線形代数 · 第20回 · 動画2 · インタラクティブ教材

固有方程式を解く：固有値と固有ベクトルを求める二段階のレシピ

I重要な公式

公式 名称 説明
Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} 固有値の方程式 λ\lambda = 固有値、x\mathbf{x} = 固有ベクトル
det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0 固有方程式（特性方程式） 根が固有値になる多項式
(A−λiI)x=0(A - \lambda_i I)\mathbf{x} = \mathbf{0} 固有ベクトルの方程式 零空間から固有ベクトルが得られる
∑λi=tr(A),∏λi=det⁡(A)\sum \lambda_i = \text{tr}(A), \quad \prod \lambda_i = \det(A) 確認方法 トレースと行列式との関係

II可視化1 — 固有ベクトルは回転しない

AxA\mathbf{x} が同じ直線の上に留まるのは、固有ベクトルの方向だけです。回転せず、純粋に伸び縮みするだけです。

💡 2つの伸び縮みの倍率 λ=2\lambda = 2 と λ=4\lambda = 4 は、ちょうど固有方程式 λ2−6λ+8=0\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0 の根です。この方程式を解くのが、今回のテーマです。

III可視化2 — cIcI を足すと固有値がずれる

行列に cIcI を足すと、どの固有値も cc だけずれます。それでも、固有ベクトルは1本も動きません。

💡 このずれは厳密です：(P+cI)x=Px+cx=(λ+c)x(P + cI)\mathbf{x} = P\mathbf{x} + c\mathbf{x} = (\lambda + c)\mathbf{x}。つまり cIcI は、固有値 cc をすべての方向に一度に上乗せするのです。

IV可視化3 — 固有多項式

AA の固有値は p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I) の根、つまりそのグラフが 0 を横切る点です。

💡 どんな 2×22\times 2 行列でも、固有方程式は λ2−(tr⁡A) λ+det⁡A=0\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0 です。係数はトレースと行列式からそのまま読み取れます。

V確認クイズ

問1 · 固有多項式を計算する

行列 A=[5225]A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} の固有多項式 det⁡(A−λI)\det(A - \lambda I) はどれですか？

✅ 正解です！ 非対角成分の積を正しく引けています。

❌ 惜しい！ 対角成分の積から 2×2=42 \times 2 = 4 を引き忘れています。

❌ 符号の誤りです。 λ\lambda の係数は −(a+d)-(a+d) なので、+10+10 ではなく −10-10 です。

❌ 惜しい！ トレースは 77 ではなく 5+5=105+5=10 です。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上のヒントが役に立ちます。

解答を見る

解答：

A−λI=[5−λ225−λ]A - \lambda I = \begin{bmatrix} 5-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{bmatrix} を作ります。

行列式を計算します： det⁡(A−λI)=(5−λ)(5−λ)−(2)(2)=25−10λ+λ2−4=λ2−10λ+21\det(A - \lambda I) = (5-\lambda)(5-\lambda) - (2)(2) = 25 - 10\lambda + \lambda^2 - 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 21

確認：トレース =5+5=10= 5 + 5 = 10（−λ-\lambda の係数）、行列式 =25−4=21= 25 - 4 = 21（定数項）。

固有値はその根で、λ=7\lambda = 7 と λ=3\lambda = 3 です。

問2 · 固有ベクトルを求める

A=[4213]A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} の固有値の1つは λ=5\lambda = 5 です。 これに対応する固有ベクトルはどれですか？

✅ 正解です！ A[2,1]T=[10,5]T=5⋅[2,1]TA[2,1]^T = [10, 5]^T = 5 \cdot [2,1]^T です。

❌ 成分が入れ替わっています。 確かめると A[1,2]T=[8,7]TA[1,2]^T = [8, 7]^T で、これは [1,2][1,2] のスカラー倍ではありません。

❌ 惜しい！ A[1,1]T=[6,4]TA[1,1]^T = [6, 4]^T で、[1,1][1,1] のスカラー倍ではありません。

❌ 符号の誤りです。 行基本変形から x1=2x2x_1 = 2x_2 が得られるので、成分は同じ符号です。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上のヒントが役に立ちます。

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解答：

A−5I=[4−5213−5]=[−121−2]A - 5I = \begin{bmatrix} 4-5 & 2 \\ 1 & 3-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} を作ります。

行基本変形：R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1 により [−1200]\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} となります。

1行目から −x1+2x2=0-x_1 + 2x_2 = 0、つまり x1=2x2x_1 = 2x_2 です。x2=1x_2 = 1 とおくと x=[2,1]\mathbf{x} = [2, 1] が得られます。

検算：A[2,1]T=[4(2)+2(1),1(2)+3(1)]T=[10,5]T=5⋅[2,1]TA[2,1]^T = [4(2)+2(1), 1(2)+3(1)]^T = [10, 5]^T = 5 \cdot [2, 1]^T

問3 · ずらしの性質

行列 BB の固有値が {−2,1,5}\{-2, 1, 5\}、固有ベクトルが v1,v2,v3\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 だとします。 B+4IB + 4I の固有値と固有ベクトルはどうなりますか？

✅ 正解です！ cIcI を足すと、固有ベクトルはそのままで、各固有値が cc だけずれます。

❌ 惜しい！ 固有値は変わります（ずれます）。変わらないのは固有ベクトルのほうです。

❌ それは掛け算の場合です。 cAcA の固有値は cλic\lambda_i です。でもここでは 4I4I を足しているので、固有値は何倍かされるのではなくずれます。

❌ 固有値は合っていますが、固有ベクトルは回転しません。 cIcI を足しても、固有ベクトルはまったく変わりません。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上のヒントが役に立ちます。

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解答：

ずらしの性質：Bv=λvB\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} ならば (B+cI)v=Bv+cv=λv+cv=(λ+c)v(B + cI)\mathbf{v} = B\mathbf{v} + c\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} + c\mathbf{v} = (\lambda + c)\mathbf{v}

したがって cIcI を足すと：

  • 各固有値が cc だけずれる：{−2,1,5}→{2,5,9}\{-2, 1, 5\} \to \{2, 5, 9\}
  • 固有ベクトルはすべてそのまま保たれる

これが成り立つのは、単位行列 II にとってはすべてのベクトルが固有ベクトルなので、 どんな行列とも自動的に固有ベクトルを共有するからです。

問4 · 正しいか誤りか — 和の固有値

主張：同じサイズの任意の正方行列 AA と BB について、 A+BA + B の固有値は AA の固有値と BB の固有値の和に等しい。

この主張は正しいでしょうか、誤りでしょうか？

✅ 正解です！ この規則には共通の固有ベクトルが必要です。cIcI がいつでも成り立つ特別な場合なのは、そのためです。

❌ よくある落とし穴です。 この計算が成り立つのは x\mathbf{x} が AA と BB の両方の固有ベクトルであるときだけで、ふつうはそうではありません。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上のヒントが役に立ちます。

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解答：

この主張は一般には誤りです。

誤った議論はこうです：Ax=λxA\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} かつ Bx=αxB\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} ならば、 (A+B)x=(λ+α)x(A+B)\mathbf{x} = (\lambda + \alpha)\mathbf{x}。

隠れた仮定は、同じベクトル x\mathbf{x} が AA と BB の両方の固有ベクトルだということです。 違う行列の固有ベクトルは、ふつうはまったく違う方向を向いています！

cIcI がこの落とし穴を逃れられる理由：単位行列 II にとっては 0 でないすべてのベクトルが固有ベクトルなので、 どんな行列 AA とも自動的に固有ベクトルを共有します。これが、固有値の足し算が成り立つ特別な場合です。

反例：A=[1000]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}（固有値 0, 1）と B=[0110]B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}（固有値 −1,1-1, 1）をとります。すると A+B=[1110]A+B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} の固有値は 1±52\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} で、{0,1}\{0,1\} と {−1,1}\{-1,1\} からどう和をとっても決して得られません。

正解数：0 / 4