線形代数 · 第17回 · 動画3 · インタラクティブ教材

対角成分を掛けるだけ：消去法で行列式を求める

I重要な公式

公式	名称	要点
$\det(U) = u_{11} \cdot u_{22} \cdots u_{nn}$	三角行列の行列式	対角成分の積
$\det(A) = (-1)^r \, p_1 \, p_2 \cdots p_n$	消去法による公式	$r$ = 行の入れ替えの回数、 $p_i$ = ピボット
$R_i \leftarrow R_i + c\,R_j$	行の置き換え（性質5）	行列式を変えない
$R_i \leftrightarrow R_j$	行の入れ替え（性質2）	行列式の符号が反転する

II可視化1 — 三角行列の行列式 = 対角成分の積

三角行列では、行列式に効いてくるのは対角成分だけです。対角線より上の成分はまったく効きません。

💡 行の置き換えを使えば、行列式を変えずに対角線より上の成分をすべて消せます。だから残るのは対角成分の積だけです。

III可視化2 — 消去法で行列式を追跡する

消去法は $A$ を上三角形まで変形します。その一手一手は、行列式を変えないか、符号を反転させるかのどちらかです。

行列ステップ 0

IV可視化3 — 数値計算ライブラリが消去法を使う理由

余因子展開の計算量は $O(n!)$ 、消去法は $O(n^3)$ です。 $n$ が大きくなると、その差は爆発的に広がります。

行列のサイズ n 5

V確認クイズ

問1

次の上三角行列を考えます。

$U = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

$\det(U)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 三角行列の行列式は対角成分の積です：2 × 5 × 3 = 30。

❌ 惜しい！ 三角行列では、効いてくるのは対角成分だけです。それらを掛け合わせましょう。

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解答：

上三角行列の行列式は、対角成分の積に等しくなります。

$\det(U) = 2 \times 5 \times 3 = 30$

非対角成分 $(3, 1, 4)$ は行列式に影響しません。動画の議論で確かめられます。まず行の置き換えで対角線より上の成分を 0 にし（性質5：行列式は不変）、次に各対角成分をくくり出すと（性質3A）、単位行列が残ります（性質1：det = 1）。

問2

行列 $A$ にガウスの消去法を行ったところ、行の入れ替えを1回行って、次の上三角形に到達しました。

$U = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 5/2 \end{bmatrix}$

$\det(A)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ ピボットの積は 15 ですが、1回の行の入れ替えで符号が反転して −15 になります。

❌ あと一歩！ ピボットの積は合っていますが、行の入れ替えによる符号の反転を忘れています。入れ替えを1回するごとに、行列式は −1 倍されます。

❌ 惜しい！ 公式 det(A) = (−1)^r ×（ピボットの積）を当てはめましょう。ここで r は行の入れ替えの回数です。

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解答：

消去法による公式を使います： $\det(A) = (-1)^r \times p_1 \times p_2 \times p_3$

ステップ1 — ピボットの積： $p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 3 \times 2 \times \tfrac{5}{2} = 15$

ステップ2 — 符号の補正：入れ替えは $r = 1$ 回なので、 $(-1)^1 = -1$

ステップ3 — 最終的な答え： $\det(A) = (-1) \times 15 = -15$

行の入れ替えを1回するごとに、行列式の符号が反転します（性質2）。この符号の補正を忘れるのが、いちばんよくある間違いです！

問3

正しいか誤りか：ガウスの消去法でピボットが 0 になり、行の入れ替えでも直せない（その列の下に 0 でない成分がない）ならば、 $\det(A) = 0$ である。

✅ 正解です！ 入れ替えでも直せないピボットの 0 は、対角成分の積に 0 が入ることを意味するので、det = 0 になります。

❌ 惜しい！ ピボットが1つでも 0 なら、ピボットの積全体が 0 になり、行列式も 0 になります。

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答え：正しい

理由は次のとおりです。

行の入れ替えで 0 でないピボットが得られないなら、消去法の結果、上三角形 $U$ にはすべて 0 の行が現れます。
その零行があるということは、少なくとも1つの対角成分（ピボット）が $0$ だということです。
ピボットの積は因子 $0$ を含むので、積は $0$ です。
したがって $\det(A) = (-1)^r \times 0 = 0$ です。

行列式が 0 であることは、行列が特異である、つまり逆行列をもたないことを意味します。これが動画で見た「白黒はっきりつける判定」です： $\det(A) = 0 \iff A$ は特異。

問4

$4 \times 4$ 行列 $A$ にガウスの消去法を行い、行の入れ替えを3回行いました。得られた上三角行列のピボットは $2, -1, 4, 3$ です。

$\det(A)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 奇数回の入れ替えによるマイナスと、負のピボットによるマイナスが打ち消し合い、det(A) = 24 になります。

❌ あと一歩！ 符号の補正を忘れたか、マイナスを1つ見落としたのかもしれません。丁寧に追いましょう：(−1)³ × (2)(−1)(4)(3) = (−1)(−24) = 24。

❌ 惜しい！ まず4つのピボットをすべて掛け合わせ、それから行の入れ替えに対する (−1)^r の符号の補正を当てはめましょう。

解答を見る

解答：

$\det(A) = (-1)^r \times p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot p_4$ を当てはめます。

ステップ1 — ピボットの積： $2 \times (-1) \times 4 \times 3 = -24$

ステップ2 — 符号の補正：入れ替えは $r = 3$ 回なので、 $(-1)^3 = -1$

ステップ3 — 組み合わせる： $\det(A) = (-1) \times (-24) = 24$

2つのマイナス（奇数回の入れ替えによるものと、負のピボットによるもの）が打ち消し合い、行列式は正になります。

正解数：0 / 4