線形代数 · 第21回 · 動画4 · インタラクティブ教材

フィボナッチ数に黄金比が隠れている理由：固有値で解く差分方程式

I重要な公式

公式	名称	説明
$u_{k+1} = A u_k \Rightarrow u_k = A^k u_0$	差分方程式	1ステップの更新と $k$ ステップ後の解
$u_k = c_1 \lambda_1^k x_1 + c_2 \lambda_2^k x_2 + \cdots$	固有ベクトルによる展開	各モードは互いに独立に変化する
$\det(A - \lambda I) = 0$	固有方程式	解いて固有値 $\lambda$ を求める
$F_k = \dfrac{\lambda_1^k - \lambda_2^k}{\sqrt{5}}$	ビネの公式	フィボナッチ数の閉じた式。 $\lambda_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

II可視化1 — フィボナッチ数の2つのモード

フィボナッチ数は2つの等比的なモードに分かれます。一方は $\varphi^k$ のように増え、もう一方は減衰するので、黄金比のモードが支配します。

ステップ k 10

III可視化2 — 隣り合う項の比は φ に収束する

比 $F_{k+1}/F_k$ は黄金比 $\varphi$ の上下を交互に行き来しながら近づき、誤差は急速に縮みます。

k まで 9

IV可視化3 — 2×2 システムの安定性の図鑑

システム $u_{k+1} = Au_k$ の運命は固有値で決まります。トレースと行列式の平面がその行方を示します。

💡 緑の三角形の内部ではすべての $|\lambda| < 1$ なので、状態は原点へ減衰します。フィボナッチの点 $(T, D) = (1, -1)$ は三角形の右下の外側にあり、固有値の一つが $1$ を超えるので増大します。

V確認クイズ

問1

フィボナッチの漸化式 $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ は、次の行列で表されます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$

固有方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ はどれですか？

✅ 正解です！ 固有方程式は、フィボナッチの漸化式が姿を変えたものです。

❌ 惜しい！ $(1-\lambda)(-\lambda) - 1$ を、符号に気をつけて丁寧に展開しましょう。

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解答：

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix}$ について $\det(A - \lambda I)$ を計算します。

$\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(-\lambda) - (1)(1) = -\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - \lambda - 1.$

これを 0 とおくと $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ が得られます。

これは、フィボナッチの漸化式を並べ替えた $F_{k+2} - F_{k+1} - F_k = 0$ とまったく同じ形です。固有多項式に、出発点の漸化式がふたたび姿を現すのです。

問2

$\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$ を解くと、固有値が2つ得られます。一方は黄金比 $\lambda_1 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ です。

$F_{100}$ を表すビネの公式で、 $\lambda_2^{100}$ （ただし $\lambda_2 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$ ）はどうなりますか？

✅ 正解です！ $|\lambda_2| < 1$ なので、そのべき乗は指数的に減衰します。支配的な固有値 $\lambda_1$ が勝つのです。

❌ 惜しい！ $|r| < 1$ のとき $r^{100}$ がどうなるかを考えましょう。

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解答：

$|\lambda_2| \approx 0.618 < 1$ なので、大きなべき乗をとると小さくなります。

$|\lambda_2|^{100} = (0.618)^{100} \approx 1.3 \times 10^{-21}.$

これは $\lambda_1^{100} \approx 3.54 \times 10^{20}$ に比べればまったく無視できます。したがってビネの公式

$F_{100} = \frac{\lambda_1^{100} - \lambda_2^{100}}{\sqrt{5}} \approx \frac{\lambda_1^{100}}{\sqrt{5}}$

は、完全に $\lambda_1$ に支配されます。これは一般的な原理です。どんな線形の力学系でも、 $|\lambda| < 1$ の固有値に対応する成分は消え、 $|\lambda|$ が最大の固有値が勝ち残ります。

問3

正しいか誤りか：力学系 $u_{k+1} = A u_k$ で、 $A$ のすべての固有値が $|\lambda| < 1$ を満たすなら、出発点のベクトル $u_0$ によらず、 $k \to \infty$ のとき $u_k \to 0$ となる。

✅ 正解です！ $|\lambda_i| < 1$ ならどの成分 $c_i \lambda_i^k x_i$ も 0 へ減衰するので、状態ベクトル全体が 0 に近づきます。

❌ 惜しい！ $u_0$ を固有ベクトルに分解し、それぞれの部品がどうなるかを追いましょう。

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解答：

正しいです。 $u_0$ を固有ベクトルの基底で展開します。

$u_0 = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n.$

$k$ ステップ後には、各固有ベクトルがそれぞれ自分の $\lambda^k$ 倍になります。

$u_k = c_1 \lambda_1^k x_1 + c_2 \lambda_2^k x_2 + \cdots + c_n \lambda_n^k x_n.$

すべての $|\lambda_i| < 1$ なら、すべての $\lambda_i^k \to 0$ なので、どの項も消え、定数 $c_i$ （ $u_0$ で決まる）によらず $u_k \to 0$ となります。

これが安定性です。原点は引き寄せる点（アトラクター）になります。逆に、 $c_i \neq 0$ で $|\lambda_i| > 1$ となる成分が一つでもあれば、その成分は発散し、システムは不安定です。

問4

行列 $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ と、出発点のベクトル $u_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ を考えます。

固有ベクトルによる展開を使うと、 $u_{10}$ はどうなりますか？

✅ 正解です！ 各固有ベクトルは独立に変化するので、成分 $i$ は $\lambda_i^k$ 倍されるだけです。

❌ 惜しい！ 行列は対角行列なので、各成分はそれぞれ自分の固有値で変化します。固有値を正しい成分に対応させましょう。

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解答：

行列 $B$ ははじめから対角行列なので、固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = 2$ 、固有ベクトルは $x_1 = (1, 0)^T$ と $x_2 = (0, 1)^T$ です。

$u_0$ を分解します。 $u_0 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + 1 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},$

よって $c_1 = 1$ 、 $c_2 = 1$ です。一般公式を当てはめると、

$u_k = c_1 \lambda_1^k x_1 + c_2 \lambda_2^k x_2 = \begin{bmatrix} 3^k \\ 2^k \end{bmatrix}.$

$k = 10$ では、 $u_{10} = \begin{bmatrix} 3^{10} \\ 2^{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 59049 \\ 1024 \end{bmatrix}.$

支配的な固有値 $\lambda_1 = 3$ のために、上の成分は下の成分の $(3/2)^{10} \approx 57.7$ 倍にもなります。

正解数：0 / 4