線形代数 · 第10回 · 動画1 · インタラクティブ教材

一つの行列、四つの世界：階数が明かす行列の隠れた構造

I重要な公式

部分空間	記号	属する空間	次元
列空間	$C(A)$	$\mathbb{R}^m$	$r$
零空間	$N(A)$	$\mathbb{R}^n$	$n - r$
行空間	$C(A^T)$	$\mathbb{R}^n$	$r$
左零空間	$N(A^T)$	$\mathbb{R}^m$	$m - r$

階数（ランク） $r$ = 行簡約したあとのピボットの個数。つねに $r \leq \min(m, n)$ が成り立ちます。

次元を数える： $\mathbb{R}^n$ では $r + (n - r) = n$ 。 $\mathbb{R}^m$ では $r + (m - r) = m$ 。

II可視化1 — 階数は各空間をどう分けるか

階数 $r$ は、 $\mathbb{R}^n$ を行空間 $\oplus$ 零空間に、 $\mathbb{R}^m$ を列空間 $\oplus$ 左零空間に切り分けます。

行数 m 3 列数 n 3 階数 r 2

💡 チャレンジ： 2つの零空間が両方とも同時に消える（零ベクトルだけになる）には、 $m$ 、 $n$ 、 $r$ がどんな条件を満たせばよいでしょうか。

III可視化2 — 行簡約から階数を読み取る

行簡約をすると、階数がピボットの個数として現れます。そして、このたった1つの数 $r$ が、4つの部分空間の次元をすべて決めます。

行列

行列 A

階段形 U · 緑のマスがピボット

💡 チャレンジ： 一覧の中で、左零空間が自明（ $\dim 0$ ）になる行列はどれでしょうか。また、そうなるには $r$ がいくつでなければならないでしょうか。

IV可視化3 — 列のレシピとしての零空間

零空間のベクトル $(1,-2,1)^T$ は、列を組み合わせるレシピです。 $c_1 - 2c_2 + c_3 = \mathbf{0}$ なので、 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ はどんなスカラー $t$ に対しても成り立ちます。

倍率 t 1

A · x （x = t·(1, −2, 1)ᵀ）

どの行も打ち消し合って 0 になる

V確認クイズ

問1

行列 $A$ は $5 \times 7$ で、階数は $r = 3$ です。零空間 $N(A)$ の次元はいくつですか。

✅ 正解です！ dim N(A) = n − r = 7 − 3 = 4 です。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう：dim N(A) = n − r です。ここで n は行の数（5）ではなく、列の数（7）です。

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解答：

$N(A)$ は $\mathbb{R}^n$ の中にあります。ここで $n = 7$ は列の数です。

$\dim N(A) = n - r = 7 - 3 = 4$

行簡約をすると $n - r = 4$ 個の自由変数が出てきて、そのそれぞれが零空間の基底ベクトルを1つずつ与えます。

問2

$m \times n$ 行列 $A$ について、列空間 $C(A)$ と零空間 $N(A)$ は、それぞれどの空間の中にありますか。

✅ 正解です！ 列空間は R^m（出力側）に、零空間は R^n（入力側）にあります。

❌ 惜しい！ 考えてみましょう：列は m 個の成分をもつ → C(A) ⊆ R^m。Ax = 0 のベクトル x は n 個の成分をもつ → N(A) ⊆ R^n。

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解答：

列空間 $C(A)$ ：各列は $m$ 個の成分をもつので、 $C(A) \subseteq \mathbb{R}^m$ です（ $A\mathbf{x}$ が行き着く出力空間）。
零空間 $N(A)$ ： $\mathbf{x}$ のうち、 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすもの全体です。 $\mathbf{x}$ は $n$ 個の成分をもつので、 $N(A) \subseteq \mathbb{R}^n$ です（入力空間）。

$m \neq n$ のときは、2つは異なる全体空間に属します。

問3

階数 3 の $6 \times 4$ 行列 $B$ について、4つの基本部分空間の次元はそれぞれいくつですか。

（順に dim C(B)、dim N(B)、dim C(B^T)、dim N(B^T)）

✅ 正解です！ 次元の和がきちんと合います。R⁴ では 3 + 1 = 4、R⁶ では 3 + 3 = 6 です。

❌ 惜しい！ 注意：dim N(B) = n − r では列の数（4）を、dim N(Bᵀ) = m − r では行の数（6）を使います。

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解答：

$B$ は $6 \times 4$ なので、 $m = 6$ 、 $n = 4$ 、 $r = 3$ です。

部分空間	公式	次元
$C(B)$	$r$	3
$N(B)$	$n - r = 4 - 3$	1
$C(B^T)$	$r$	3
$N(B^T)$	$m - r = 6 - 3$	3

検算： $\mathbb{R}^4$ では $3 + 1 = 4$ ✓ $\mathbb{R}^6$ では $3 + 3 = 6$ ✓

よくある落とし穴は「3, 3, 3, 1」という選択肢で、2つの零空間の次元を取り違えています。 $N(A)$ には $n$ を、 $N(A^T)$ には $m$ を使うことを覚えておきましょう。

問4

正しいか誤りか：行簡約は行列の行空間を保つ（階段形は元の行列と同じ行空間をもつ）。

✅ 正解です！ 行基本変形のあとも、新しい行はどれも元の行の張る空間の中にあるので、行空間は変わりません。

❌ 惜しい！ 行基本変形はどれも、ある行を今ある行の一次結合で置き換えます。張る空間は変わりません。

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解答：正しい

行基本変形はどれも、ある行を今ある行の一次結合で置き換えます。新しい行の組は元の行の組と同じ空間を張るので、行空間は変わりません。

だからこそ、階段形の 0 でない行は、元の行列の行空間の基底としてそのまま使えるのです。

⚠️ 重要な対比： 行簡約は列空間を保ちません。 $C(A)$ の基底を求めるには、階段形でピボット列を見つけてから、それに対応する列を元の行列 $A$ から取り出す必要があります。

正解数：0 / 4