線形代数 · 第11回 · 動画4 · インタラクティブ教材

方程式一つに部分空間が四つ ― いちばん単純な行列が教える線形代数の構造

I重要な公式

公式	名称	説明
$\dim C(A^T) = r$	行空間の次元	階数に等しい
$\dim N(A) = n - r$	次元定理	列の数 − 階数
$\dim C(A) = r$	列空間の次元	階数に等しい
$\dim N(A^T) = m - r$	左零空間の次元	行の数 − 階数

階数 $r$ の $m \times n$ 行列では、行空間と零空間は $\mathbb{R}^n$ の中で互いの直交補空間になり、列空間と左零空間は $\mathbb{R}^m$ の中で互いの直交補空間になります。

II可視化1 — 零空間に入るかどうか

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ では、ベクトルが $N(A)$ に入るのは、ちょうど4つの成分の和が 0 になるときです。

$A$ の階数は $1$ で列は $n = 4$ 本なので、この零空間の次元は $n - r = 3$ です。上の3本の基底ベクトルが、この零空間を張ります。

III可視化2 — 直交補空間

$A = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ では、零空間は、原点を通り行空間に垂直な直線です。

a 1 b 1

直線の直交補空間は、 $\mathbb{R}^2$ では直線（ $1+1=2$ ）、 $\mathbb{R}^3$ では平面（ $1+2=3$ ）、動画の $\mathbb{R}^4$ では $3$ 次元の空間（ $1+3=4$ ）です。

IV可視化3 — 次元の釣り合い

階数 $r$ のどんな $m \times n$ 行列でも、4つの部分空間の次元は必ず $r+(n-r)=n$ と $r+(m-r)=m$ を満たします。

m（行の数） 1 n（列の数） 4 r（階数） 1

階数は $\min(m,n)$ を超えられません。 $r$ をそれより大きくしても、上限で止まります。 $r=0$ では空間全体が零空間になり、それでも次元の和はきちんと合います。

V確認クイズ

問1

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ は、階数 1 の $1 \times 4$ 行列です。

零空間 $N(A)$ の次元はいくつでしょうか？

✅ 正解です！ 次元定理より、dim N(A) = n − r = 4 − 1 = 3 です。

❌ 惜しい！ 次元定理 dim N(A) = n − rank(A) を使いましょう。ここでは n = 4、階数は 1 です。

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解答：

次元定理より、 $\dim N(A) = n - r = 4 - 1 = 3$

この行列は列が $n = 4$ 本、階数が $r = 1$ （ピボットが1つ）なので、零空間の次元は $4 - 1 = 3$ です。

3本の基底ベクトルは $(-1, 1, 0, 0)$ 、 $(-1, 0, 1, 0)$ 、 $(-1, 0, 0, 1)$ です。

問2

次のベクトルのうち、 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の零空間に入るのはどれでしょうか？

✅ 正解です！ 成分の和が 1 + (−1) + 0 + 0 = 0 になります。

❌ 惜しい！ ベクトルが N(A) に入るのは、成分の和が 0 になるときです。それぞれの選択肢の成分を足してみましょう。

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解答：

ベクトル $\mathbf{v}$ が $N(A)$ に入るのは、 $v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0$ のとき、かつそのときに限ります。1つずつ確かめましょう。

$(1, 1, 1, 1)$ : $1 + 1 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ ✗
$(1, -1, 0, 0)$ : $1 + (-1) + 0 + 0 = 0$ ✓
$(-1, 1, 1, 1)$ : $-1 + 1 + 1 + 1 = 2 \neq 0$ ✗
$(0, 0, 0, 1)$ : $0 + 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0$ ✗

成分の和が 0 になるのは $(1, -1, 0, 0)$ だけです。

問3

行列 $B$ は大きさが $3 \times 7$ で、階数は 2 です。

零空間 $N(B)$ の次元はいくつでしょうか？

✅ 正解です！ dim N(B) = n − r = 7 − 2 = 5 です。

❌ 惜しい！ dim N(B) = （列の数）− 階数でしたね。行の数を使わないように気をつけましょう！

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解答：

次元定理より、 $\dim N(B) = n - r = 7 - 2 = 5$

ここでは $n = 7$ （列の数）、 $r = 2$ （階数）なので、零空間の次元は $7 - 2 = 5$ です。

よくある間違い：

$n$ の代わりに $m$ を使うと $3 - 2 = 1$ になりますが、これは零空間ではなく左零空間の次元です。
階数そのもの（ $r = 2$ ）を答えるのは、階数と退化次数を混同しています。

問4

正しいか誤りか：階数 1 の $1 \times n$ 行列では、左零空間 $N(A^T)$ は常に $\{\mathbf{0}\}$ に等しい（零ベクトルしか含まない）。

✅ 正解です！ dim N(Aᵀ) = m − r = 1 − 1 = 0 なので、左零空間は {0} だけです。

❌ 惜しい！ dim N(Aᵀ) = m − r を計算しましょう。m = 1、r = 1 のとき、いくつになるでしょうか？

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解答：正しい

左零空間の次元は $m - r$ です。

階数 1 の $1 \times n$ 行列では $m = 1$ 、 $r = 1$ なので、 $\dim N(A^T) = m - r = 1 - 1 = 0$

次元 0 の部分空間には、零ベクトルしか入っていません。 $N(A^T) = \{\mathbf{0}\}$ です。

これはまさに動画で見たとおりです。 $A^T y = 0$ という方程式は、 $A^T$ が 1 を並べた列なので、 $y = 0$ しか許しません。

正解数：0 / 4