線形代数 · 第16回 · 動画1 · インタラクティブ教材

転置がそのまま逆行列になる

I重要な公式

公式 名称 説明
qiTqj=0  (i≠j)\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_j = 0 \;(i \neq j) 直交性 列どうしが垂直
qiTqi=1\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_i = 1 正規化 各列の長さが 1
QTQ=I  ⇒  QT=Q−1Q^T Q = I \;\Rightarrow\; Q^T = Q^{-1} 直交行列（正方行列 QQ） 転置が逆行列
Q=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]Q = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} 2×2 の回転行列 ベクトルを角度 θ\theta だけ回転させる

II可視化1 — 回転行列の正規直交な列

回転行列の列 q1=(cos⁡θ,  sin⁡θ)\mathbf{q}_1 = (\cos\theta,\; \sin\theta) と q2=(−sin⁡θ,  cos⁡θ)\mathbf{q}_2 = (-\sin\theta,\; \cos\theta) は、どんな角度 θ\theta でも正規直交のままです。

III可視化2 — 直交行列は長さを保つ

直交行列 QQ を掛けると、v\mathbf{v} は長さを変えずに回転します：∥Qv∥=∥v∥\|Q\mathbf{v}\| = \|\mathbf{v}\|。

💡 長さが変わらないのは、∥Qv∥2=(Qv)⊤(Qv)=v⊤Q⊤Q v=v⊤v=∥v∥2\|Q\mathbf{v}\|^2 = (Q\mathbf{v})^\top(Q\mathbf{v}) = \mathbf{v}^\top Q^\top Q\,\mathbf{v} = \mathbf{v}^\top\mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|^2 となるからです。仕事をしているのは、恒等式 Q⊤Q=IQ^\top Q = I だけです。

IV可視化3 — 転置が回転を取り消す

QQ は +θ+\theta だけ回転させ、Q⊤Q^\top は −θ-\theta だけ回転させます。ですから Q⊤(Qv)=vQ^\top(Q\mathbf{v}) = \mathbf{v} です。

💡 +θ+\theta 回転してから −θ-\theta 回転するのは、何もしないのと同じです。ですから Q⊤Q=IQ^\top Q = I、つまり転置こそが逆行列です。消去法も、余因子も、行列式もいりません。

V確認クイズ

問1

いくつかのベクトルが「正規直交」と呼ばれるには、どんな条件を満たす必要がありますか？

✅ 正解です！ 正規直交 ＝ 直交（垂直で、内積が 0）＋ 正規化（長さ 1）です。

❌ 惜しい！ 「正規直交」は、垂直であることと長さが 1 であることという、二つの別々の条件を合わせたものでした。

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解答：

正規直交 ＝ 直交 ＋ 正規化：

  • 直交とは、どの二つの内積も 0 であることです：i≠ji \neq j のとき qiTqj=0\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_j = 0
  • 正規化とは、各ベクトルの長さが 1 であることです：qiTqi=1\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_i = 1

両方の条件が必要です。直交しているだけ（垂直なだけ）では不十分で、ベクトルの長さも 1 でなければなりません。なお、正規直交なベクトルは必ず一次独立ですが、それは定義ではなく、定義から出てくる結果です。

問2

行列 QQ はサイズ 3×23 \times 2（3行2列）で、列が正規直交です。正しいものはどれですか？

✅ 正解です！ 列が正規直交なので QᵀQ = I₂ ですが、「直交行列」と呼ぶには Q が正方行列でなければなりません。

❌ 惜しい！ サイズを考えましょう。Q は 3×2 なので、QᵀQ のサイズはいくつでしょうか？ また、正方行列でない行列を「直交行列」と呼べるでしょうか？

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解答：

列が正規直交な 3×23 \times 2 行列 QQ について：

  • QTQ^T は 2×32 \times 3 なので、QTQQ^TQ は 2×22 \times 2 です。列が正規直交なので QTQ=I2Q^TQ = I_2 ✓
  • QQTQQ^T は 3×33 \times 3 ですが、I3I_3 ではありません。これは射影行列です ✗
  • 「直交行列」という言葉は、QT=Q−1Q^T = Q^{-1} となる正方行列にだけ使います

動画の 3×23 \times 2 の例 Q=13[1−22−122]Q = \frac{1}{3}\begin{bmatrix}1 & -2 \\ 2 & -1 \\ 2 & 2\end{bmatrix} は QTQ=I2Q^TQ = I_2 を満たしますが、QQT≠I3QQ^T \neq I_3 です。正方行列でなければ、QTQ^T は左逆行列にすぎません。

問3

2×22 \times 2 のアダマール行列は H=12[111−1]H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix} です。

HH の二つの列の内積はいくつですか？

✅ 正解です！ +1 と -1 の成分のおかげで項が打ち消し合います：1/2 - 1/2 = 0。列は直交しています。

❌ 惜しい！ 内積を計算するときは、各列についている 1/√2 の係数を忘れないでください。

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解答：

HH の1列目：12[11]\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}、 HH の2列目：12[1−1]\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}

内積：

q1Tq2=12⋅12(1)(1)+12⋅12(1)(−1)=12−12=0\mathbf{q}_1^T \mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1)(1) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1)(-1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0

内積は 0 なので、列は直交しています。各列の長さが 1 であること（12+12=1\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1）と合わせると、列は正規直交です。したがって HH は直交行列です。

問4

正しいか誤りか：どの直交行列も、行列式は 1 に等しい。

✅ 正解です！ 直交行列の行列式は ±1 で、いつも +1 とは限りません。鏡映の行列は直交行列ですが、行列式は −1 です。

❌ 惜しい！ 鏡映の行列 [[1,0],[0,-1]] を考えてみましょう。これは直交行列です。行列式はいくつでしょうか？

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解答：誤り

QQ が直交行列なら QTQ=IQ^TQ = I なので：

det⁡(QTQ)=det⁡(I)=1\det(Q^TQ) = \det(I) = 1 det⁡(QT)⋅det⁡(Q)=1\det(Q^T) \cdot \det(Q) = 1 [det⁡(Q)]2=1[\det(Q)]^2 = 1 det⁡(Q)=±1\det(Q) = \pm 1

行列式は +1（純粋な回転）にも -1（鏡映）にもなりえます。

たとえば、鏡映の行列 Q=[100−1]Q = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} は QTQ=IQ^TQ = I を満たします（直交行列です）が、det⁡(Q)=−1\det(Q) = -1 です。

det⁡=+1\det = +1 の直交行列は特殊直交行列と呼ばれます（純粋な回転）。det⁡=−1\det = -1 のものは、鏡映の成分を含みます。

正解数：0 / 4