線形代数 · 第17回 · 動画4 · インタラクティブ教材

行列式の積の法則と転置：行列の積がただの掛け算になる

I重要な公式

公式	名称	説明
$\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$	積の法則（性質9）	行列の積がスカラーの掛け算になる
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$	逆行列の行列式	$\det(A) \neq 0$ が必要
$\det(cA) = c^n \cdot \det(A)$	スカラー倍	$n$ = 行列のサイズ、 $c$ = スカラー
$\det(A^T) = \det(A)$	転置の性質（性質10）	行についての性質 $=$ 列についての性質

II可視化1 — $c$ 倍すると行列式は $c^n$ 倍になる

$n \times n$ 行列の成分をすべて $c$ 倍すると、行列式は $c$ 倍ではなく $c^n$ 倍になります。

スカラー c 2 次元 n

III可視化2 — 変換を合成すると行列式どうしが掛け合わされる

$B$ を施してから $A$ を施すと、面積の拡大率どうしが掛け合わされます。だから $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ です。

a₁₁ 1 a₁₂ 1 a₂₁ 0 a₂₂ 2 b₁₁ 2 b₁₂ 0 b₂₁ 1 b₂₂ 1

$\det$ には和についての法則がありません。一般に $\det(A + B) \neq \det(A) + \det(B)$ です。たとえば $\det(2I) = 4$ ですが、 $\det(I) + \det(I) = 2$ です。

IV可視化3 — べき乗も逆行列も、1つの数で決まる

$A$ のべき乗と逆行列の行列式は、すべて1つの数で決まります： $\det(A^k) = [\det(A)]^k$ 、 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ 。

det(A) 2

V確認クイズ

問1

$A$ を $\det(A) = 3$ の $4 \times 4$ 行列とします。

$\det(2A)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 4本の行それぞれから 2 が1つずつ出てくるので、 $2^4 \cdot 3 = 48$ です。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう： $\det(cA) = c^n \cdot \det(A)$ で、 $n$ は行列のサイズです。ここでは $c = 2$ 、 $n = 4$ です。

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解答：

$\det(A) = 3$ の $4 \times 4$ 行列なので：

$\det(2A) = 2^4 \cdot \det(A) = 16 \cdot 3 = 48$

よくある間違い：

6： $2 \cdot 3$ と計算した。スカラーが $n$ 乗されることを忘れている
16： $2^4 = 16$ と計算した。 $\det(A)$ を掛けるのを忘れている
24： $2^3 \cdot 3 = 24$ とした。サイズを取り違えている（ $n = 4$ ではなく $n = 3$ を使った）

問2

$A$ と $B$ がどちらも $2 \times 2$ の単位行列 $I_2$ に等しいとします。正しいのはどれですか。

✅ 正解です！ この古典的な反例から、行列式は和とかみ合わないことが分かります。

❌ 惜しい！ スカラー倍の性質 $\det(cA) = c^n \cdot \det(A)$ を使って、 $\det(2I_2)$ を計算しましょう。

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解答：

$A = B = I_2$ のとき：

$A + B = 2I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A + B) = \det(2I_2) = 2^2 \cdot \det(I_2) = 4 \cdot 1 = 4$

$\det(A) + \det(B) = 1 + 1 = 2$

$4 \neq 2$ なので、行列式は和に対して分配されません。これが動画で見た古典的な反例です！

問3

$\det(A) = 5$ のとき、 $\det(A^3) \cdot \det(A^{-1})$ はいくつですか。

ヒント：べき乗の法則と逆行列の法則の両方を使いましょう。

✅ 正解です！ $5^3 \cdot \frac{1}{5} = 25$ です。同じことですが、 $\det(A^2) = 5^2 = 25$ とも計算できます。

❌ 惜しい！ 分けて考えましょう： $\det(A^3) = [\det(A)]^3$ 、 $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ 。それから掛け合わせます。

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解答：

べき乗の法則と逆行列の法則を使います。

$\det(A^3) = [\det(A)]^3 = 5^3 = 125$

$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5}$

$\det(A^3) \cdot \det(A^{-1}) = 125 \cdot \frac{1}{5} = 25$

エレガントな別解：積の法則を使うと

$\det(A^3) \cdot \det(A^{-1}) = \det(A^3 \cdot A^{-1}) = \det(A^2) = [\det(A)]^2 = 5^2 = 25$

問4

正しいか誤りか：行列の2つの行を入れ替えると行列式の符号が反転するならば、2つの列を入れ替えても行列式の符号は反転する。

✅ 正解です！ 転置の性質により、行についての性質には必ず、列についての対応する性質が自動的についてきます。

❌ 惜しい！ $\det(A^T) = \det(A)$ から何が言えるか考えましょう。 $A$ に対する列の操作は、 $A^T$ に対する対応する行の操作と同じです。

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解答：正しい

転置の性質により、 $\det(A^T) = \det(A)$ です。

$A$ に対する列の操作は、 $A^T$ に対する対応する行の操作と同じです。 $\det(A^T) = \det(A)$ なので、行について成り立つ性質は、自動的に列についても成り立ちます。

具体的には： $A$ の第 $i$ 列と第 $j$ 列を入れ替えることは、 $A^T$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行を入れ替えることと同じです。この行の入れ替えで $\det(A^T)$ の符号が反転します。ところが $\det(A^T) = \det(A)$ なので、列の入れ替えで $\det(A)$ の符号も反転します。

行の規則には必ず列の双子があり、しかもただで手に入るのです！

正解数：0 / 4

行列式の積の法則と転置：行列の積がただの掛け算になる

I重要な公式

II可視化1 — ccc 倍すると行列式は cnc^ncn 倍になる

III可視化2 — 変換を合成すると行列式どうしが掛け合わされる

IV可視化3 — べき乗も逆行列も、1つの数で決まる

V確認クイズ

II可視化1 — $c$ 倍すると行列式は $c^n$ 倍になる