線形代数 · 第20回 · 動画1 · インタラクティブ教材

向きを変えないベクトル：固有値が明かす行列の本当の姿

I重要な公式

公式	名称	説明
$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$	固有値の方程式	$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ が固有ベクトル、 $\lambda$ がその固有値
$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \text{tr}(A)$	固有値の和	トレース（対角成分の和）に等しい
$\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n = \det(A)$	固有値の積	行列式に等しい
$\lambda = 0 \iff A$ は特異	特異性の判定	固有値 0 があれば $\det(A) = 0$

II可視化1 — 向きを変えない方向

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ が自分の直線の上に残すのはどの方向で、その倍率 $\lambda$ はいくつでしょうか？

方向 θ 20°

💡 $A$ は対称行列なので、2つの固有ベクトルの方向は直交し、固有値は必ず実数になります。

III可視化2 — 固有値はそれぞれの軸を伸び縮みさせる

各固有値は、1本の固有ベクトルの軸に沿って空間を伸ばし、裏返し、あるいはつぶします。もう一方の軸には影響しません。

λ₁（[1, 1] 方向） 2 λ₂（[−1, 1] 方向） −1

IV可視化3 — 回転には実数の固有ベクトルがない

純粋な回転はすべてのベクトルを同じ角度だけ回すので、自分の直線に戻ってくる実数の方向はありません。

回転角 θ 0°

💡 それ以外の角度では固有値は複素数 $e^{\pm i\theta}$ になります。実数の行列でも複素数が避けられないのは、このためです。

V確認クイズ

問1 · 固有値の方程式

$A$ を $2 \times 2$ 行列とし、 $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ を固有値 $\lambda = -3$ に対する $A$ の固有ベクトルとします。

正しいのはどれですか？

✅ 正解です！ 負の固有値は固有ベクトルを裏返し、長さは $|\lambda|$ 倍になります。

❌ 惜しい！ $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ を思い出しましょう。 $\lambda$ が負なら、出力は同じ直線の上にありますが向きが反対で、長さは元の $|\lambda|$ 倍です。

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解答：

固有値の方程式は $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ です。 $\lambda = -3$ なら：

$A\mathbf{x} = -3\,\mathbf{x}$

大きさは $\mathbf{x}$ の長さの $|-3| = 3$ 倍です。
符号が負なので、 $A\mathbf{x}$ は反対の向きを向きます。
それでも $\mathbf{x}$ と同じ直線の上にあります（裏返っただけ）。ですから垂直でもなく、零でもありません。

問2 · トレースと行列式

$3 \times 3$ 行列 $A$ の固有値は $\lambda_1 = 4$ , $\lambda_2 = -1$ , $\lambda_3 = 2$ です。

$A$ のトレースと行列式はいくつですか？

✅ 正解です！ 固有値の和 = トレース、固有値の積 = 行列式です。

❌ 惜しい！ $\text{tr}(A) = \sum \lambda_i$ （和）、 $\det(A) = \prod \lambda_i$ （積）を思い出しましょう。

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解答：

トレース = 固有値の和： $4 + (-1) + 2 = 5$
行列式 = 固有値の積： $4 \cdot (-1) \cdot 2 = -8$

よって $\text{tr}(A) = 5$ 、 $\det(A) = -8$ です。

よくある間違い：トレースと行列式を取り違えること、あるいは演算（和と積）を取り違えることです。

問3 · ゼロ固有値

正しいか誤りか： $\lambda = 0$ が行列 $A$ の固有値ならば、 $A$ は必ず特異である（つまり $\det(A) = 0$ ）。

✅ 正解です！ 行列式は固有値の積なので、固有値に 0 があれば必ず $\det(A) = 0$ になります。

❌ 惜しい！ $\det(A) = \prod \lambda_i$ でした。どれか1つでも $\lambda_i = 0$ なら、積は 0 です。

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解答：

行列式はすべての固有値の積に等しくなります： $\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n$

固有値が1つでも 0 なら積全体が 0 になるので、 $\det(A) = 0$ で、 $A$ は特異です。

言い換えると、 $\lambda = 0$ は $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす 0 でない $\mathbf{x}$ があるということです。つまり $A$ の零空間は非自明で、これこそ特異行列の目印です。

問4 · 固有ベクトルを見分ける

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ とします（動画に出てきた入れ替え行列）。

次のうち、 $A$ の固有ベクトルはどれですか？

✅ 正解です！ $A[-1,1]^T = [1,-1]^T = -1 \cdot [-1,1]^T$ なので、 $\lambda = -1$ です。

❌ 惜しい！ 出力 $A\mathbf{x}$ は $\mathbf{x}$ のスカラー倍でなければなりません。出力が $\mathbf{x}$ をある1つの数で何倍かしただけになっているか確かめましょう。

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解答：

ベクトル $\mathbf{x}$ が $A$ の固有ベクトルであるとは、 $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ となること、つまり出力が入力のスカラー倍になることです。

選択肢を1つずつ確かめます：

$A[2,3]^T = [3,2]^T$ . $[3,2] = \lambda [2,3]$ となるでしょうか？それには $\lambda = 3/2$ かつ $\lambda = 2/3$ が必要です。❌ 固有ベクトルではありません。
$A[1,0]^T = [0,1]^T$ . $[0,1] = \lambda [1,0]$ となるでしょうか？ $0 = \lambda \cdot 1$ かつ $1 = \lambda \cdot 0$ が必要で、これは不可能です。❌
$A[-1,1]^T = [1,-1]^T$ . $[1,-1] = \lambda [-1,1]$ となるでしょうか？はい、 $\lambda = -1$ で成り立ちます。✅ 固有値 $-1$ の固有ベクトルです。
$A[1,2]^T = [2,1]^T$ . $[2,1] = \lambda[1,2]$ となるでしょうか？ $\lambda = 2$ かつ $\lambda = 1/2$ が必要です。❌

したがって条件を満たすのは $[-1, 1]$ だけで、これが $\lambda = -1$ の固有ベクトルです。

VIまとめ

固有値と固有ベクトルの核心となる考えをまとめます：

固有ベクトルは、行列が伸び縮みさせることしかできず、その直線から回し出すことのできない特別な方向です。
固有値は伸び縮みの倍率を教えてくれます：伸びる（ $|\lambda| > 1$ ）、縮む（ $0 < |\lambda| < 1$ ）、裏返る（負）、0 につぶれる（ $\lambda = 0$ ）。
$\text{trace}(A) = \sum \lambda_i$ と $\det(A) = \prod \lambda_i$ は、強力な2つの確認方法です。
固有値 0 をもつ ⟺ 特異行列。
純粋な回転の固有値は複素数で、生き残る実数の方向はありません。

これらの考え方は、ページランク、主成分分析（PCA）、振動解析など、多くの応用を支えています。

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