線形代数 · 第15回 · 動画1 · インタラクティブ教材

1つの行列が、すべてのベクトルを直交する2つの部分に分ける

I重要な公式

公式	名称	使う場面
$P = A(A^\top A)^{-1}A^\top$	射影行列	任意の $\mathbf{b}$ を $C(A)$ へ射影する
$\mathbf{b} = P\mathbf{b} + (I - P)\mathbf{b}$	直交分解	$\mathbf{b}$ を互いに $\perp$ な2つの部分に分ける
$P^2 = P$ , $P^\top = P$	冪等かつ対称	直交射影には両方が必要
$(I-P)^2 = I-P$ , $(I-P)^\top = I-P$	補いの射影の性質	$I-P$ は $N(A^\top)$ へ射影する

II可視化1 — 直交分解：p + e = b

どんな $\mathbf{b}$ も、 $C(A)$ の中にある $\mathbf{p} = P\mathbf{b}$ と、それに垂直な $\mathbf{e} = (I-P)\mathbf{b}$ の和に分かれます。

部分空間の角度 θ 30°

III可視化2 — 2つの極端な場合のあいだでエネルギーが移る

$\mathbf{b}$ が $C(A)$ から $N(A^\top)$ の方へ回転すると、エネルギー $\|\mathbf{b}\|^2$ が一方の成分からもう一方の成分へ移っていきます。

C(A) からの角度 α 30°

💡 チャレンジ： 2つのエネルギーが等しくなる角度を見つけましょう。

IV可視化3 — 冪等性：一度射影すれば、それで決まり

もう一度射影しても何も変わりません（ $P^2 = P$ ）。そのため、扇形に並んだベクトルは1回目の適用のあと動かなくなります。

射影適用回数 k 0

V確認クイズ

問1

$\mathbf{b}$ がはじめから列空間 $C(A)$ に入っている、つまりあるベクトル $\mathbf{x}$ について $\mathbf{b} = A\mathbf{x}$ のとき、 $P\mathbf{b}$ は何になりますか。

✅ 正解です！ すでに列空間に入っているベクトルは、射影しても変わりません。

❌ 惜しい！ ベクトルがはじめから部分空間の上に寝ているとき、何が起こるか考えましょう。その影はベクトル自身と違うでしょうか。

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解答：

$\mathbf{b} = A\mathbf{x}$ なので、射影の公式に代入します：

$P\mathbf{b} = A(A^\top A)^{-1}A^\top (A\mathbf{x}) = A \cdot \underbrace{(A^\top A)^{-1}(A^\top A)}_{= I} \cdot \mathbf{x} = A\mathbf{x} = \mathbf{b}$

逆行列ともとの行列が打ち消し合って、単位行列が残ります。すでに列空間に入っているベクトルを射影すると、そのベクトルがそのまま返ってきます。影がもとのベクトルとぴったり重なるのです。

問2

正しいか誤りか： 冪等な行列（ $M^2 = M$ ）はすべて直交射影行列である。

✅ 正解です！ 冪等性だけでも射影にはなりますが、それが直交射影であるためには対称性（ $M^\top = M$ ）も必要です。

❌ 惜しい！ 動画を思い出しましょう。射影が直交射影になるためには、 $M^2 = M$ のほかにどんな性質が必要でしたか。

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解答：誤り

直交射影行列は、2つの性質を満たさなければなりません：

冪等： $M^2 = M$ （2回射影しても1回射影したのと同じ）
対称： $M^\top = M$ （分解された部分どうしが垂直になる）

対称でない冪等行列は斜交射影を与えます。ベクトルを2つの成分に分けることに変わりはありませんが、その2つの成分は互いに垂直ではありません。直交射影には、2つの条件が両方とも必要です。

問3

$P\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ 、 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ とします。 $(I - P)\mathbf{b}$ は何ですか。

✅ 正解です！ 垂直成分は単に b − Pb です。

❌ 惜しい！ 分解 (I − P)b = b − Pb を使いましょう。成分ごとに引き算します。

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Solution:

分解 $\mathbf{b} = P\mathbf{b} + (I-P)\mathbf{b}$ を変形します：

$(I-P)\mathbf{b} = \mathbf{b} - P\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

垂直成分は、 $\mathbf{b}$ からその射影を引いたものにすぎません。 $P$ そのものを知る必要はないのです！

ほかの選択肢が誤りである理由：

$(7, 4, 9)$ ：これは $\mathbf{b} + P\mathbf{b}$ です（引くところを足している）
$(3, 1, 5)$ ：これは $P\mathbf{b}$ そのもので、垂直な部分ではありません
$(0, 0, 0)$ ：これは $\mathbf{b} \in C(A)$ を意味しますが、ここでは $\mathbf{b} \neq P\mathbf{b}$ です

問4

行列 $I - P$ は、それ自体が射影行列です。 $I - P$ はどの部分空間へ射影しますか。

✅ 正解です！ I − P は C(A) の直交補空間、つまり左零空間 N(Aᵀ) へ射影します。

❌ 惜しい！ (I − P)b = b を満たすのはどんなベクトルか考えましょう。それは P が零ベクトルに送るベクトルです。それらはどこに属しているでしょうか。

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Solution:

$I - P$ は、列空間の直交補空間である左零空間 $N(A^\top)$ へ射影します。

なぜでしょうか。 $\mathbf{b} \in N(A^\top)$ ならば $A^\top \mathbf{b} = \mathbf{0}$ です。これを射影の公式に代入すると：

$P\mathbf{b} = A(A^\top A)^{-1} \underbrace{A^\top \mathbf{b}}_{= \mathbf{0}} = \mathbf{0}$

よって $(I - P)\mathbf{b} = \mathbf{b} - \mathbf{0} = \mathbf{b}$ です。行列 $I - P$ は $N(A^\top)$ のベクトルをそのまま残し、 $C(A)$ のベクトルを消してしまいます。 $P$ の働きをちょうど鏡に映したものです。

$P$ と $I - P$ を合わせると、完全な直交分解が得られます：

$P \to C(A)$
$I - P \to N(A^\top)$

正解数：0 / 4