線形代数 · 第12回 · 動画1 · インタラクティブ教材

接続行列と零空間 ― 意味をもつのは「差」だけである理由

I重要な公式

公式	名称	説明
$A$ の行：出発点に $-1$ 、到着点に $+1$ 、それ以外は $0$	接続行列	辺ごとに1行、節点ごとに1列
$(Ax)_k = x_{\text{到着}} - x_{\text{出発}}$ （辺 $k$ について）	離散的な微分	$A$ は辺をはさんだ差を計算する
$\ker(A) = \operatorname{span}\{(1,1,\ldots,1)\}$	零空間	一様にずらしても差はすべて 0
$\operatorname{rank}(A) = n - 1$	階数	節点が $n$ 個の連結グラフの場合

II可視化1 — 接続行列を組み立てる

向きのついた辺はそれぞれ $A$ の1つの行になります。出発点に $-1$ 、到着点に $+1$ 、それ以外は 0 です。

III可視化2 — 各辺をはさんだ差を読む

$A$ を掛けると、すべての辺について電位差 $x_{\text{到着}} - x_{\text{出発}}$ が得られます。

IV可視化3 — 零空間

4つの節点すべてに同じ定数を足しても、辺ごとの差はまったく変わりません。このずらしは $\ker(A)$ に属しています。

一様なずらし c 0.0

💡 摂氏とケルビンが温度の差についてつねに一致するのは、このためです。2つの目盛りのあいだの一定のずれ $273$ は零空間方向のずらしで、どの引き算からも見えません。

V可視化4 — 接地で基準を決める

1つの節点を接地して電位を 0 にすると、曖昧さが消えます。零空間は直線から $\{0\}$ につぶれます。

VI確認クイズ

問1

辺 $e_4$ は節点 1 から節点 4 へ向かいます。接続行列 $A$ の対応する行はどれですか。

✅ 正解です！ 出発点（1列目）に $-1$ 、到着点（4列目）に $+1$ を置きます。

❌ 惜しい！ 出発点の列に $-1$ 、到着点の列に $+1$ 、それ以外は 0 でしたね。

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解答：

辺 $e_4$ は節点 1 から節点 4 へ向かいます。

1列目（出発点）に $-1$ を置く
4列目（到着点）に $+1$ を置く
2列目と3列目は 0

$e_4 \text{ の行} = [\,-1, \; 0, \; 0, \; +1\,]$

問2

節点の電位が $x = (3, \; 7, \; 5, \; 1)$ のとき、 $(Ax)_3$ 、つまり積 $Ax$ の第3成分はいくつですか。

（辺 $e_3$ は節点 1 から節点 3 へ向かう辺でした。）

✅ 正解です！ 辺 $e_3$ をはさんだ差は $x_3 - x_1 = 5 - 3 = 2$ です。

❌ 惜しい！ 辺 $e_3$ （節点 1 → 節点 3）について、 $x_{\text{到着}} - x_{\text{出発}} = x_3 - x_1$ を計算しましょう。

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解答：

$A$ の3行目は $[-1, \; 0, \; 1, \; 0]$ です（辺 $e_3$ ：節点 1 → 節点 3）。

$(Ax)_3 = (-1)(3) + (0)(7) + (1)(5) + (0)(1) = -3 + 5 = 2$

同じことですが、 $x_{\text{到着}} - x_{\text{出発}} = x_3 - x_1 = 5 - 3 = 2$ とも計算できます。

よくある間違い：

$-2$ になった：引き算の順序が逆（ $x_1 - x_3$ を計算した。正しくは $x_3 - x_1$ ）
$4$ になった：別の辺を使った（ $e_1$ ： $x_2 - x_1 = 7 - 3 = 4$ ）
$8$ になった：引き算ではなく足し算をした（ $x_1 + x_3 = 3 + 5 = 8$ ）

問3

正しいか誤りか：節点が $n$ 個の連結な有向グラフなら、どれでも、その接続行列の零空間の次元はちょうど 1 である。

✅ 正解です！ 階数は $n-1$ なので、零空間の次元はちょうど 1 残ります。零空間は全成分が 1 のベクトルで張られます。

❌ 惜しい！ 連結グラフでは $\operatorname{rank}(A) = n - 1$ なので、零空間の次元は $n - (n-1) = 1$ です。

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解答：正しい

節点が $n$ 個の連結グラフでは：

$\operatorname{rank}(A) = n - 1$

$\dim(\ker(A)) = n - \operatorname{rank}(A) = n - (n - 1) = 1$

零空間は $(1, 1, \ldots, 1)$ で張られます。すべての節点に同じ定数を足しても、どの辺の差も 0 のままだからです。この1つの自由度があるために、電位を一意に決めるには基準（接地）を選ぶ必要があるのです。

注意：これは連結なグラフについての話です。連結成分が $k$ 個あるグラフでは、零空間の次元は $k$ になります。

問4

すべての節点の電位に $c = 100$ を足して、 $x$ を $x + 100 \cdot (1,1,1,1)^T$ に置き換えます。辺ごとの差のベクトル $Ax$ はどうなりますか。

✅ 正解です！ 全成分が 1 のベクトルは零空間に属するので、 $A$ は一様なずらしをすべて 0 に送ります。差はまったく変わりません。

❌ 惜しい！ $(1,1,1,1)^T$ は零空間に属していました。つまり $A \cdot (1,1,1,1)^T = \mathbf{0}$ です。このことから $A(x + c \cdot \mathbf{1})$ について何が言えるでしょうか。

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解答：どの差もまったく変わりません。

$A(x + 100 \cdot \mathbf{1}) = Ax + 100 \cdot A\mathbf{1} = Ax + 100 \cdot \mathbf{0} = Ax$

$(1,1,1,1)^T$ は $A$ の零空間に属するので、この行列はこれを 0 に写します。一様なずらしは、 $A$ からはまったく見えないのです。

摂氏とケルビンが温度の差についてつねに一致するのも、同じ理由です。273 度のずれは、引き算をするたびに打ち消し合います。

$373\text{K} - 273\text{K} = 100 \quad = \quad 100^{\circ}\text{C} - 0^{\circ}\text{C}$

正解数：0 / 4