線形代数 · 第24回 · 動画1 · インタラクティブ教材

スペクトル定理：対称行列はなぜ特別なのか

I重要な公式

公式	名称	説明
$A = A^T$	対称行列	自分自身の転置に等しい
$A = Q \Lambda Q^T$	スペクトル分解	$Q$ は正規直交、 $\Lambda$ は実数の対角行列
$Q^T Q = I$ , so $Q^{-1} = Q^T$	直交行列	逆行列が転置に等しい
$A = \lambda_1 q_1 q_1^T + \lambda_2 q_2 q_2^T + \cdots$	スペクトル和	固有ベクトルの軸への射影を固有値で重み付けした和

II互いに垂直な軸に沿った伸縮

対称行列は単位円を楕円に写し、その楕円の軸は互いに垂直な固有ベクトルの方向にそろいます。

行列

💡 チャレンジ： $Av$ が $v$ と平行になる入力の方向を探してみましょう。こうした固有ベクトルの方向は、どの対称行列でも互いに垂直です。

III階数 1 の射影の和

どの対称行列も $\lambda_1 q_1 q_1^T + \lambda_2 q_2 q_2^T$ と書けます。互いに垂直な射影を、固有値で何倍かしたものの和です。

λ₁ 4 λ₂ 2

💡 チャレンジ： $\lambda_2 = 0$ にしてみましょう。楕円は線分につぶれ、 $A$ は階数 1 になって、平面全体を $q_1$ の軸の上へ射影します。

IV対称な変形と対称でない変形

交代行列のせん断を加えると、固有ベクトルが傾き、純粋な伸縮に回転が入り込みます。

せん断の大きさ 0

対称 A = [3 1; 1 3]

💡 対称性は回転を消し去り、互いに垂直な方向への伸縮だけを残します。せん断が $0.5$ を超えると固有値は複素数になり、写像に回転が混ざります。

V確認クイズ

問1

次の行列のうち、対称なもの（つまり $A = A^T$ を満たすもの）はどれですか？

✅ 正解です！ 非対角成分がどちらも 3 なので、 $A = A^T$ です。

❌ 惜しい！ 行列が対称であるとは、 $(i,j)$ 成分が $(j,i)$ 成分に等しいことです。非対角成分どうしがぴったり一致していなければなりません。

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解答：

行列が対称であるとは、非対角成分のどの組についても $A_{ij} = A_{ji}$ が成り立つことです。選択肢を一つずつ確かめます：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ ：非対角成分は $3$ と $3$ — 対称です。
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$ ： $3 \neq -3$ — 対称ではありません（実際、非対角部分は交代行列になっています）。
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$ ： $3 \neq 4$ — 対称ではありません。
$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ： $1 \neq -1$ — 対称ではありません（90° の回転です）。

正解は最初の選択肢です。

問2

$Q$ を、列が正規直交（互いに垂直な単位ベクトル）である行列とします。つねに成り立つ式はどれですか？

✅ 正解です！ 列が正規直交なら $Q^T Q = I$ なので、転置が逆行列になります。

❌ 惜しい！ $Q^T Q$ を成分ごとに計算してみましょう。各成分は列どうしの内積です。

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解答：

$Q^T Q$ の $(i, j)$ 成分は、 $Q$ の $i$ 列目と $Q$ の $j$ 列目の内積です。

同じ列 ( $i = j$ )：単位ベクトルと自分自身との内積なので $1$ です。
異なる列 ( $i \neq j$ )：垂直なベクトルどうしなので $0$ です。

したがって $Q^T Q = I$ です。両辺に右から $Q^{-1}$ を掛けると、 $Q^T = Q^{-1}$ が得られます。

これが直交行列の魔法のような性質です。逆行列がただで手に入るのです。転置するだけで済みます。スペクトル定理 $A = Q \Lambda Q^T$ で逆行列を計算する必要がまったくないのは、このためです。

問3

対称行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ を考えます。

固有方程式は $(3 - \lambda)^2 - 1 = 0$ です。固有値はいくつですか？

✅ 正解です！ 展開すると $\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$ となり、 $(\lambda-4)(\lambda-2)$ と因数分解できます。

❌ 惜しい！ まず固有多項式を展開してから、因数分解しましょう。実対称行列が複素数の固有値をもつことはありません。

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解答：

$(3 - \lambda)^2 - 1 = 0$ を展開します：

$\lambda^2 - 6\lambda + 9 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$

因数分解します：

$(\lambda - 4)(\lambda - 2) = 0$

よって $\lambda_1 = 4$ 、 $\lambda_2 = 2$ です。どの実対称行列でも保証されているとおり、どちらも実数です。

対応する正規直交な固有ベクトルは $q_1 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$ と $q_2 = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$ で、互いに垂直です ( $q_1 \cdot q_2 = 0$ )。

問4

正しいか誤りか：どの実対称行列も、幾何学的には互いに垂直な軸に沿って引き伸ばすだけである。回転もせん断もなく、正しく回した座標系で見れば純粋な伸び縮みにすぎない。

✅ 正解です！ これがスペクトル定理 $A = Q \Lambda Q^T$ の幾何学的な中身です。回転して、伸縮して、回転して戻すのです。

❌ 惜しい！ 分解 $A = Q \Lambda Q^T$ を見直しましょう。 $Q$ は回転、 $\Lambda$ は純粋な伸び縮み、 $Q^T$ はその回転を元に戻します。固有ベクトルは互いに垂直な軸です。

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解答：

正しい。スペクトル定理 $A = Q \Lambda Q^T$ は、まさにこの幾何学的な筋書きを語っています：

$Q^T$ ：固有ベクトルが標準の座標軸に重なるように空間を回転する。
$\Lambda$ ：各軸に沿って、対応する固有値の倍率で伸縮する。
$Q$ ：もとの座標系へ回転して戻す。

固有ベクトルの軸に対する正味の効果には、せん断も回転もなく、伸縮だけがあります。だからこそ単位円はつねに、主軸が互いに垂直な（そして固有ベクトルの方向にそろった）楕円に写されるのです。

この洞察は、次のものの土台になっています：

主成分分析（PCA）：共分散行列は対称 → 主成分は、分散を表す互いに垂直な軸。
最適化：ヘッセ行列は対称 → その固有値は、互いに垂直な方向に沿った曲率を表す。
量子力学：オブザーバブルは対称（エルミート）→ 測定できる値は実数の固有値。

正解数：0 / 4