線形代数 · 第20回 · 動画3 · インタラクティブ教材

固有値がルールを破るとき：複素数の固有値と足りない固有ベクトル

I重要な公式と性質

概念	公式・規則	補足
固有値の方程式	$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$	ベクトルは自分の直線に留まる
固有方程式（特性方程式）	$\det(A - \lambda I) = 0$	解いて固有値 $\lambda$ を求める
トレースと行列式	$\lambda_1 + \lambda_2 = \text{tr}(A),\ \lambda_1 \lambda_2 = \det(A)$	検算に便利
三角行列	固有値 $=$ 対角成分	上三角でも下三角でもよい
対称性の規則	$A^T = A \Rightarrow$ $\lambda$ は実数； $A^T = -A \Rightarrow$ $\lambda$ は純虚数	実行列では共役な組で現れる

II可視化1 — 回転には実数の固有ベクトルがない

$\theta$ が $0^\circ$ でも $180^\circ$ でもなければ、角 $\theta$ の回転はどの実ベクトルも自分の直線から外してしまうので、実ベクトル $\mathbf{v}$ はどれも固有ベクトルになれません。

回転角 θ 90°

III可視化2 — せん断の固有ベクトルの方向はただ1つ

せん断 $\begin{bmatrix} 3 & s \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ は重複固有値 $\lambda = 3$ をもちますが、動かさない直線は水平な直線だけです。

非対角成分 s 1.0

💡 一次独立な2本目の固有ベクトルが足りないので、このせん断は欠陥行列であり、対角化できません。

IV可視化3 — 複素平面上の固有値

$A = S + N$ と分けると、対称な部分 $S$ は固有値を実軸へ、交代な部分 $N$ は虚軸へと押しやります。

対称な部分 a 1.5 交代な部分 b 0.5

V確認クイズ

問1

$90°$ の回転行列 $Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ を考えます。

その固有値はどれですか。

✅ 正解です！ 交代行列の固有値は純虚数で、必ず共役な組で現れます。

❌ 惜しい！ $\det(Q - \lambda I) = \lambda^2 + 1 = 0$ を計算すると、 $\lambda^2 = -1$ となります。

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解答：

固有方程式を立てます。 $\det(Q - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0$

よって $\lambda^2 = -1$ となり、 $\lambda = \pm i$ です。

検算： $\lambda_1 + \lambda_2 = i + (-i) = 0 = \text{tr}(Q)$ であり、 $\lambda_1 \lambda_2 = i \cdot (-i) = 1 = \det(Q)$ です。

純虚数の固有値をもち、実数の固有ベクトルをもたない。これが交代行列（ $Q^T = -Q$ ）の特徴です。

問2

正しいか誤りか：実行列において、 $3 + 2i$ が固有値ならば、 $3 - 2i$ も必ず固有値である。

✅ 正解です！ 実行列では、複素数の固有値は必ず共役な組で現れます。

❌ 惜しい！ 実行列の固有多項式は実数係数なので、複素数の根は必ず共役な組で現れます。

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解答：

正しい。成分が実数の行列では、固有多項式の係数は実数です。実数係数の多項式の複素数の根は、必ず複素共役な組で現れます。

したがって、 $a + bi$ が固有値ならば $a - bi$ も必ず固有値です。回転行列 $Q$ が固有値 $i$ と $-i$ を一緒にもつのはこのためで、2つは互いに共役です。

問3

$A = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ を考えます。固有値を求め、一次独立な固有ベクトルが何本あるかを判定してください。

✅ 正解です！ 重複固有値に対して、一次独立な固有ベクトルがその重複度より少ないと、行列は欠陥行列になります。

❌ 惜しい！ 三角行列なので、固有値は対角成分 (5, 5) です。次に $(A - 5I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解き、自由パラメータの個数を数えましょう。

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解答：

$A$ は上三角行列なので、固有値は対角成分 $\lambda = 5, 5$ （重複）です。

固有ベクトルを求める： $(A - 5I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を解きます。 $A - 5I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から $x_2 = 0$ が得られます。2行目は $0 = 0$ で、何の情報も与えません。よって $x_1$ は自由変数で、 $x_2 = 0$ です。 $\mathbf{x} = t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

一次独立な固有ベクトルは1本だけで、x 軸の方向です。代数的重複度は2ですが、幾何的重複度は1です。この行列は欠陥行列であり、対角化できません。

問4

$A^T = A$ を満たす行列 $A$ （対称行列）について、正しい記述はどれですか。

✅ 正解です！ これがスペクトル定理です。対称行列は行儀のよい理想的な場合です。

❌ 惜しい！ それは交代行列や欠陥行列の性質です。対称行列（ $A^T = A$ ）は理想的な場合です。

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解答：

対称行列（ $A^T = A$ ）には、とても良い性質が2つあります（スペクトル定理）。

固有値はすべて実数であり、複素数の固有値は現れません。
直交する固有ベクトルがそろっているので、常に対角化可能です（欠陥行列になることはありません）。

これが「行儀のよい理想」です。今回学んだ2つの病理は、それ以外の種類の行列で起こります。

交代行列（ $A^T = -A$ ）→ 固有値は純虚数（例：回転）。
欠陥行列（重複固有値に対して固有ベクトルが足りない）→ 対角化できない（例：せん断）。

正解数：0 / 4