線形代数 · 第17回 · 動画2 · インタラクティブ教材

必要なのは三つの公理だけ

I重要な公式

内容	名称	役割
$\det[\ldots;\, t\,\mathbf{r};\, \ldots] = t\,\det[\ldots;\, \mathbf{r};\, \ldots]$	公理1 — 各行についての線形性	出発点の仮定
2つの行を入れ替えると $\det$ の符号が反転する	公理2 — 符号の反転	出発点の仮定
$\det(I) = 1$	公理3 — 正規化	出発点の仮定
等しい2つの行 $\Rightarrow \det = 0$	性質4	公理1 + 2 から導かれる
消去は $\det$ を保つ	性質5	公理1 + 性質4 から導かれる
零行 $\Rightarrow \det = 0$	性質6	公理1 から導かれる

II可視化1 — 等しい行は面積をつぶす

$2\times 2$ 行列では、 $\det$ は2つの行が張る平行四辺形の符号つきの面積です。

💡 2つの等しい行を入れ替えても行列は変わりませんが、符号は反転しなければなりません（公理2）。よって $\det = -\det$ となり、 $\det = 0$ が導かれます（性質4）。

III可視化2 — 消去はせん断し、面積は保たれる

2行目を $\text{2行目} - \ell\,\text{1行目}$ で置き換えると、平行四辺形はせん断されます。では、符号つきの面積は変わるでしょうか。

乗数 ℓ 0

💡 2行目の先端は1行目に平行に動くので、その底辺からの高さ、したがって面積はまったく変わりません。これが性質5です。

IV可視化3 — 消去と行のスカラー倍

2つの行基本変形のうち、一方は $\det$ を変えず、もう一方はそれを $k$ 倍します。どちらがどちらでしょうか。

倍率 k 1

💡 ガウスの消去法は $\det$ を保つ操作しか使わないので、行列は三角形になるまでずっと同じ行列式を保ちます。

V確認クイズ

問1

行列 $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \end{bmatrix}$ を考えます。 $\det(A)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 等しい行があると、行列式は 0 になります（性質4）。

❌ 惜しい！ 1行目と2行目をよく見てください。等しくなっています。性質4から何がわかるでしょうか。

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解答：

1行目と2行目はどちらも $[4,\, 1,\, 3]$ で、等しい行です。

性質4より：行列に等しい行が2つあれば、 $\det = 0$ です。

証明のおさらい： 等しい2つの行を入れ替えても同じ行列なので、 $\det(A)$ は変わりません。ところが公理2によれば、どの入れ替えでも符号が反転します： $\det(A) = -\det(A)$ 。したがって $2\det(A) = 0$ となり、 $\det(A) = \boxed{0}$ です。

計算は不要です。性質からすぐに答えが出ます。

問2

$\det(A) = 5$ だとわかっています。消去のステップ「3行目 $\leftarrow$ 3行目 $- 4 \cdot$ 1行目」を行います。得られる行列の行列式はいくつですか。

✅ 正解です！ 乗数がいくつであっても、消去は行列式を保ちます。

❌ 惜しい！ 消去と行のスカラー倍を混同しているかもしれません。消去は、ある行の定数倍を別の行から引く操作です。行列式は変わりません。

❌ 惜しい！ 性質5によれば、消去は行列式をそのまま保ちます。乗数の値は関係ありません。

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解答：

操作「3行目 $\leftarrow$ 3行目 $- 4\cdot$ 1行目」は消去のステップ、つまりある行の定数倍を別の行から引く操作です。

性質5より、 $\ell$ がどんな値でも、消去は行列式を保ちます：

$\det(A') = \det(A) = \boxed{5}$

よくある間違い： これを行のスカラー倍（ $4 \cdot$ 行）と混同すること。スカラー倍なら行列式は 4 倍されて 20 になります。しかし消去は定数倍を引く操作で、行をスカラー倍するわけではありません。

問3

正しいか誤りか： 零行をもつ行列の行列式は 0 である。なぜなら、零行を $0 \cdot [1, 1, \ldots, 1]$ と書き、公理1（線形性）を使ってその $0$ をくくり出せるからである。

✅ 正解です！ 性質6は、公理1（線形性）のスカラー倍の部分からすぐに導かれます。

❌ 惜しい！ 線形性のスカラー倍の部分が何をするかを考えましょう：det[...; t r; ...] = t det[...; r; ...]。t = 0 のときはどうなるでしょうか。

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解答：正しい

これはまさに性質6の証明です。零行を $0 \cdot [1, 1, 1]$ と書き直します：

$\det\begin{bmatrix} \text{row}_1 \\ \mathbf{0} \\ \text{row}_3 \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} \text{row}_1 \\ 0 \cdot [1,1,1] \\ \text{row}_3 \end{bmatrix} = 0 \cdot \det\begin{bmatrix} \text{row}_1 \\ [1,1,1] \\ \text{row}_3 \end{bmatrix} = 0$

公理1のスカラー倍の部分によって $0$ を前にくくり出せます。そして $0$ に何を掛けても $0$ です。

問4

$\det(A) = 7$ である $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$ から始めて、次の2つの操作を順に行います：

消去： 2行目 $\leftarrow$ 2行目 $- 2 \cdot$ 1行目
スカラー倍： 2行目 $\leftarrow 3 \cdot$ 2行目

最後に得られる行列の行列式はいくつですか。

✅ 正解です！ 消去では det = 7 のままで、次に 3 倍するので 3 × 7 = 21 です。

❌ 惜しい！ 消去は行列式を保ちますが、スカラー倍のステップは行列式を変えます。行をスカラー倍することについて、公理1は何と言っているでしょうか。

❌ 惜しい！ 2つの操作のうち、行列式を変えるのは一方だけです。どちらでしょうか。

❌ 惜しい！ 各ステップを別々に考えましょう。消去は行列式を保ち、スカラー倍は行列式にその倍率を掛けます。

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解答：

操作を1つずつ順に適用します：

ステップ1 — 消去（2行目 $\leftarrow$ 2行目 $- 2\cdot$ 1行目）：

性質5より、消去は行列式を保ちます： $\det = 7$ 。

新しい2行目： $[5 - 2(3),\; 4 - 2(1)] = [-1,\; 2]$ 。

ステップ2 — スカラー倍（2行目 $\leftarrow 3\cdot$ 2行目）：

公理1（スカラー倍の部分）より、1つの行を $k$ 倍すると $\det$ も $k$ 倍になります：

$\det = 3 \times 7 = 21$

検算： 最後の行列 $= \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$ なので、 $\det = 3(6) - 1(-3) = 18 + 3 = \boxed{21}$ ✓

正解数：0 / 4