線形代数 · 第19回 · 動画3 · インタラクティブ教材

行列式は体積を測る秘密の装置

I重要な公式

公式	名称	使う場面
$\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$	2×2 行列の行列式	行列式の基本的な計算
$\text{平行四辺形の面積} = \lvert ad - bc \rvert$	平行四辺形の面積	原点から伸びるベクトル $(a,b)$ と $(c,d)$ が辺のとき
$\text{三角形の面積} = \tfrac{1}{2}\lvert ad - bc \rvert$	三角形の面積（頂点の1つが原点）	頂点の1つが原点にあり、残りが $(a,b)$ と $(c,d)$ にあるとき
$\text{面積} = \tfrac{1}{2}\left\lvert\det\begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}\right\rvert$	一般の三角形の面積	任意の3頂点 $(x_i, y_i)$ に使える

II可視化1 — 平行四辺形の面積

$A$ の2つの行ベクトルは平行四辺形を張り、その面積はちょうど $\lvert\det A\rvert$ です。

💡 チャレンジ： $\mathbf{v}_2$ を $\mathbf{v}_1$ を通る直線の上までドラッグしてみましょう。平行四辺形はつぶれて、 $\det A = 0$ になります。

III可視化2 — 特異行列へのつぶれ

$\mathbf{v}_2$ が固定された $\mathbf{v}_1 = (3,1)$ のほうへ回り込むにつれて、面積は一次関数的に 0 まで減ります： $\text{面積} = 11(1-t)$ 。

t

0.00

💡 $t = 1$ では2つの行が一次従属になり、 $A$ は特異になります。行列式は、面積を測ることと可逆性を判定することを同時に行っているのです。

IV可視化3 — 行列式から求める三角形の面積

三角形の面積は、3つの頂点から作った $3\times 3$ 行列の $\tfrac{1}{2}\lvert\det\rvert$ です。使うのは座標だけで、高さは要りません。

💡 チャレンジ：3つの頂点を一直線上にドラッグしてみましょう。面積は $0$ になります。一直線上に並ぶ3点は、三角形にとっての特異行列にあたります。

V確認クイズ

問1

ある平行四辺形は、原点から伸びるベクトル $\mathbf{v}_1 = (2, 5)$ と $\mathbf{v}_2 = (3, -1)$ に沿った辺をもちます。

この平行四辺形の面積はいくつですか？

✅ 正解です！ det = (2)(−1) − (5)(3) = −17 なので、面積 = |−17| = 17 です。

❌ 惜しい！ a=2, b=5, c=3, d=−1 として det = ad − bc を計算し、その絶対値をとりましょう。

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解答：

2つのベクトルを行ベクトルとして行列を作ります： $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$

$\det(A) = (2)(-1) - (5)(3) = -2 - 15 = -17$

$\text{面積} = |\det(A)| = |-17| = \boxed{17}$

行列式が負なのは、2つのベクトルが左手系（時計回り）の向きをなしていることを表しています。しかし面積は、常にその絶対値です。

問2

正しいか誤りか： $\det(A) = -5$ ならば、 $A$ の行ベクトルが作る平行四辺形の面積は $-5$ である。

✅ 正解です！ 面積は常に |det(A)| ≥ 0 です。符号が表すのは向きであって、負の面積ではありません。

❌ 惜しい！ 図形の面積が負になることはあるでしょうか？行列式の符号が本当は何を表しているのかを考えてみましょう。

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解答：誤り。

面積や体積は常に0以上です。行列式は負になることがありますが、その符号が表すのは向き（右手系か左手系か）であって、「負の面積」ではありません。

$\text{面積} = |\det(A)| = |-5| = 5$

$\det > 0$ ：右手系の向き（反時計回り）
$\det < 0$ ：左手系の向き（時計回り）
$|\det|$ ：実際の面積で、常に $\ge 0$

問3

ある三角形の頂点は $(1, 2)$ 、 $(4, 6)$ 、 $(5, 1)$ です。

行列式を使う方法で求めると、この三角形の面積はいくつですか？

ヒント：すべて 1 の列を加えて 3×3 行列を作り、その行列式を計算して、絶対値の半分をとります。

✅ 正解です！ det = −19 なので、面積 = ½|−19| = 19/2 = 9.5 です。

❌ あと一歩！ 行列式は正しく求められていますが、三角形は平行四辺形の半分です。½ 倍を忘れないようにしましょう。

❌ 惜しい！ すべて 1 の列を加えて 3×3 行列を作り、行基本変形で簡単にしてから計算してみましょう。

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解答：

すべて 1 の列を加えて 3×3 行列を作ります：

$\det\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

行基本変形：1行目と2行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix} -4 & 1 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \\ 5 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3列目に沿って展開します（0 でない成分は一番下の成分だけです）：

$\det = 1 \cdot \det\begin{bmatrix} -4 & 1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix} = (-4)(5) - (1)(-1) = -20 + 1 = -19$

$\text{面積} = \frac{1}{2}|-19| = \frac{19}{2} = \boxed{9.5}$

問4

行列 $A$ で表される線形変換が、単位正方形（面積 = 1）を平行四辺形に写します。 $\det(A) = 0$ のとき、変換の結果を最もよく表しているのはどれですか？

✅ 正解です！ det = 0 は、変換が空間をつぶしてしまうことを意味します。行列は特異で、像の面積は 0 です。

❌ 惜しい！ |det| = 0 が、写った先の平行四辺形の面積について何を意味するか、そして行ベクトルについて何を語っているかを考えてみましょう。

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解答： 正方形は線分または点につぶれます（面積 = 0）。

$\det(A) = 0$ のとき：

変換は空間の少なくとも1つの次元をつぶす
単位正方形は線分か1点に平たくつぶれる
面積 = $|\det(A)| = |0| = 0$
行列は特異（可逆でない）であり、その行ベクトルは一次従属である

これが特異性の幾何学的な意味です。行ベクトルは2次元の領域全体を張らないので、どんな図形の像もより低い次元に押しつぶされます。

同じ考え方は $n$ 次元にも拡張できます。 $\det(A) = 0$ は、 $n$ 次元の超体積が 0 につぶれることを意味します。

正解数：0 / 4