線形代数 · 第14回 · 動画1 · インタラクティブ教材

直角ひとつで射影行列が決まる ― 直線への射影

I重要な公式

公式	名称	説明
$\hat{x} = \dfrac{\mathbf{a}^T\mathbf{b}}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}$	スカラー係数	a に沿って何個分進むか
$\mathbf{p} = \hat{x}\,\mathbf{a} = \dfrac{\mathbf{a}^T\mathbf{b}}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}\,\mathbf{a}$	射影ベクトル	直線上で b に最も近い点
$P = \dfrac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}$	射影行列	どんなベクトルも a を通る直線へ移す
$P^T = P, \quad P^2 = P$	重要な性質	対称かつ冪等

II可視化1 — 直線への射影

射影 $\mathbf{p}$ は、 $\mathbf{a}$ を通る直線上で $\mathbf{b}$ に最も近い点です。誤差 $\mathbf{e} = \mathbf{b} - \mathbf{p}$ は、いつも直線と直角に交わります。

💡 チャレンジ： $\mathbf{b}$ の先端をドラッグして直線上に乗せてみましょう。誤差はゼロになり、 $\mathbf{p} = \mathbf{b}$ となります。

III可視化2 — a と b の定数倍

$\mathbf{b}$ を定数倍すると、射影も同じ倍率で伸び縮みします。 $\mathbf{a}$ を定数倍しても、射影はまったく同じ位置にとどまります。

倍率 k 1.00

💡 $P = \mathbf{a}\mathbf{a}^T / \mathbf{a}^T\mathbf{a}$ は $\mathbf{a}$ の方向だけで決まります。分子と分母に余分に出てくる $k$ の因子は打ち消し合うからです。

IV可視化3 — P はすべてのベクトルをどう動かすか

行列 $P$ は平面全体を $\mathbf{a}$ を通る直線へ押しつぶします（階数 1）。もう一度作用させても何も変わりません（ $P^2 = P$ ）。

直線の角度 θ 60°

Pv — どの像も直線上に乗る（階数 1）

P²v = Pv — 輪が矢印の先端に重なる（冪等）

V確認クイズ

問1

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 、 $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ のとき、スカラー係数 $\hat{x} = \dfrac{\mathbf{a}^T\mathbf{b}}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}$ はいくつですか？

✅ 正解です！ aᵀb = 4、aᵀa = 14 なので、x̂ = 4/14 = 2/7 です。

❌ 惜しい！ aᵀb（分子）と aᵀa（分母）を別々に計算してから、分数を約分しましょう。

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解答：

内積を順に計算します：

$\mathbf{a}^T\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(1) + (3)(0) = 2 + 2 + 0 = 4$

$\mathbf{a}^T\mathbf{a} = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$

$\hat{x} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

答えは 2/7 です。

問2

射影行列の公式 $P = \dfrac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}$ において、分子 $\mathbf{a}\mathbf{a}^T$ と分母 $\mathbf{a}^T\mathbf{a}$ はそれぞれ何ですか？

✅ 正解です！ 列 × 行 = 行列（外積）、行 × 列 = スカラー（内積）です。掛ける順序が大事です！

❌ 惜しい！ サイズを考えましょう。a は n×1、aᵀ は 1×n です。それぞれの積はどんな形になるでしょうか？

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解答：

$\mathbf{a}\mathbf{a}^T$ は「列 × 行」（外積）で、 $(n \times 1)(1 \times n) = n \times n$ の行列です。どの列も $\mathbf{a}$ の定数倍なので、階数は 1 です。
$\mathbf{a}^T\mathbf{a}$ は「行 × 列」（内積）で、 $(1 \times n)(n \times 1) = 1 \times 1$ のスカラーです。

ポイント： 掛ける順序が大事です！ $\mathbf{a}\mathbf{a}^T$ （外積） $\neq$ $\mathbf{a}^T\mathbf{a}$ （内積）。

問3

正しいか誤りか： $\mathbf{a}$ を $5\mathbf{a}$ に置き換えると、射影行列 $P = \dfrac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}}$ は変わる。

✅ 正解です！ 倍率は打ち消し合います。P は a の方向だけで決まり、長さにはよりません。

❌ 惜しい！ 公式に 5a を代入して、分子と分母で何が打ち消し合うか見てみましょう。

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解答：誤り。

$5\mathbf{a}$ を $\mathbf{a}$ のところに代入します：

$P' = \frac{(5\mathbf{a})(5\mathbf{a})^T}{(5\mathbf{a})^T(5\mathbf{a})} = \frac{25\,\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{25\,\mathbf{a}^T\mathbf{a}} = \frac{\mathbf{a}\mathbf{a}^T}{\mathbf{a}^T\mathbf{a}} = P$

$25$ の因子は完全に打ち消し合います。 $P$ は $\mathbf{a}$ の方向だけで決まり、大きさにはよりません。

問4

$\mathbf{b}$ を $\mathbf{a}$ を通る直線に射影すると、 $\mathbf{p} = P\mathbf{b} = [2,\; 4,\; 6]^T$ が得られました。今度は $\mathbf{p}$ を同じ直線にもう一度射影します。 $P\mathbf{p}$ は何ですか？

✅ 正解です！ 冪等性（P² = P）により、もう一度射影しても同じ結果になります。影の影は、影そのものです！

❌ 惜しい！ P² = P（冪等性）を思い出しましょう。すでに直線上にあるベクトルを射影すると、どうなるでしょうか？

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解答：

冪等性（ $P^2 = P$ ）により：

$P\mathbf{p} = P(P\mathbf{b}) = P^2\mathbf{b} = P\mathbf{b} = \mathbf{p} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$

幾何学的には、 $\mathbf{p}$ はすでに $\mathbf{a}$ を通る直線上にあります。直線上にすでにある点を同じ直線に射影しても、点は動きません。

影の影は、影そのものです。

正解数：0 / 4