線形代数 · 第1回 · 動画4 · インタラクティブ教材

行列とベクトルの積：Ax を計算する2つの方法

I重要な公式

公式	名称	説明
$(Ax)_i = \text{row}_i(A) \cdot x$	行の方法（内積の方法）	$Ax$ の各成分は、 $A$ の行と $x$ の内積
$Ax = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots$	列の方法（一次結合の方法）	$Ax$ は $A$ の列の重み付きの和
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$	内積（ドット積）	対応する成分どうしをかけて、すべてたし合わせる
$A$ の列空間 $= \{Ax : x \in \mathbb{R}^n\}$	列空間	ありうる出力 $Ax$ 全体の集合

II可視化1 — 2通りのまとめ方、同じ答え

同じ計算を、行の方法は横にまとめ、列の方法は縦にまとめます。結果はまったく同じです。

a₁₁ 2 a₁₂ 5 a₂₁ 1 a₂₂ 3 x₁ 1 x₂ 2

行の方法 · 内積

列の方法 · 一次結合

III可視化2 — 列から Ax を組み立てる

$Ax$ は、 $A$ の各列をその重み $x_1, x_2$ で伸び縮みさせ、先端に次の矢印の根元をつなげてたしたものです。

x₁（col₁ の重み） 1 x₂（col₂ の重み） 2

💡 次への橋渡し：この2本の列は平行ではないので、重みをうまく選べば平面上のどの点にも届きます。この届く点全体の集合こそ、次に調べる列空間です。

IV可視化3 — 列空間

出力 $Ax$ は、 $A$ の列が張る空間を埋め尽くします。列が独立なら平面全体、平行なら直線です。

col₁ x 2 col₁ y 1 col₂ x 5 col₂ y 3

V確認クイズ

問1 · 行の方法による計算

行の方法（内積の方法）を使って、 $Ax$ の第一成分を計算してください。ただし、

$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

✅ 正解です！ 1行目 · x = 3(2) + (−2)(5) = 6 − 10 = −4 です。

❌ 惜しい！ A の1行目を使います。3 に 2 を、(−2) に 5 をかけて、その積をたしましょう。

解答を見る

解答：

$Ax$ の第一成分は、 $A$ の1行目と $x$ の内積です。

$\text{Row 1} \cdot x = (3)(2) + (-2)(5) = 6 + (-10) = 6 - 10 = -4$

答えは $\mathbf{-4}$ です。

よくある間違い：

$3(2) + 2(5) = 16$ と計算して 16 とする（ $-2$ の負の符号を忘れている）
$3(2) + 1(5) = 11$ と計算して 11 とする（異なる行の成分を混ぜている）

問2 · 列の方法による式

列の方法（一次結合の方法）を使うとき、次の場合の $Ax$ を正しく表す式はどれですか。

$A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

✅ 正解です！ A の各列に、x の対応する成分で重みをつけます。

❌ 惜しい！ まず A の列（縦の並び）を取り出し、それに x の成分で重みをつけるのでしたね。

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解答：

列の方法では、次のように考えます。

$Ax = x_1 \cdot (\text{col 1}) + x_2 \cdot (\text{col 2})$

$A$ の列は、縦の並びです。

1列目 = $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$
2列目 = $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$x_1 = 2$ 、 $x_2 = 5$ なので、

$Ax = 2 \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

まとめて書くと 2 · [3, 4] + 5 · [−2, 1]

ほかの選択肢が誤りである理由：

「2 · [3, −2] + 5 · [4, 1]」は、列ではなく行を使っている
「3 · [2, 5] + (−2) · [2, 5]」は、そもそも A の列を取り出していない
「[3(2)+(−2)(5), 4(2)+1(5)]」は結果を成分ごとに計算している。これは行の方法

問3 · 列空間（正誤問題）

正しいか誤りか： $2 \times 2$ 行列 $A$ の2本の列が同じ方向を向いている（一方が他方の定数倍である）とき、 $A$ の列空間は $\mathbb{R}^2$ 全体である。

✅ 正解です！ 平行な（従属な）列から作れるのは、1本の直線上のベクトルだけです。R² 全体にはなりません。

❌ 惜しい！ 平行な2本のベクトルを組み合わせると何が起こるか考えてみましょう。あらゆる方向に届くでしょうか。

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解答：誤り。

一方の列が他方の定数倍なら（たとえば $\text{col}_2 = k \cdot \text{col}_1$ ）、どんな一次結合も

$x_1 \cdot \text{col}_1 + x_2 \cdot \text{col}_2 = x_1 \cdot \text{col}_1 + x_2 k \cdot \text{col}_1 = (x_1 + k x_2) \cdot \text{col}_1$

となり、 $\text{col}_1$ の定数倍にすぎません。列空間は原点を通る直線であり、 $\mathbb{R}^2$ 全体ではありません。

$\mathbb{R}^2$ 全体を埋め尽くすには、2本の列が一次独立、つまり本当に異なる方向を向いている必要があります。上の可視化3で列を平行にして、確かめてみましょう。

問4 · Ax = b の解釈

方程式 $Ax = b$ は、列の方法を使って捉え直すことができます。 $Ax = b$ が本当に問うていることを最もよく表しているのはどれですか。

✅ 正解です！ 方程式 Ax = b は、A の列から b を作れるかどうかを問うています。これが列の方法の中心となる考え方です。

❌ 惜しい！ 列の方法によれば、Ax は常に A の列の一次結合です。つまり Ax = b は、b がそうした一次結合の1つかどうかを問うているのです。

解答を見る

解答：「b は A の列の一次結合か？」

列の方法では、 $Ax = b$ を次のように書き直します。

$x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n = b$

これが問うているのは、重み $x_1, x_2, \ldots, x_n$ をうまく選んで、 $A$ の列の一次結合を $b$ に等しくできるか、ということです。

言い換えると、 $b$ は $A$ の列空間に入っているか？

この捉え直しこそ、この動画の重要な洞察です。この先の線形代数のすべてを動かしていきます。

連立方程式を解く：正しい重み $x$ を見つけること
解の存在： $b$ は列空間に入っているか
線形変換： $A$ は $x$ を、自分の列の一次結合へ写す

$Ax$ を見るたびに、こう考えてください。自分はどんな A の列の組み合わせを作っているのだろう？

正解数：0 / 4