線形代数 · 第22回 · 動画1 · インタラクティブ教材

微分方程式を線形代数で解く：固有値が未来を決める

I重要な公式

公式	名称	説明
$\dfrac{du}{dt} = Au$	線形常微分方程式の系	連立した 1 階の線形微分方程式
$u(t) = e^{\lambda t}\, x$	指数関数の予想（試す形）	固有値と固有ベクトルの組 $(\lambda, x)$ から得られる純粋なモードの解
$A x = \lambda x$	固有値の方程式	予想した形を微分方程式に代入すると、この式が得られる
$u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} x_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} x_2$	一般解	固有モードの重ね合わせ。 $c_i$ は $u(0)$ から決まる

固有値の符号： $\lambda > 0$ なら増大、 $\lambda = 0$ なら定常状態、 $\lambda < 0$ なら減衰。

II可視化1 — 2つのタンクの系

水は2つのタンクの間を行き来し、やがて配分が落ち着きます。減衰モードが消えていき、 $\lambda = 0$ の定常状態だけが残ります。

時刻 t 0.00

💡 合計 $u_1 + u_2$ は決して変わりません。この保存される方向こそが $\lambda = 0$ の固有ベクトルです。そして定常状態との差は、 $\lambda = -3$ のモードである $e^{-3t}$ の速さで縮んでいきます。

III可視化2 — 固有値の符号が振る舞いを決める

1つのモードの運命は、 $\lambda$ の符号だけで決まります。増大するか、そのままか、減衰するかです。

固有値 λ −1.00

💡 連立した $\tfrac{du}{dt} = Au$ は、固有値ごとにこのようなモードを1つずつ重ね合わせたものです。 $\lambda > 0$ が1つでもあれば系全体が増大し、すべてが $\lambda < 0$ ならどのモードも 0 に向かいます。

IV可視化3 — 2つのタンクの系の相図

どの出発点からも、 $(1,-1)$ の方向に沿って流れ、同じ定常直線 $\operatorname{span}(2,1)$ にたどり着きます。

u₁(0) 1.0 u₂(0) 0.0

💡 ベクトル場は、ちょうど $\operatorname{span}(2,1)$ の上で 0 になります。この直線全体が静止したままで、不動点からなる $\lambda = 0$ の固有空間になっています。

V確認クイズ

問1

$\dfrac{du}{dt} = A u$ に、予想した形 $u(t) = e^{\lambda t}\, x$ を代入してみます。微分して $e^{\lambda t}$ を約分したあと、 $\lambda$ と $x$ が満たすべき方程式はどれでしょうか？

✅ 正解です！ 微分方程式が、固有値の方程式に帰着します。

❌ 惜しい！ $e^{\lambda t} x$ を微分すると因子 $\lambda$ が前に出てきます。一方、右辺では $A$ が $x$ にかかります。

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解答：

予想した形を微分します。 $\frac{d}{dt}\bigl(e^{\lambda t} x\bigr) = \lambda\, e^{\lambda t}\, x.$

微分方程式の右辺は $A\bigl(e^{\lambda t} x\bigr) = e^{\lambda t}\, A x.$

両辺を等しいとおき、スカラー $e^{\lambda t}$ を約分すると $\lambda x = A x \quad\Longleftrightarrow\quad A x = \lambda x.$

これは固有値の方程式です。したがって $\lambda$ は $A$ の固有値、 $x$ はその固有ベクトルでなければなりません。

問2

行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ のトレースは $-3$ 、行列式は $0$ です。固有多項式を直接解かずに求めると、固有値はどれでしょうか？

✅ 正解です！ 特異行列なので、固有値の1つは必ず 0 です。すると、もう1つはトレースから決まります。

❌ 惜しい！ 2つの事実を組み合わせましょう。固有値の和はトレースに、積は行列式に等しくなります。 $\det = 0$ なので、固有値の1つは 0 でなければなりません。

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解答：

$2 \times 2$ 行列の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ は次を満たします。

$\lambda_1 + \lambda_2 = \text{トレース}(A)$
$\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \det(A)$

$\det(A) = 0$ なので積は $\lambda_1 \lambda_2 = 0$ となり、少なくとも1つの固有値は 0 です。 $\lambda_1 = 0$ としましょう。

すると $\lambda_2 = \text{トレース}(A) - \lambda_1 = -3 - 0 = -3$ です。

したがって、固有値は $\boxed{\lambda_1 = 0,\; \lambda_2 = -3}$ です。

固有多項式でも確かめられます： $\lambda^2 - (\text{トレース})\lambda + \det = \lambda^2 + 3\lambda = \lambda(\lambda + 3) = 0$ 。

問3

正しいか誤りか： $A$ のすべての固有値の実部が負ならば、 $\dfrac{du}{dt} = A u$ のどの解も、 $t \to \infty$ でゼロベクトルへ減衰する。

✅ 正解です！ 固有モードはそれぞれ独立に減衰するので、それらの重ね合わせも減衰します。

❌ 惜しい！ $u(t)$ は $e^{\lambda_i t} x_i$ という項の和でした。すべての $\lambda_i < 0$ なら、どの項も 0 に向かい、したがって和全体も 0 に向かいます。

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解答： 正しい。

どの解も、固有モードの重ね合わせとして書けます。 $u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} x_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} x_2 + \cdots$

すべての $\lambda_i$ の実部が負なら、 $t \to \infty$ でどの項も $e^{\lambda_i t} \to 0$ となります。初期条件によらず、つまり定数 $c_i$ によらず、和全体がゼロベクトルへ減衰します。

2つのタンクの系と比べてみましょう。あの系には $\lambda_1 = 0$ があったので、1つのモードがいつまでも残りました（定常状態）。固有値 0 がなければ、解は原点まで減衰していたはずです。

問4

$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ 、初期条件 $u(0) = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ の2つのタンクの系の解は

$u(t) = \tfrac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + \tfrac{1}{3} e^{-3t}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}.$

です。定常状態 $\displaystyle\lim_{t \to \infty} u(t)$ はどれでしょうか？

✅ 正解です！ 減衰モードが消え、 $\lambda=0$ の成分だけが残ります。

❌ 惜しい！ $(1,0)$ は初期条件で、長時間たったあとの極限ではありません。 $t \to \infty$ とすると $e^{-3t} \to 0$ です。

❌ 惜しい！ 固有値の1つは（負ではなく）0 なので、1つのモードは減衰しません。定常状態は 0 ではありません。

❌ 惜しい！ $e^{-3t} = 0$ とおいて、残ったものを読み取りましょう： $\tfrac{1}{3}(2,1)$ 。

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解答：

$t \to \infty$ で項 $e^{-3t} \to 0$ となるので、減衰モードは消えます。 $\lim_{t\to\infty} u(t) = \tfrac{1}{3}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} + 0 = \begin{bmatrix}2/3\\1/3\end{bmatrix}.$

したがって、定常状態は $(2/3,\, 1/3)$ です。

この点は $\lambda = 0$ の固有ベクトルの方向（ $(2,1)$ の定数倍）の上にあり、 $2/3 + 1/3 = 1$ は初期条件から決まる保存量 $u_1 + u_2 = 1$ と一致していることに注目してください。

正解数：0 / 4