線形代数 · 第22回 · 動画2 · インタラクティブ教材

左半平面の法則：減衰する系と爆発する系を分けるもの

I重要な公式

公式	名称	説明
$\lvert e^{\lambda t} \rvert = e^{\operatorname{Re}(\lambda)\,t}$	大きさの法則	虚部は回転させるだけ。増大か減衰かは実部が決める
$\frac{du}{dt} = Au$ が安定 $\iff \operatorname{Re}(\lambda) < 0$ （すべての $\lambda$ について）	連続時間の安定性	すべての固有値が左半平面にある
$\operatorname{trace}(A) < 0$ かつ $\det(A) > 0$	$2\times 2$ 行列の近道	$2\times 2$ 行列が安定であるための必要十分条件
$A^k \to 0 \iff \lvert \lambda \rvert < 1$ （すべての $\lambda$ について）	離散時間の安定性	すべての固有値が単位円の内側にある

II可視化1 — 固有値の位置と減衰

$e^{\lambda t}$ が減衰するか爆発するかを決めるのは、 $\lambda = a + bi$ の実部だけです。

💡 チャレンジ：固有値をまっすぐ上下にドラッグしてみましょう。減衰の包絡線はまったく動きません。 $\operatorname{Im}(\lambda)$ が決めるのは回転の速さだけだからです。

III可視化2 — トレース・行列式平面

$2\times 2$ の系の固有値は、トレースと行列式だけで決まります。そして、系の運命も決まります。

💡 チャレンジ：点を破線の放物線 $\det = \tfrac{1}{4}\operatorname{trace}^2$ の上に乗せてみましょう。そこでは2つの固有値がぶつかって重根になります。結節点と渦状点の境目です。

IV可視化3 — 連続時間と離散時間の安定性

同じ $\lambda$ でも、 $\tfrac{du}{dt}=Au$ では左半平面、 $A^k$ では単位円の内側を基準に判定されます。

💡 写像 $z = e^{\lambda}$ は、左半平面を単位円の内側へ写します。だからこそ、安定性の境界は直線から円へと曲がるのです。

V確認クイズ

問1

線形の系 $\frac{du}{dt} = Au$ の固有値が $\lambda_1 = -4 + 10i$ と $\lambda_2 = -1 - 7i$ です。

$t \to \infty$ のとき、 $u(t) \to 0$ となるでしょうか？

✅ 正解です！ 実部がどちらも負なので、 $e^{\lambda t}$ の項はどれも減衰します。

❌ 惜しい！ 虚部は回転させるだけで、その大きさは 1 です。大きくなったり小さくなったりするのは、実部だけです。

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解答：

大きさの法則より、 $\lvert e^{\lambda t}\rvert = e^{\operatorname{Re}(\lambda)\,t}$ です。

$\lambda_1 = -4 + 10i$ のとき： $\lvert e^{\lambda_1 t}\rvert = e^{-4t} \to 0$ 。
$\lambda_2 = -1 - 7i$ のとき： $\lvert e^{\lambda_2 t}\rvert = e^{-t} \to 0$ 。

どちらの部分も減衰するので、 $u(t) \to 0$ です。虚部（ $10i$ と $-7i$ ）は、縮んでいく解を回転させるだけで、縮むかどうかは変えません。

問2

次の行列を考えます。 $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$

系 $\frac{du}{dt} = Au$ は安定でしょうか？

✅ 正解です！ 行列式が負なら、トレースが負でも安定にはなりません。

❌ 惜しい！ トレース $<0$ だけでは足りません。トレース $<0$ かつ行列式 $>0$ が必要です。 $\det(A) = ad - bc$ を計算しましょう。

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解答：

$2\times 2$ 行列の近道を使います。トレース $<0$ と行列式 $>0$ の両方が必要です。

$\operatorname{trace}(A) = -3 + 1 = -2 < 0$ ✓
$\det(A) = (-3)(1) - (4)(2) = -3 - 8 = -11 < 0$ ✗

行列式が負なので、固有値は互いに逆の符号をもちます（鞍点）： $\lambda_1 \lambda_2 = -11 < 0$ 。

トレースが負でわかるのは、固有値の平均が負だということだけです。固有値の1つはまだ正で、それが $e^{\lambda t}$ を無限大へと押し上げます。

問3

正しいか誤りか：行列 $A$ が $\frac{du}{dt} = Au$ について安定ならば、 $-A$ も安定である。

✅ 正解です！ $A$ の符号とともに固有値の符号も反転するので、安定は完全な不安定に変わります。

❌ 惜しい！ 固有値の方程式で考えましょう。 $Ax=\lambda x$ なら、 $(-A)x$ は何に等しいでしょうか？

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解答：

$Ax = \lambda x$ なら、 $(-A)x = -\lambda x$ です。したがって $-A$ の固有値は、ちょうど $-\lambda_1, -\lambda_2, \ldots$ です。

すべての $\operatorname{Re}(\lambda_i) < 0$ （つまり $A$ が安定）なら、すべての $\operatorname{Re}(-\lambda_i) > 0$ となり、 $-A$ は完全に不安定です。どのモードも発散します。

これは動画に出てきた「時間を逆にすれば、安定性も逆になる」という考え方です。便利な確認方法でもあります。 $A$ の符号を反転させても系がまだ安定なら、どこかで符号を間違えています。

問4

行列 $B$ の固有値が $\lambda_1 = 0.6 + 0.5i$ と $\lambda_2 = -0.4$ です。

正しいのはどれでしょうか？

✅ 正解です！ $|\lambda_1| \approx 0.78 < 1$ （離散時間で安定）ですが、 $\operatorname{Re}(\lambda_1) = 0.6 > 0$ （連続時間で不安定）です。

❌ 惜しい！ べき乗 $B^k$ では大きさ $|\lambda|<1$ を、 $\frac{du}{dt}=Bu$ では実部 $\operatorname{Re}(\lambda)<0$ を調べます。それぞれの固有値について両方を計算しましょう。

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解答：

同じ固有値に対して、2種類の安定性の判定を行います。

離散時間（ $B^k \to 0$ ）：すべての固有値について $|\lambda| < 1$ が必要です。

$|\lambda_1| = \sqrt{0.6^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.36 + 0.25} = \sqrt{0.61} \approx 0.78 < 1$ ✓
$|\lambda_2| = 0.4 < 1$ ✓

よって $B^k \to 0$ 。離散時間で安定です。

連続時間（ $\frac{du}{dt}=Bu$ ）：すべての固有値について $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$ が必要です。

$\operatorname{Re}(\lambda_1) = 0.6 > 0$ ✗

よって $u(t)$ は発散します。連続時間で不安定です。

同じ固有値なのに、判定は正反対です。これが動画の最後の場面の要点です。連続時間では左半平面を、離散時間では単位円の内側を使います。

正解数：0 / 4