線形代数 · 第17回 · 動画1 · インタラクティブ教材

三つの規則がすべての行列式を決める

I重要な公式

性質	内容	意味
1. 正規化	$\det(I) = 1$	単位行列の行列式は 1
2. 行の入れ替え	2つの行を入れ替える $\Rightarrow \det$ の符号が反転する	入れ替えるたびに行列式に $-1$ が掛かる
3A. スカラー倍	1つの行を $t$ 倍する $\Rightarrow \det$ も $t$ 倍になる	行列式は各行に比例する
3B. 行の加法性	1つの行を和に分ける $\Rightarrow \det$ も和に分かれる	1つの行が和のとき、行列式も足し算になる

II可視化1 — 行をスカラー倍すると面積もスカラー倍になる

1つの行をスカラー $t$ 倍すると、平行四辺形の符号つきの面積、つまり行列式も同じ $t$ 倍になります。

スカラー t 1

性質3A： $\det(t\,\mathbf{r}_1,\ \mathbf{r}_2) = t\,\det(\mathbf{r}_1,\ \mathbf{r}_2)$ 。 $t = 0$ では2つの行が平行になり、面積はつぶれて 0 になります。

III可視化2 — 行を入れ替えると符号が反転する

行列式は、2つの行が張る平行四辺形の符号つきの面積です。行を入れ替えると、その向きが逆になります。

性質2：行を1回入れ替えるたびに、 $\det$ に $-1$ が掛かります。その帰結として、2つの行が等しいと、入れ替えても何も変わらないのに $\det$ の符号は反転しなければならず、 $\det = 0$ が導かれます。

IV可視化3 — 行列式は足し算を保たない

$A = I$ 、 $B = kI$ のとき、 $\det(A+B)$ は $\det(A) + \det(B)$ に等しいでしょうか。

スカラー k 1

2つが一致するのは $k = 0$ のときだけです。差はちょうど $(1+k)^2 - (1+k^2) = 2k$ で、これは行ごとの線形性では扱えない交差項です。

V確認クイズ

問1

$3 \times 3$ の単位行列は $\det(I) = 1$ です。行の入れ替えを2回行います。まず1行目と3行目を、次に2行目と3行目を入れ替えます。

できあがる置換行列の行列式はいくつですか。

✅ 正解です！ 2回の入れ替えで符号が2回反転します： $(+1) \to (-1) \to (+1)$ 。偶置換の行列式は必ず $\det = +1$ です。

❌ 惜しい！ 1回の入れ替えで符号は1回反転します。2回反転すると、元の符号に戻ります。

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解答：

$\det(I) = 1$ （性質1）から始めます。

1回目の入れ替え（1行目 $\leftrightarrow$ 3行目）：行列式は反転して $-1$ になる（性質2）
2回目の入れ替え（2行目 $\leftrightarrow$ 3行目）：行列式は反転して $+1$ になる（性質2）

2回の入れ替え = 2回の符号の反転： $1 \times (-1) \times (-1) = +1$ 。

これは偶置換（入れ替えの回数が偶数）なので、 $\det = +1$ です。

問2

正しいか誤りか： 任意の $n \times n$ 行列 $A$ 、 $B$ に対して、 $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ である。

✅ 正解です！ 行列式は各行についてそれぞれ別々に線形なのであって、行列全体について線形なのではありません。

❌ 惜しい！ $A = B = I$ で試してみましょう。 $\det(I + I) = \det(I) + \det(I)$ は成り立つでしょうか。

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解答：誤り。

反例： $A = B = I_{2 \times 2}$ とします。

$\det(A) = 1$ , $\;\det(B) = 1$ , $\;\Rightarrow\; \det(A) + \det(B) = 2$
$A + B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $\;\Rightarrow\; \det(A + B) = 4$
$4 \neq 2$ ✗

性質3が許すのは、ほかの行をすべて固定したまま一度に一つの行を分けることです。行列全体を足すとすべての行が同時に変わってしまいます。これは公理が許していることではありません。

問3

$M = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の1行目は $2 \cdot [3, 2]$ と書けます。

性質3A（スカラー倍）を使うと、 $\det(M)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 1行目から 2 をくくり出し、簡単になった行列式（= 7）を計算してから掛けます： $2 \times 7 = 14$ 。

❌ 惜しい！ まず1行目からスカラー 2 をくくり出し（性質3A）、簡単になった行列の行列式を計算して、最後に掛けましょう。

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解答：

1行目 $= [6, 4] = 2 \cdot [3, 2]$ です。性質3Aより：

$\det\begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

計算すると： $\det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 3 \times 3 - 2 \times 1 = 9 - 2 = 7$ 。

したがって： $\det(M) = 2 \times 7 = \mathbf{14}$ 。

検算： $6 \times 3 - 4 \times 1 = 18 - 4 = 14$ ✓

問4

ある正方行列には等しい行が2つあります。その行列式が 0 でなければならないことを直接導く性質はどれですか。

✅ 正解です！ 等しい行を入れ替えると符号は反転するのに、行列は変わりません。よって $\det = -\det$ となり、 $\det = 0$ が導かれます。

❌ 惜しい！ 行の入れ替えを扱う性質はどれかを考えましょう。入れ替える2つの行が等しいとき、何が起こるでしょうか。

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解答：性質2（行の入れ替えで符号が反転する）。

次のような見事な議論です：

$M$ には等しい行が2つある（ $i$ 行目と $j$ 行目）とします。
$i$ 行目と $j$ 行目を入れ替えます。性質2より、 $\det(M_{\text{入れ替え後}}) = -\det(M)$ 。
ところが2つの行は等しいので、入れ替えても何も変わりません： $M_{\text{入れ替え後}} = M$ 。
したがって $\det(M) = -\det(M)$ 。
自分自身のマイナスに等しい数は 0 しかありません。

$\det(M) = -\det(M) \;\Longrightarrow\; 2\det(M) = 0 \;\Longrightarrow\; \det(M) = 0$

正解数：0 / 4