線形代数 · 第24回 · 動画3 · インタラクティブ教材

固有値の近道：多項式を解かずにピボットを数える

I重要な公式

公式	名称	説明
$A = LDL^\top$	対称行列の分解	$D$ の対角成分にピボットが並ぶ
$\#(\text{正のピボット}) = \#(\text{正の固有値})$	符号定理（シルベスターの慣性法則）	ピボットの符号と固有値の符号が一致する（対称な $A$ ）
$\det(A) = \prod d_i = \prod \lambda_i$	積の恒等式	ピボットの積と固有値の積は等しい
$\lambda_i(A - cI) = \lambda_i(A) - c$	シフトのトリック	$cI$ を引くと、どの固有値も $-c$ だけずれる

II可視化1 — ピボットと固有値

ピボットと固有値の値が一致することはまずありません。それでも、正負の個数と積はいつも一致します。

a₁₁ 2 a₂₂ 3 a₃₃ 1 a₁₂ 1 a₁₃ 0 a₂₃ 1

💡 チャレンジ：行列を不定値にしてみましょう（ $a_{11} = -3$ にする）。赤いピボットが現れるのは、ちょうど赤い固有値が現れるときです。

III可視化2 — シフトのトリック

しきい値 $c$ より大きい固有値はいくつあるでしょうか？ $A - cI$ の正のピボットを数えればわかります。

シフト c 2.00

💡 いくつかのシフトで調べて個数の差をとれば、各固有値を区間に閉じ込められます。LAPACK のようなソルバーが安い消去法だけで実行している二分法です。

IV確認クイズ

問1

対称な $4 \times 4$ 行列 $A$ に消去法を行ったところ、ピボットは次のようになりました。 $d_1 = 3, \quad d_2 = -2, \quad d_3 = 1, \quad d_4 = -5.$

$A$ の正の固有値はいくつありますか？

✅ 正解です！ 正のピボットの個数は、正の固有値の個数に等しくなります。

❌ 惜しい！ 正のピボットを数えましょう。 $3$ と $1$ です。

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解答：

符号定理（シルベスターの慣性法則）により、対称行列では次が成り立ちます。 $\#(\text{正のピボット}) = \#(\text{正の固有値}).$

ピボットは $\{3, -2, 1, -5\}$ です。正のピボットは2つ（ $3$ と $1$ ）なので、 $A$ には正の固有値が2つ（負の固有値も2つ）あります。

注意：固有値の実際の値はピボットとは等しくありません。一致するのは符号の個数だけです。

問2

ある学生が次のように主張しています：「どんな正方行列 $A$ でも、正のピボットの個数は正の固有値の個数に等しい。」

この主張は正しいでしょうか、誤りでしょうか？

✅ 正解です！ 対称性が欠かせません。一般の行列では符号定理は成り立ちません。

❌ 惜しい！ 符号定理（シルベスターの慣性法則）は、行列が対称であることを必要とします。

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解答：

この主張は誤りです。符号定理は $A$ が対称であることを必要とします。

対称でない行列では：

固有値が複素数になることがあります（そのため「正」という言葉がいつも意味をもつとは限りません）。
固有値が実数のときでも、ピボットと固有値の符号の個数が食い違うことがあります。

対称性があれば $A = LDL^\top$ （合同変換）と書けることが保証され、シルベスターの慣性法則によれば合同変換は符号数を保ちます。対称性がなくなると、この保証は失われます。

問3

対称な $3 \times 3$ 行列 $A$ のピボットを計算したところ、次のようになりました。 $d_1 = 2, \quad d_2 = \tfrac{5}{2}, \quad d_3 = \tfrac{3}{5}.$

固有値を計算せずに、 $\det(A)$ を求めてください。

✅ 正解です！ $\det(A) = 2 \cdot \tfrac{5}{2} \cdot \tfrac{3}{5} = 3$ .

❌ 惜しい！ 行列式はピボットの積に等しくなります。

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解答：

行列式はピボットの積（同じことですが、固有値の積）に等しくなります。 $\det(A) = d_1 \cdot d_2 \cdot d_3 = 2 \cdot \tfrac{5}{2} \cdot \tfrac{3}{5} = 3.$

これは、ピボットと固有値が共有する2つの不変量の1つです。個々の値は一致しなくても、積は必ず一致します。

問4

対称な $5 \times 5$ 行列 $A$ に、3つの異なるシフトで消去法を行い、正のピボットを数えました。

$A - 0I$ のピボット：正が 4 個
$A - 5I$ のピボット：正が 2 個
$A - 10I$ のピボット：正が 0 個

$A$ の固有値のうち、区間 $(0, 5]$ にあるのはいくつですか？

✅ 正解です！ 引き算です。0 より大きい固有値が4つ、そこから 5 より大きい2つを引くと、 $(0, 5]$ に2つ残ります。

❌ 惜しい！ 引き算を使いましょう：（0 より大きい固有値の個数）−（5 より大きい固有値の個数）。

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解答：

$A - cI$ の正のピボットの個数は、 $c$ より大きい $A$ の固有値の個数に等しくなります。

$> 0$ の固有値：4
$> 5$ の固有値：2
$> 10$ の固有値：0

したがって、区間 $(0, 5]$ にある固有値の個数は次のとおりです。 $\#\{\lambda > 0\} - \#\{\lambda > 5\} = 4 - 2 = 2.$

これが二分法の考え方です。異なるシフトでの個数を組み合わせれば、すべての固有値の居場所を区間として突き止められます。使うのは消去法だけで、多項式の根を求める必要はありません。

正解数：0 / 4