線形代数 · 第11回 · 動画2 · インタラクティブ教材

微分方程式は線形代数だった ― 一般解は基底による展開

I重要な公式

公式	名称	説明
$L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = c_1 L[y_1] + c_2 L[y_2]$	$L$ の線形性	解の一次結合もまた解である
$\dim(\ker L) = n$	解空間の次元の定理	$n$ 階の同次線形常微分方程式の解空間は $n$ 次元
$W(y_1, y_2) = y_1 y_2' - y_2 y_1'$	ロンスキアン	0 でない $\Rightarrow$ 一次独立
$e^{ix} = \cos x + i\sin x$	オイラーの公式	$\{\cos x, \sin x\}$ と $\{e^{ix}, e^{-ix}\}$ の間の基底変換

II可視化1 — 重ね合わせ

基底となる2つの解の一次結合 $y = c_1\cos x + c_2\sin x$ は、どれもやはり $y'' + y = 0$ の解です。これが重ね合わせの原理です。

c₁ 1 c₂ 0.5

III可視化2 — 座標としての初期条件

$y'' + y = 0$ では、初期値 $\big(y(0),\,y'(0)\big) = (a,b)$ が、そのまま解の座標 $(c_1,c_2)$ （基底 $\{\cos x,\sin x\}$ での座標）になります。

y(0) = a 1 y′(0) = b 0

💡 2つの条件で2つの座標が決まるので、解空間は 2 次元です。次の可視化では、このパターンを一般化します。

IV可視化3 — 階数 = 次元

$n$ 階の同次線形常微分方程式の解空間は $n$ 次元です。方程式の階数が、一次独立な基底関数の個数を決めます。

方程式

V確認クイズ

問1

$y'' + y = 0$ の解空間の次元はいくつですか。

✅ 正解です！ 二階の同次線形常微分方程式の解空間は 2 次元です。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう：解空間の次元は、常微分方程式の階数に等しくなります。

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解答：

方程式 $y'' + y = 0$ は二階の同次線形常微分方程式です。解空間の次元の定理により、解空間の次元は階数に等しくなります：

$\text{階数} = 2 \;\Longrightarrow\; \dim(\text{解空間}) = 2$

基底は $\{\cos x, \sin x\}$ で、ちょうど2つの一次独立な関数からなります。一般解 $y = c_1\cos x + c_2\sin x$ には任意定数が2つあり、基底ベクトル1つにつき1つずつ対応しています。

問2

$y_1$ と $y_2$ がどちらも同次線形常微分方程式の解であるとき、次のうち必ず解になるのはどれですか。

✅ 正解です！ 解の一次結合は、つねに解になります。これが重ね合わせの原理で、ベクトル空間を特徴づける性質そのものです。

❌ 惜しい！ 解であるという性質を保つのは、線形な操作（加法とスカラー倍）だけです。積、商、べき乗は非線形です。

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解答：

解の集合はベクトル空間なので、一次結合について閉じています：

$L[c_1 y_1 + c_2 y_2] = c_1 L[y_1] + c_2 L[y_2] = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0$

したがって $3y_1 - 2y_2$ （ $c_1 = 3$ 、 $c_2 = -2$ の場合）は、つねに解です。

積、商、べき乗は非線形な操作なので、一般には解であることを保ちません。

反例： $\cos x$ と $\sin x$ はどちらも $y'' + y = 0$ の解ですが、その積 $\cos x \cdot \sin x = \tfrac{1}{2}\sin(2x)$ は解ではありません。実際、 $(\tfrac{1}{2}\sin 2x)'' + \tfrac{1}{2}\sin 2x = -2\sin 2x + \tfrac{1}{2}\sin 2x \neq 0$ です。

問3

正しいか誤りか：集合 $\{e^{ix},\; e^{-ix}\}$ は、 $y'' + y = 0$ の解空間の正当な基底である。

✅ 正解です！ どちらの関数も常微分方程式の解で、しかも一次独立です。同じ 2 次元の空間の、正当な（複素数値の）基底になります。

❌ 惜しい！ e^(ix) を y'' + y = 0 に代入してみましょう。i² = −1 なので二階導関数は −e^(ix) となり、和は 0 になります。

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解答：正しい

$e^{ix}$ と $e^{-ix}$ は、どちらも $y'' + y = 0$ の解です：

$y = e^{ix}$ ： $\;y'' = i^2 e^{ix} = -e^{ix}$ なので $y'' + y = -e^{ix} + e^{ix} = 0$ ✓
$y = e^{-ix}$ ： $\;y'' = (-i)^2 e^{-ix} = -e^{-ix}$ なので $y'' + y = -e^{-ix} + e^{-ix} = 0$ ✓

この2つは一次独立（どちらも他方の定数倍ではない）なので、 $\{\cos x, \sin x\}$ が張るのと同じ 2 次元の解空間の基底になります。

オイラーの公式から、この2つの基底の間の基底変換行列が得られます：

$\cos x = \tfrac{1}{2}e^{ix} + \tfrac{1}{2}e^{-ix}, \qquad \sin x = \tfrac{1}{2i}e^{ix} - \tfrac{1}{2i}e^{-ix}$

問4

常微分方程式 $y''' - y' = 0$ は三階です。その解空間の基底になっているのは、次のうちどれですか。

✅ 正解です！ 特性方程式の根は 0, 1, −1 で、基底 {1, eˣ, e⁻ˣ} が得られます。三階の方程式に対して、関数が3つです。

❌ 惜しい！ 特性方程式 r³ − r = 0 を r でくくって解き、どの関数が実際に常微分方程式を満たすか確かめましょう。

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解答：

特性方程式を因数分解します：

$r^3 - r = 0 \;\Longrightarrow\; r(r-1)(r+1) = 0 \;\Longrightarrow\; r = 0,\; 1,\; -1$

各根から、基底関数が1つずつ得られます：

根	基底関数	確認
$r = 0$	$y = e^{0 \cdot x} = 1$	$y''' - y' = 0 - 0 = 0$ ✓
$r = 1$	$y = e^{x}$	$y''' - y' = e^x - e^x = 0$ ✓
$r = -1$	$y = e^{-x}$	$y''' - y' = -e^{-x} - (-e^{-x}) = 0$ ✓

したがって基底は $\{1,\; e^x,\; e^{-x}\}$ です。三階の方程式に対して、一次独立な解が3つあります。

ほかの選択肢が基底にならない理由

$\{1, x, x^2\}$ : $y = x^2 \Rightarrow y''' - y' = 0 - 2x \neq 0$ ✗
$\{e^x, e^{-x}, e^{2x}\}$ : $y = e^{2x} \Rightarrow y''' - y' = 8e^{2x} - 2e^{2x} = 6e^{2x} \neq 0$ ✗
$\{\cos x, \sin x, e^x\}$ : $y = \cos x \Rightarrow y''' - y' = \sin x + \sin x = 2\sin x \neq 0$ ✗

正解数：0 / 4