線形代数 · 第11回 · 動画3 · インタラクティブ教材

行列は原子でできている ― 階数一の行列という部品

I重要な公式

公式	名称	説明
$A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$	外積	列 $\times$ 行 $\to$ 行列
$A_{ij} = u_i \cdot v_j$	成分の公式	各成分は、対応する成分どうしの積
$A = \sum_{k=1}^{r} \mathbf{u}_k \mathbf{v}_k^T$	階数一の行列への分解	階数 $r$ の行列は、 $r$ 個の階数一の行列の和
$\text{rank}(A + B) \leq \text{rank}(A) + \text{rank}(B)$	階数の不等式	和の階数は、階数の和を超えない

II可視化1 — 外積の掛け算表

$A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ のどの成分も、ただ1つの積 $A_{ij} = u_i \times v_j$ です。

u₁ 1 u₂ 2 v₁ 1 v₂ 4 v₃ 5

$A$ のどの行も $\mathbf{v}^T$ の定数倍で、どの列も $\mathbf{u}$ の定数倍です。この「方向が1つしかない」という構造こそが、階数が 1 であるということの意味です。

III可視化2 — 列も行も1本の直線に収まる

$A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ では、どの列も $\mathbf{u}$ の定数倍で、どの行も $\mathbf{v}$ の定数倍です。

u₁ 1 u₂ 2 v₁ 3 v₂ 1

$\mathbf{u}$ か $\mathbf{v}$ を原点まで動かすと、 $A$ は零行列になります。階数は $0$ になり、2本の直線はどちらも消えます。

IV可視化3 — 階数がそのまま足し算になるのはいつか？

階数一の行列を2つ足すと、 $\text{rank}(M_1 + M_2)$ は上限の $2$ に届くこともあれば、それを下回ることもあります。

和の階数は $0$ 、 $1$ 、 $2$ のどれにもなりうるので、階数一の行列は加法について閉じていません。したがって、部分空間にはなりません。

V確認クイズ

問1 · 外積の成分

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ 、 $\mathbf{v}^T = \begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix}$ のとき、行列 $A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ の $(2, 1)$ 成分はどれでしょうか？

✅ 正解です！ (2,1) 成分 = u₂ · v₁ = (−1)(2) = −2 です。

❌ 惜しい！ (i,j) 成分 = uᵢ × vⱼ でしたね。(2,1) の位置には、u₂ = −1 と v₁ = 2 を使います。

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解答：

$A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T$ の $(i, j)$ 成分は $u_i \cdot v_j$ です。

$(2, 1)$ 成分は $u_2 \cdot v_1 = (-1) \times 2 = -2$ です。

行列全体は次のとおりです。 $A = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \times 2 & 3 \times 4 \\ (-1) \times 2 & (-1) \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 12 \\ -2 & -4 \end{bmatrix}$

よくある間違い：

6 を選んだなら、成分 $(1,1) = u_1 \cdot v_1$ を使っています — 行が違います
12 を選んだなら、成分 $(1,2) = u_1 \cdot v_2$ を使っています — 行も列も違います
-4 を選んだなら、成分 $(2,2) = u_2 \cdot v_2$ を使っています — 列が違います

問2 · 部分空間になるか

正しいか誤りか： $2 \times 2$ の階数一の行列全体の集合は、 $2 \times 2$ 行列全体のなすベクトル空間の部分空間である。

✅ 正解です！ 階数一の行列は加法について閉じていないので、部分空間にはなりえません。

❌ 惜しい！ [[1,0],[0,0]] と [[0,0],[0,1]] を足してみましょう。和の階数はいくつでしょうか？

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解答：誤り

階数一の行列は加法について閉じていません。部分空間であるためには、この性質が欠かせません。

反例：

$M_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \;\text{（階数 1）}, \qquad M_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \;\text{（階数 1）}$

$M_1 + M_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2 \;\text{（階数 1 ではなく階数 2！）}$

階数一の行列2つの和は階数 2 になりうるので、この集合は、部分空間に必要な「加法について閉じている」という条件を満たしません。

（補足：この集合には零行列も含まれません。零行列の階数は 1 ではなく 0 だからです。）

問3 · 打ち消し合ったあとの階数

行列 $A$ の階数は 3 です。 $B = -A$ とします。 $\text{rank}(A + B)$ はいくつでしょうか？

✅ 正解です！ A + (−A) = 0 は零行列で、階数は 0 です。階数の不等式のもとでは、大きな打ち消し合いが起こりえます。

❌ 惜しい！ A + (−A) は何になるでしょうか？そして、その行列の階数はいくつでしょうか？

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解答：

$A + B = A + (-A) = \mathbf{0}$

零行列の階数は 0 です。0 でない列が1本もないからです。

この例から、階数の不等式では、左辺が右辺を大きく下回ることもあると分かります。

$\text{rank}(A + B) = 0 \;\ll\; \text{rank}(A) + \text{rank}(B) = 3 + 3 = 6$

上限としては階数 6 まで許されますが、実際の階数は 0 です。 $B = -A$ なら、 $A$ がどんな行列であっても、必ず完全に打ち消し合います。

問4 · 階数一の行列への分解

$10 \times 10$ 行列 $A$ の階数は 4 です。 $A$ を階数一の行列の和として書くとき、必要な階数一の行列の個数の最小値はいくつでしょうか？

✅ 正解です！ 階数 r の行列は、行列の大きさにかかわらず、ちょうど r 個の階数一の部品に分解できます。

❌ 惜しい！ 階数一の部品の個数は、行列の大きさや成分の個数ではなく、階数に等しくなります。

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解答：

階数 $r$ の行列は、ちょうど $r$ 個の階数一の行列に分解できます。それより少なくはできません。

$\text{rank}(A) = 4$ なので、

$A = \mathbf{u}_1\mathbf{v}_1^T + \mathbf{u}_2\mathbf{v}_2^T + \mathbf{u}_3\mathbf{v}_3^T + \mathbf{u}_4\mathbf{v}_4^T$

行列の大きさ（ $10 \times 10 = 100$ 個の成分）は関係ありません。個数を決めるのは階数だけです。具体的なベクトル $\mathbf{u}_k, \mathbf{v}_k$ は一通りではありません（正しい分解はたくさんあります）が、階数一の部品の最小個数はいつも階数に等しくなります。

1 では少なすぎます（階数 4 ではなく階数 1 の行列になってしまいます）
10 は、行列のサイズと階数を混同しています
100 は、成分の個数と階数を混同しています

正解数：0 / 4