線形代数 · 第24回 · 動画4 · インタラクティブ教材

正定値を見抜く三つの判定法：固有値を計算せずに

I判定法のまとめ

対称行列 $A = A^T$ が正定値であることは、次の同値な判定法のどれか1つが成り立つことと同値です。

判定法	条件	計算コスト
固有値	すべての $\lambda_i > 0$	高い（ $n \geq 5$ では反復計算）
ピボット	消去法で得られるピボットがすべて $> 0$	$O(n^3)$ — 速い
左上の小行列式（左上の主小行列式）	$k = 1, 2, \ldots, n$ に対して $\det(A_k) > 0$	$n$ が小さければ最速

ピボットの符号定理：対称な $A$ では、正のピボットの個数は正の固有値の個数に等しくなります。符号は同じでも、値は違います。

落とし穴： $\det(A) > 0$ だけでは十分ではありません。わかるのは、負の固有値が偶数個あることだけです。左上の小行列式はすべて調べましょう。

II可視化1 — 正定値性の幾何

$\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2}$ の等高線は、 $A$ が定値なら楕円、不定値なら双曲線になります。

a（左上） 2 b（非対角） 1 c（右下） 2

💡 落とし穴： $a = -1$ 、 $b = 1$ 、 $c = -2$ にしてみましょう。行列式は正なのに、等高線は赤（負）の族です。つまり $A$ は正定値ではなく負定値です。

III可視化2 — 三つの判定法、一つの範囲

ピボット、固有値、左上の小行列式は、どれも $t$ のまったく同じ区間で正になります。

行列の族パラメータ t 1.0

IV確認クイズ

問1

次の対称行列を考えます。 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$

左上の小行列式による判定を使うと、 $A$ は正定値でしょうか？

✅ 正解です！ 左上の小行列式はどちらも正なので、 $A$ は正定値です。

❌ 惜しい！ $d_2 = (4)(3) - (2)(2)$ を計算し直して、左上の小行列式を両方とも確かめましょう。

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解答：

左上の小行列式を2つ計算します。

$d_1 = 4 > 0$ ✓
$d_2 = \det(A) = (4)(3) - (2)(2) = 12 - 4 = 8 > 0$ ✓

左上の小行列式はどちらも正なので、 $A$ は正定値です。

（3番目の選択肢「 $\det(A) > 0$ だけで十分」は、つい選びたくなる落とし穴です。この 2×2 の例で正しい結論になるのは、 $d_1 > 0$ も確かめたからにすぎません。一般には $\det > 0$ だけでは不十分で、落とし穴の行列 $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ は $\det = 1 > 0$ なのに正定値ではありません。）

問2

正しいか誤りか：対称行列 $A$ が $\det(A) > 0$ を満たすなら、 $A$ は正定値である。

✅ 正解です！ 行列式が正でも、保証されるのは負の固有値の個数が偶数であることだけです。0 個かもしれないし、2 個かもしれません。

❌ 惜しい！ 動画の行列を思い出しましょう。 $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ は $\det = 1 > 0$ ですが、固有値は2つとも負です。

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解答：

行列式は固有値の積に等しくなります。したがって $\det(A) > 0$ からわかるのは次のことだけです。

固有値がすべて正である（正定値）、または
偶数個の固有値が負である（たとえば 2×2 で負の固有値が2つ）。

反例： $B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \det(B) = (-1)(-2) - (1)(1) = 1 > 0.$

ところが $d_1 = -1 < 0$ なので、 $B$ は最初の左上の小行列式の時点で不合格です。固有値は2つとも負です。

教訓： $\det(A)$ だけでなく、左上の小行列式をすべて調べましょう。

問3

次の行列にガウスの消去法を行います。 $A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$

ピボットは何で、そこから何がわかりますか？

✅ 正解です！ $p_1 = 5$ 、 $p_2 = 11/5$ で、その積は $\det(A) = 11$ に等しくなります。

❌ 惜しい！ 最初のピボットの下を消去すると、(2,2) 成分は $3 - \frac{2}{5}(2) = \frac{11}{5}$ になります。ピボットは固有値ではありません。

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解答：

最初のピボットの下を消去します。最初のピボットは $p_1 = 5$ です。2行目から1行目の $\frac{2}{5}$ 倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 3 - \tfrac{2}{5}(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 0 & \tfrac{11}{5} \end{pmatrix}.$

したがって $p_2 = \frac{11}{5}$ です。ピボットはどちらも正なので、 $A$ は正定値です。

検算：ピボットの積は行列式に等しくなります。 $p_1 \cdot p_2 = 5 \cdot \tfrac{11}{5} = 11 = \det(A).$

$A$ の固有値は $4 \pm \sqrt{5} \approx 6.24$ と $1.76$ で、ピボットとは違います。それでもピボットの符号定理により、2つのピボットと2つの固有値は同じ符号をもちます。

問4

$100 \times 100$ の対称行列について、正定値かどうかを調べる判定法のうち、実際にいちばん効率がよいのはふつうどれですか？

✅ 正解です！ $O(n^3)$ の消去法を一度行うだけで、100個のピボットがすべて得られます。反復も固有多項式もいりません。

❌ 惜しい！ $n$ が大きいと固有値の計算は反復的になり、別々の行列式を100個計算するのは無駄です。消去法を一度行えば、すべてのピボットが一度に得られます。

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解答：

$n$ が大きいとき：

固有値には反復法が必要です（ $n \geq 5$ では閉じた式がありません）。収束が遅いこともあり、しかも必要なのは正確な値ではなく符号だけなので、やりすぎです。
ピボットは一度のガウスの消去法で得られ、計算量は $O(n^3)$ です。消去のあとは対角線を読むだけです。反復のない直接的な方法で、 $n$ が大きいときの標準的な選択です。
左上の小行列式をすべて調べるには、別々の行列式を $n$ 個計算しなければならず、一度の消去法よりはるかに高くつきます。
$\det(A) > 0$ だけでは不十分です（問2で見たとおり）。

目安：

$n = 2, 3$ ：左上の小行列式がいちばん速い。
$n$ が大きいとき：ガウスの消去法を一度行い、ピボットの符号を確かめる。
固有値：その値が本当に必要なときだけ。

正解数：0 / 4