線形代数 · 第16回 · 動画2 · インタラクティブ教材

逆行列はいらない：正規直交基底なら射影は内積だけで求まる

I重要な公式

公式	名称	使う場面
$P = A(A^TA)^{-1}A^T$	一般の射影行列	どんな基底でも使える（逆行列の計算が必要）
$P = QQ^T$	正規直交基底での射影行列	$Q$ の列が正規直交のとき
$\hat{x}_i = q_i^T b$	内積としての係数	最小二乗解の各係数を求めるとき
$Q^TQ = I$	正規直交性の条件	列の長さが 1 で、互いに垂直

II可視化1 — $Q^TQ = I$ となるとき

$Q$ の列が正規直交であるのは、ちょうど $Q^TQ = I$ のときです。列の長さが 1 であることが対角成分に、列が垂直であることが非対角成分に現れます。

💡 $Q^TQ$ の対角成分は長さの二乗 $\|q_i\|^2$ 、非対角成分は内積 $q_1 \cdot q_2$ です。単位行列になるには、長さが 1 であることと垂直であることが、両方とも必要です。

III可視化2 — $b$ を Col $(Q)$ へ射影する

$q_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$ , $q_2 = (0,0,1)^T$ とすると、写像 $p = QQ^Tb$ は $b$ を、平面内の部分 $p$ と、垂直な誤差 $e = b - p$ に分けます。

b_1

b_2

b_3

💡 $p$ は平面の中で $b$ に最も近い点です。だからこそ、 $e$ は平面に垂直に出ていきます。係数 $\hat{x}_1 = q_1^Tb$ と $\hat{x}_2 = q_2^Tb$ はただの内積で、逆行列はいりません。

IV可視化3 — どの係数も内積で求まる

正規直交基底 $q_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T$ , $q_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)^T$ では、 $b$ の各座標はただの内積です： $b = (q_1^Tb)\,q_1 + (q_2^Tb)\,q_2$ 。

💡 一般の基底なら $A^TA\hat{x} = A^Tb$ を解かなければなりません。正規直交性のおかげで、その連立方程式が二回の内積にまで縮みます。これはフーリエ係数を定めるのと同じ考え方です。

V確認クイズ

問1

正規直交な列 $q_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\; \frac{1}{\sqrt{2}},\; 0\right)^T$ とベクトル $b = (1, 2, 3)^T$ が与えられています。係数 $\hat{x}_1 = q_1^T b$ を計算してください。

✅ 正解です！ $\hat{x}_1 = 3/\sqrt{2} \approx 2.121$ 。内積一回だけです！

❌ 惜しい！ $q_1^T b$ は、対応する成分どうしを掛けて足し合わせて求めます： $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 + 0 \cdot 3$ 。

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解答：

$\hat{x}_1 = q_1^T b = \frac{1}{\sqrt{2}}(1) + \frac{1}{\sqrt{2}}(2) + 0 \cdot (3) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.121$

$q_1$ の第3成分は 0 なので、 $b$ の第3成分は寄与しません。どの係数もただの内積で、連立方程式を解く必要はありません！

問2

正しいか誤りか： $Q$ が列の正規直交な $5 \times 3$ 行列ならば、 $QQ^T = I_5$ （ $5 \times 5$ の単位行列）である。

✅ 正解です！ 列が正規直交なら $Q^TQ = I_3$ は必ず成り立ちますが、 $QQ^T$ は Col $(Q)$ への射影行列にすぎません。 $I$ に等しくなるのは、 $Q$ が正方行列のときだけです。

❌ 惜しい！ よく考えましょう。 $Q^TQ = I$ （小さい単位行列）は必ず成り立ちます。では、 $Q$ の列の数が行の数より少ないとき、 $QQ^T = I$ （大きい単位行列）も成り立つでしょうか？

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解答：誤り

$Q$ が列の正規直交な $5 \times 3$ 行列のとき：

$Q^TQ = I_3$ ✅（ $3 \times 3$ の単位行列。列が正規直交なら必ず成り立ちます）
$QQ^T \neq I_5$ ❌（これは 3 次元の列空間への $5 \times 5$ の射影行列で、単位行列ではありません）

$QQ^T = I$ となるのは、 $Q$ が正方行列（ $n \times n$ ）、つまり列が空間 $\mathbb{R}^n$ 全体を張るときだけです。そのとき $Q$ は直交行列と呼ばれ、 $Q^T = Q^{-1}$ です。

覚えておきたい区別：

$Q^TQ = I$ → 列が正規直交なら必ず成り立つ
$QQ^T = I$ → $Q$ が正方行列のときだけ

問3

$Q$ を、正規直交な列 $q_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,\; 1,\; 0)^T$ と $q_2 = (0,\; 0,\; 1)^T$ をもつ $3 \times 2$ 行列とします。

$b = (4, 0, 6)^T$ に対して、射影 $p = QQ^T b$ を計算してください。

✅ 正解です！ 射影は $q_2$ の成分（z = 6）をそのまま残し、最初の二つの成分を $q_1$ によって平均します。どちらも 2 になります。

❌ 惜しい！

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解答：

ステップ1 — 係数を内積で求める：

$\hat{x}_1 = q_1^T b = \frac{1}{\sqrt{2}}(4) + \frac{1}{\sqrt{2}}(0) + 0(6) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$\hat{x}_2 = q_2^T b = 0(4) + 0(0) + 1(6) = 6$

ステップ2 — 射影を組み立て直す：

$p = \hat{x}_1 q_1 + \hat{x}_2 q_2 = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}$

解釈：射影は $b$ の最初の二つの成分を平均し（ $q_1$ が $x$ と $y$ に同じ重みをかけるからです）、 $z$ 成分はそのまま残します（ $q_2$ が $z$ 軸だからです）。

問4

$A$ を列が正規直交な行列 $Q$ に置き換えると、射影の公式は $P = A(A^TA)^{-1}A^T$ から $P = QQ^T$ に簡単になります。この簡略化を生み、さらに $P$ を冪等（ $P^2 = P$ ）にもしている、鍵となる代数的な事実はどれですか？

✅ 正解です！ $Q^TQ = I$ というたった一つの事実が、すべての簡略化を生み出します。逆行列は消え、冪等性の証明では真ん中の因子がつぶれます。

❌ 惜しい！ 公式 $P = Q(Q^TQ)^{-1}Q^T$ に $Q^TQ = I$ を代入すると何が起こるか考えましょう。また、 $P^2 = (QQ^T)(QQ^T)$ を計算すると何が起こるでしょうか？

解答を見る

解答：鍵となる事実は $Q^TQ = I$ です。

公式の簡略化：

$P = Q\underbrace{(Q^TQ)^{-1}}_{= I^{-1} = I}Q^T = Q \cdot I \cdot Q^T = QQ^T$

冪等性（ $P^2 = P$ ）：

$P^2 = (QQ^T)(QQ^T) = Q\underbrace{(Q^TQ)}_{= I}Q^T = Q \cdot I \cdot Q^T = QQ^T = P$

$Q^TQ$ が $I$ につぶれるという同じ事実が、両方の簡略化を動かしています。冪等性の証明では、 $Q^TQ$ が真ん中にはさまれて現れ、つぶれます。これが「代数の魔法の瞬間」です。

ほかの選択肢が誤りである理由：

$Q$ は正方行列である必要はありません（ $3 \times 2$ の例でも完全にうまくいきます）。
$Q^T = Q^{-1}$ が成り立つのは $Q$ が正方行列（直交行列）のときだけで、長方行列の $Q$ では成り立ちません。
一般の射影行列には逆行列が必要です。逆行列を消しているのは、ほかでもない正規直交性です。

正解数：0 / 4

逆行列はいらない：正規直交基底なら射影は内積だけで求まる

I重要な公式

II可視化1 — QTQ=IQ^TQ = IQTQ=I となるとき

III可視化2 — bbb を Col(Q)(Q)(Q) へ射影する

IV可視化3 — どの係数も内積で求まる

V確認クイズ

II可視化1 — $Q^TQ = I$ となるとき

III可視化2 — $b$ を Col $(Q)$ へ射影する