線形代数 · 第1回 · 動画1 · インタラクティブ教材

連立一次方程式の三つの見方：行の見方・列の見方・行列の形

I重要な公式

公式	名称	説明
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$	行列の形	係数行列に未知数のベクトルをかけると、右辺になる
$x\,\mathbf{col}_1 + y\,\mathbf{col}_2 = \mathbf{b}$	列の見方	$A$ の列の一次結合が、目標の $\mathbf{b}$ に等しくなる
$c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n$	一次結合（線形結合）	ベクトルにスカラーをかけて、すべてたし合わせる — 線形代数の中心となる操作

II可視化1 — 行の見方

方程式の一つ一つが直線を表します。解は、 $2x - y = 0$ と $-x + 2y = 3$ が交わるただ1つの点です。

x 0 y 0

III可視化2 — 列の見方

列 $(2, -1)$ と $(-1, 2)$ をそれぞれ何倍し、矢印の先に次の矢印の根元をつなげれば、目標の $\mathbf{b} = (0, 3)$ に届くでしょうか。

x（1列目） 0 y（2列目） 0

💡 この方法なら、どの目標にも届きます。ただし、2本の列が同じ直線に沿って並ぶ場合は別です。その場合は可視化3で調べます。

IV可視化3 — 届く範囲と張る空間

2本の列の一次結合が平面全体を埋め尽くすのはどんなときで、1本の直線につぶれてしまうのはどんなときでしょうか。

2列目の角度 115°

💡 チャレンジ：サンプルの点が1本の直線につぶれるまで、2列目を回転させてみましょう。そのとき、ほとんどの目標に対して $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ は解なしになります。

V確認クイズ

問1

2つの未知数（ $x$ と $y$ ）についての2本の連立一次方程式を「行の見方」で見るとき、2次元では各方程式は幾何学的に何を表しますか。

✅ 正解です！ 未知数が2つの一次方程式は、どれも1本の直線を描きます。解は、それらの直線が交わる点です。

❌ 惜しい！ $(x, y)$ の組のうち、 $2x - y = 0$ のような1つの方程式を満たすものをすべて考えてみましょう。それらはどんな図形をつくりますか。

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解答

2次元（未知数が2つ）では、各一次方程式は $xy$ 平面上の直線を定めます。

今回の連立方程式では：

$2x - y = 0$ は直線 $y = 2x$
$-x + 2y = 3$ は直線 $y = \frac{x + 3}{2}$

連立方程式の解は、これらの直線の交点 $(1, 2)$ です。

注：3次元（未知数が3つ）では、各方程式は直線ではなく平面を定めます。

問2

列の見方では、今回の連立方程式を一次結合として書き直します：

$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}$

この方程式を満たす $x$ と $y$ の値はどれですか。

✅ 正解です！ 1列目を1つ分、2列目を2つ分たすと、ちょうど目標に届きます。

❌ 惜しい！ 選んだ値を代入してみましょう。 $x \cdot [2, -1]^T + y \cdot [-1, 2]^T$ を計算して、 $[0, 3]^T$ になるか確かめてください。

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解答

$x = 1, \; y = 2$ を確かめます：

$1 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix} \; \checkmark$

ほかの選択肢はなぜ違うのでしょうか。

$x=2, y=1$ のとき： $\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$
$x=0, y=\tfrac{3}{2}$ のとき： $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-3/2\\3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3/2\\3\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$
$x=3, y=0$ のとき： $\begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\\-3\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$

問3

正しいか誤りか：行列とベクトルの積 $A\mathbf{x}$ は、 $A$ の行の一次結合を、 $\mathbf{x}$ の成分を重みとして計算したものである。

✅ 正解です！ $A\mathbf{x}$ は、 $A$ の行ではなく列の一次結合です。 $\mathbf{x}$ の各成分が、対応する列を何倍するかを決めます。

❌ 惜しい！ $A\mathbf{x}$ がどう分解されるかをよく見てください。 $A$ の各列に、 $\mathbf{x}$ の対応する成分がかかります。

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解答：誤り

$A\mathbf{x}$ は、 $A$ の（行ではなく）列の一次結合で、その重みは $\mathbf{x}$ の成分です：

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x \underbrace{\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}}_{\text{1列目}} + \; y \underbrace{\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}}_{\text{2列目}}$

これは、この動画の中心となる洞察の一つです：「行列にベクトルをかけるとき、皆さんは列を組み合わせています。」行列の形 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ は、列の見方をそのままコンパクトに書いたものなのです。

問4

$2 \times 2$ 行列 $A$ の2本の列が同じ方向を向いている（平行である）とします。連立方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ について何が言えますか。

✅ 正解です！ 平行な（従属な）列が張るのは1本の直線だけなので、 $\mathbb{R}^2$ のほとんどの目標には届きません。

❌ 惜しい！ 可視化3を思い出してください。列が平行なとき、その一次結合が覆うのは1本の直線だけで、平面全体ではありません。

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解答：届かないベクトル $\mathbf{b}$ が $\mathbb{R}^2$ の中にあります。

2本の列が同じ方向を向いているとき、一次結合

$x\,\mathbf{col}_1 + y\,\mathbf{col}_2$

はどれも、原点を通る1本の直線の上にあります（2本の列は平行なので、どんな重み付きの和もその方向にとどまります）。

直線は、 $\mathbb{R}^2$ の1次元の部分集合にすぎません。ほとんどの目標のベクトル $\mathbf{b}$ はその直線の上にないので、届きません。そうした $\mathbf{b}$ に対して、連立方程式は解なしです。

「常にちょうど1つの解をもつ」は誤りです。届く $\mathbf{b}$ に対しては、解が無数にあるからです。
「常に無数の解をもつ」も誤りです。届かない目標を見落としているからです。

これが一次従属（線形従属）という概念です：従属な列では、 $\mathbb{R}^2$ 全体を張ることはできません。

正解数：0 / 4