線形代数 · 第2回 · 動画2 · インタラクティブ教材

消去行列：行基本変形は行列の積で表せる

I重要な公式

概念	公式 / 規則	説明
列の見方	$A\mathbf{x} = x_1\mathbf{c}_1 + x_2\mathbf{c}_2 + x_3\mathbf{c}_3$	行列 × 列ベクトル = 列の一次結合
行の見方	$\mathbf{x}^T A = x_1\mathbf{r}_1 + x_2\mathbf{r}_2 + x_3\mathbf{r}_3$	行ベクトル × 行列 = 行の一次結合
消去行列	$I$ から始めて、 $-\ell$ を $(i,j)$ の位置に置く	$\ell$ 倍した $j$ 行目を $i$ 行目から引く
消去全体	$E_{32}\,E_{21}\,A = U$	消去行列の積 $\to$ 上三角行列

II可視化1 — 左から掛けると行が組み合わさる

行ベクトルに $A$ を掛けると、 $A$ の行が混ざり合います。では、 $[c_1, c_2, c_3]\,A$ は何になるでしょうか。

c₁ 0 c₂ 1 c₃ 0

III可視化2 — 単位行列から E を組み立てる

$-\ell$ を1つだけ $I$ の $(i,j)$ の位置に置くと、 $E$ は $A$ にどんな行基本変形を行うでしょうか。

対象の行ピボットの行乗数 ℓ 3

IV可視化3 — 順番が大事

$E_{32}E_{21}$ と $E_{21}E_{32}$ は同じ結果になるでしょうか。 $(3,1)$ の位置と、最後に得られる形に注目します。

積の順番

💡 結合法則があるので、くくり方は変えられます（ $(E_{32}E_{21})A = E_{32}(E_{21}A)$ ）。しかし可換ではないので、消去行列を掛ける順番は大事です。

V確認クイズ

問1

消去行列 $E_{21}$ は、成分 $-3$ を $(2, 1)$ の位置にもちます：

$E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$E_{21}$ を左から掛けると、どんな行基本変形が行われますか。

✅ 正解です！ E₂₁ は、1行目をピボットの行として2行目を変形します。成分が負なので、引き算になります。

❌ 惜しい！ 添字 (2,1) が教えてくれます。対象は2行目、ピボットは1行目です。成分が負なので、たし算ではなく引き算です。

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解答：2行目を「2行目 − 3·(1行目)」で置き換えます。

$E_{21}$ の添字は、対象 = 2行目、ピボット = 1行目を表します。成分 $-3$ は $(2,1)$ の位置にあります。

$E_{21}$ の2行目は $[-3, 1, 0]$ です。左から掛けると、次のようになります： $(-3)\cdot\text{row}_1 + (1)\cdot\text{row}_2 + (0)\cdot\text{row}_3 = \text{row}_2 - 3\cdot\text{row}_1$

乗数は $3$ なので、行列には $-3$ を置きました（符号は常にマイナス）。この操作は引き算をします。

問2 · 正しいか誤りか

行列の積は結合法則を満たすが、可換ではない。つまり、 $(E_{32}\,E_{21})\,A = E_{32}\,(E_{21}\,A)$ は常に成り立つが、一般には $E_{32}\,E_{21} \neq E_{21}\,E_{32}$ である。

✅ 正解です！ 結合法則があるので、くくり方は自由に変えられます。しかし可換性は成り立たず、行列の積では順番が大事です。

❌ 惜しい！ よく読んでください。この文は「結合法則が成り立つ」と「可換性が成り立たない」の2つを主張しています。どちらも正しい主張です！

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解答：正しい

結合法則が成り立つとは、かっこを自由に付け替えられるということです： $(E_{32}\,E_{21})\,A = E_{32}\,(E_{21}\,A)$ どちらも同じ結果 $U$ になります。✅

可換性が成り立つなら、順番を入れ替えてもよいことになります。しかし： $E_{32}E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} = E_{21}E_{32}$

$(3,1)$ の位置： $6 \neq 0$ 。順番が大事なのです！❌

問3

3行目から1行目の $5$ 倍を引きたいとします。左から掛けたときにこれを行う消去行列はどれですか。

✅ 正解です！ 乗数にマイナスを付けたものを、単位行列の $(i, j)$ の位置に置きます。

❌ 惜しい！ 思い出してください。乗数にマイナスを付けたものを、単位行列の $(\text{対象の行}, \text{引く行})$ の位置に置きます。

解答を見る

解答：正しい行列では、 $-5$ が $(3, 1)$ の位置にあります：

$E_{31} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

乗数にマイナスを付けた $-5$ を $(3, 1)$ の位置に置くのは、3行目から1行目の $5$ 倍を引くからです。それ以外は単位行列のままです。

正解数：0 / 3