線形代数 · 第13回 · 動画1 · インタラクティブ教材

垂直に交わる二つの平面は「直交」しない

I重要な公式

公式	名称	説明
$\mathbf{x}^T\mathbf{y} = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n$	内積（ドット積）	対応する成分どうしの積の和
$\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \iff \mathbf{x}^T\mathbf{y} = 0$	直交ベクトル	内積が 0 になる
$\\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\\|^2 = \\|\mathbf{x}\\|^2 + 2\mathbf{x}^T\mathbf{y} + \\|\mathbf{y}\\|^2$	ノルムの展開	交差項が消えるとき、ピタゴラスの定理が成り立つ
$S \perp T$ ： $\mathbf{x}^T\mathbf{y} = 0$ （すべての $\mathbf{x} \in S$ とすべての $\mathbf{y} \in T$ について）	直交する部分空間	すべての組が垂直でなければならない

II可視化1 — 内積と直角

2つのベクトルが直交するのは、内積がちょうど 0 になるときです。そのとき、2つがつくる三角形でピタゴラスの定理が成り立ちます。

III可視化2 — 「すべての組」のテスト

原点を通る2本の直線では、方向ベクトルどうしの内積という1つの数だけで、すべてのベクトルの組が直交するかどうかが決まります。

IV可視化3 — 2枚の平面は必ず直線を共有する

$\mathbb{R}^3$ では、原点を通る2枚の平面は少なくとも1本の直線で必ず交わります。そのため 0 でないベクトルが両方に属し、どんな角度でも直交は不可能になります。

二面角 90°

V確認クイズ

問1 · 内積の計算

$\mathbf{x} = (3, -1, 2)$ 、 $\mathbf{y} = (1, 4, -1)$ とします。

$\mathbf{x}^T\mathbf{y}$ はいくつですか。

✅ 正解です！ $(3)(1) + (-1)(4) + (2)(-1) = 3 - 4 - 2 = -3$ です。

❌ 惜しい！ 対応する成分の組を1つずつ、符号に注意して掛けましょう： $(3)(1) + (-1)(4) + (2)(-1)$ 。

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解答：

対応する成分どうしを掛けて足し合わせます：

$\mathbf{x}^T\mathbf{y} = (3)(1) + (-1)(4) + (2)(-1) = 3 - 4 - 2 = -3$

$\mathbf{x}^T\mathbf{y} = -3 \neq 0$ なので、この2つのベクトルは直交しません。

よくある間違い：

3 になった： $(-1)(4) = -4$ の負の符号を落としている
-1 になった： $3 - 4 = -1$ までは計算したが、3番目の項を忘れている
7 になった：符号つきの積ではなく、 $|x_i y_i|$ （絶対値）を使っている

問2 · 垂直と直交する部分空間

正しいか誤りか： $\mathbb{R}^3$ の中で二面角 90° で交わる2枚の平面は、直交する部分空間である。

✅ 正解です！ R³ の2枚の平面は必ず直線を共有するので、「すべての組」という要求は決して満たされません。直交する部分空間には決してなりません。

❌ 惜しい！ 2枚の平面が必ず共有するものを考えましょう。その共通の直線上の 0 でないベクトルは、自分自身と直交しなければならなくなります……

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解答：誤り。

$\mathbb{R}^3$ で原点を通る2枚の平面は、少なくとも1本の直線を必ず共有します。なぜなら：

$\dim(S \cap T) \geq \dim(S) + \dim(T) - n = 2 + 2 - 3 = 1$

その共通の直線上の 0 でないベクトル $\mathbf{v}$ は、両方の部分空間に属します。「すべての組」という直交の要求は $\mathbf{v}^T\mathbf{v} = 0$ を求めますが：

$\mathbf{v}^T\mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|^2 > 0 \quad \text{任意の } \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

矛盾です！ 二面角がいくつであっても、 $\mathbb{R}^3$ の2枚の平面が直交する部分空間になることは決してありません。

ここが肝心な区別です：「垂直」（幾何学的な見た目） $\neq$ 「直交する部分空間」（線形代数の「すべての組」という要求）。

問3 · 直交する部分空間の共通部分

部分空間 $S$ と $T$ が直交する（ $S \perp T$ ）とき、共通部分 $S \cap T$ は何に等しくなければなりませんか。

✅ 正解です！ 自分自身と直交するベクトルは零ベクトルだけです（ $\mathbf{0}^T\mathbf{0} = 0$ ）。ですから、両方の部分空間に属することができるのは零ベクトルだけです。

❌ あと一歩！ どの部分空間も零ベクトルを含むので、 $S \cap T$ には必ず $\mathbf{0}$ が入っています。共通部分が本当に空になることはありません。

❌ 惜しい！ 0 でないベクトル $\mathbf{v}$ が両方の部分空間に属していたら、 $\mathbf{v}^T\mathbf{v}$ はいくつでなければならないか考えましょう。

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解答：零ベクトルだけ $\{\mathbf{0}\}$ 。

2つの重要な事実を組み合わせます：

どの部分空間も $\mathbf{0}$ を含むので、 $S \cap T$ には必ず $\mathbf{0}$ が入っています（空集合には決してなりません！）。
- しかも $\mathbf{0}^T\mathbf{0} = 0$ ✅ で、矛盾はありません。
0 でないベクトルは共有できない。 もし $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ が $S$ と $T$ の両方に属していたら、「すべての組」のテストは次を要求します： $\mathbf{v}^T\mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|^2 > 0 \text{ なのに } \mathbf{v}^T\mathbf{v} = 0 \quad \text{矛盾！}$

したがって $S \cap T = \{\mathbf{0}\}$ です。自分自身と直交するベクトルは、零ベクトルだけなのです。

これは次元によりません。「すべての組」という要求から、いつでも導かれる結論です。

問4 · 次元による制約

$\mathbb{R}^4$ において、次の部分空間の組のうち、直交することができないのはどれですか。

ヒント： $S \perp T$ ならば $S \cap T = \{\mathbf{0}\}$ であり、そこから $\dim(S) + \dim(T) \leq n$ が導かれます。

✅ 正解です！ $2 + 3 = 5 > 4$ なので、この2つの部分空間は少なくとも1本の直線を共有し、直交は不可能です。 $\mathbb{R}^3$ の2枚の平面とまったく同じです！

❌ 惜しい！ $\dim(S) + \dim(T)$ が 4 を超えるかどうか確かめましょう。超えるなら、2つの部分空間は 0 でないベクトルを共有し、直交は不可能です。

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解答： $\mathbb{R}^4$ では、平面（次元 2）と 3 次元部分空間は直交できません。

直交する部分空間では $S \cap T = \{\mathbf{0}\}$ なので、 $\dim(S) + \dim(T) \leq n$ でなければなりません。

$\mathbb{R}^4$ （ $n = 4$ ）で各選択肢を確かめます：

組	$\dim(S) + \dim(T)$	$\leq 4$ か	直交できるか
直線 + 3 次元	$1 + 3 = 4$	✅ はい	できる
平面 + 平面	$2 + 2 = 4$	✅ はい	できる
平面 + 3 次元	$\mathbf{2 + 3 = 5}$	❌ いいえ	できない
直線 + 平面	$1 + 2 = 3$	✅ はい	できる

$2 + 3 = 5 > 4$ なので、この2つの部分空間は少なくとも1本の直線を共有します：

$\dim(S \cap T) \geq 2 + 3 - 4 = 1 > 0$

0 でないベクトルを共有するので、直交は不可能です。 $\mathbb{R}^3$ の2枚の平面と同じ論法です！

正解数：0 / 4