線形代数 · 第2回 · 動画1 · インタラクティブ教材

ガウスの消去法と後退代入

I重要な公式

公式	名称	説明
$\ell_{ij} = \dfrac{a_{ij}}{a_{jj}}$	乗数	消去する成分とピボットの比
$R_i \leftarrow R_i - \ell_{ij} \cdot R_j$	行基本変形	$(i, j)$ の位置の成分を消去する
$\det(A) = p_1 \cdot p_2 \cdots p_n$	行列式	$U$ のピボットの積
後退代入	$Ux = c$ を解く	一番下の式から上へ順に解く

II可視化1 — 前進消去

行基本変形を1回行うたびに、対角線より下の成分が1つ 0 になり、 $[A \mid b]$ は上三角形へと近づいていきます。

ステップ 0

拡大係数行列 [A | b]

ステップ0 · 準備

ピボットは

a_{11}=1

です。その下の成分

a_{21}=3

を

0

にしなければなりません。

ステップ1 · 1列目を消去

R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1

、乗数は

\ell_{21}=\tfrac{3}{1}=3

です。新しいピボットは

a_{22}=2

、消去する成分は

a_{32}=4

です。

ステップ2 · 2列目を消去

R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2

、乗数は

\ell_{32}=\tfrac{4}{2}=2

です。ピボット

1,2,5

から

\det A = 10

が得られます。

III可視化2 — 消去法が破綻するとき

成分 $a_{33}$ を1つ動かすと、3番目のピボット $p_3 = a_{33}+4$ も動きます。それが $0$ になると、行列は特異になります。

成分 a₃₃ 1

💡 ピボットが 0 になること、行列式が 0 になること、行列が特異になることは、すべて同じ1つの出来事です。ここでは $a_{33} = -4$ で起こります。

IV可視化3 — 後退代入

一番下の式には未知数が1つしかありません。変数を1つ求めるたびに、1つ上の行で新しい未知数がちょうど1つ解けるようになります。

ステップ 0

解ベクトル x

V確認クイズ

問1

動画に出てきた拡大係数行列を考えます： $[A \mid b] = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 2 \\ 3 & 8 & 1 & | & 12 \\ 0 & 4 & 1 & | & 2 \end{bmatrix}$

最初の消去のステップでは $R_2 \leftarrow R_2 - \ell_{21} \cdot R_1$ を行います。乗数 $\ell_{21}$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 乗数は、消去する成分 ÷ ピボット = 3/1 = 3 です。

❌ 惜しい！ 乗数は（消去する成分）÷（ピボット）= a₂₁ / a₁₁ です。

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解答

乗数は、消去する成分とピボットの比です：

$\ell_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{3}{1} = 3$

次に $R_2 \leftarrow R_2 - 3 \cdot R_1$ を行って、 $(2,1)$ の位置を 0 にします。

よくある間違い： $\frac{a_{11}}{a_{21}} = \frac{1}{3}$ と計算してしまうこと。乗数は消去する成分 $\div$ ピボットで、その逆ではありません。

問2

前進消去のあと、上三角行列 $U$ の対角線上にはピボット $1, 2, 5$ が並んでいます。 $\det(A)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ det(A) = ピボットの積 = 1 × 2 × 5 = 10 です。

❌ 惜しい！ 思い出してください。行列式はピボットの和ではなく、積です。

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解答

行列式は、 $U$ のピボットの積に等しくなります：

$\det(A) = p_1 \times p_2 \times p_3 = 1 \times 2 \times 5 = 10$

$\det(A) \neq 0$ なので、行列は可逆（正則）であり、連立方程式は一意解をもちます。

よくある間違い：

ピボットをたしてしまう： $1 + 2 + 5 = 8$ ✗（行列式は和ではなく積です）
対角線上の成分をすべてたすのも誤りです

問3

正しいか誤りか：ガウスの消去法の途中でピボットの位置に 0 が現れたら、その行列は必ず特異（可逆でない）である。

✅ 正解です！ ピボットが 0 でも、行の入れ替えで直せることがあります（一時的な破綻）。行列が特異になるのは、その下に 0 でない成分が1つもないときだけです。

❌ 惜しい！ 考えてみましょう。0 のピボットの下に 0 でない成分があって、その行と入れ替えられるとしたらどうでしょうか。

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解答：誤り

ピボットの位置に 0 があっても、行列が特異だとは限りません：

一時的な破綻：0 のピボットの下に 0 でない成分があれば、行を入れ替えて（行の入れ替え）消去を続けられます。行列は可逆のままかもしれません。
永続的な破綻：0 のピボットの下の成分もすべて 0 なら、どんな行の入れ替えも役に立ちません。そのときに限り、行列は特異で $\det(A) = 0$ です。

見分けるポイント：下に、入れ替えに使える 0 でない成分が見つかるかどうかです。

問4

三角形の連立方程式を後退代入で解いています。 $z = -2$ が求まったので、式(2)に代入します：

$2y - 2(-2) = 6$

$y$ の値はいくつですか。

✅ 正解です！ $-2 \times (-2) = +4$ なので $2y + 4 = 6$ となり、 $y = 1$ が得られます。

❌ 惜しい！ マイナスどうしのかけ算に注意してください： $-2 \times (-2) = +4$ です（ $-4$ ではありません）。

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解答

$z = -2$ を式(2)に代入します： $2y - 2(-2) = 6$ $2y + 4 = 6 \quad \text{（マイナスどうしの積：} -2 \times (-2) = +4\text{）}$ $2y = 2$ $y = 1$

よくある間違い： $-2 \times (-2)$ の符号を間違えること。

$-2 \times (-2) = -4$ と計算して $+4$ にしなかった場合、 $2y - 4 = 6 \Rightarrow y = 5$ となってしまいます。✗

正解数：0 / 4