！ $5は1年後に支払われるので、和には 5/1.105/1.10 として入ります。
❌ 惜しい！ 5/(1.10)25/(1.10)^2 は支払いを2年分割り引いています。支払いは1年後なので、割り引くのは1回です：5/1.105/1.10。
❌ 惜しい！ $0.50は来年の追加の支払いだけで、しかも割り引いていません。永久の増配は将来のすべての配当に$0.50を加えるので、今日の価値が 0.50/0.100.50/0.10 の永久年金です。
❌ 惜しい！ 0.50/1.100.50/1.10 は来年の追加の$0.50だけを数えています。永久の増配は将来のすべての配当に$0.50を加えます。
❌ 惜しい！ 2.50/0.10=252.50/0.10 = 25 は新しい配当の流列全体の価値です。問われているのは、増配が元の$2の流列にいくら加えるかです。
❌ 惜しい！ 1年後の$5の支払い1回は、1つの項です：5/(1.10)15/(1.10)^1。
❌ 惜しい！ 来年から毎年追加される$0.50は永久年金です：0.50/0.100.50/0.10。
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一般的な配当割引モデルは、1回限りの突出も含め、どんな配当の道筋でも評価できます。特別配当は、追加される1つの項です：

51.10≈4.55\frac{5}{1.10} \approx 4.55

永久の増配は、1年目からのすべての項に$0.50を加えます。これは定額の永久年金で、最初の支払いの1期前、つまり今日の時点で評価します：

0.500.10=5.00\frac{0.50}{0.10} = 5.00

1回限りの$5が加えるのは約$4.55、$0.50の増配が加えるのは$5.00です。通常配当の水準が変わると予想の道筋全体が動きます。だからこそ配当はめったに変わらず、減配はその会社についての悪い知らせと受け取られるのです。

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